Les suites numériques exercices corrigés pdf 2 bac

Les suites numériques exercices corrigés pdf 2 bac. (2bac sm, pc et svt/ Terminale)

Exercice 1 (Les suites numériques exercices corrigés pdf 2 bac)

Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u_n)_n∈ℕ dans chacun des cas suivants :

u_n = ∑ⁿ_k=0 3^k−5^2k/π^k+1 et u_n = ∐ⁿ_k=1 2^k.π^3−k

Exercice 2 (Les suites numériques exercices corrigés pdf 2 bac)

On considère la suite numérique (u_n)_n∈ℕ définie par :

u₀ = 0 et u_n+1 = 5u_n+4/u_n+2 , pour tout n ∈ ℕ.

1. Calculer u₁ et u₂.
2. Montrer que : ∀n ∈ ℕ, 0 ≤ u_n < 4.
3. Étudier le monotonie de la suite (u_n)_n∈ℕ.
4. On considère la suite numérique (v_n)_n∈ℕ définie par :

v_n = u_n−4/u_n+1 , pour tout n ∈ ℕ

a) Montrer que (v_n)_n∈ℕ est une suite géométrique, on déterminera son raison.

b) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.

5. Pour tout n ∈ ℕ, on pose : S_n = ∑ⁿ_k=0 1/u_k+1.

Déterminer l’expression de S_n en fonction de n.

Exercice 3 (Les suites numériques exercices corrigés pdf 2 bac)

On considère les suites numériques (u_n)_n∈ℕ et (v_n)_n∈ℕ définies par :

u₀ = 2, u₁ = 4/9 et u_n+2 = 1/27(12u_n+1−u_n) et v_n = u_n − 1/3ⁿ, pour tout n ∈ ℕ.

1. Montrer que :

∀n ∈ ℕ, u_n+1 = 1/9u_n + 2/3ⁿ⁺²

2. Montrer que (v_n)_n∈ℕ est une suite géométrique, puis exprimer u_n en fonction de n.

3. Exprimer en fonction de n la somme S_n = ∑ⁿ_k=0 u_k.

Exercice 4 (Les suites numériques exercices corrigés pdf 2 bac)

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

u₀ = 1 et u_n+1 = 2u_n+1 + n + 1, pour tout n ∈ ℕ.

1. Calculer u₁ et u₂.
2. Montrer par récurrence que :

∀n ∈ ℕ*, u_n = 2ⁿ(1 + ∑ⁿ_k=1 k/2^k)

3. Montrer par récurrence que :

∀n ∈ ℕ*, ∑ⁿ_k=1 k/2^k = 2 − n+2/2ⁿ

4. En déduire que :

∀n ∈ ℕ, u_n = 3 × 2ⁿ − n − 2

Exercice 5

Soit (u_n)_n∈ℕ* la suite numérique définie par :

u_n = ∑ⁿ_k=1 1/k√k

1. Calculer u₁ et u₂.
2. Étudier la monotonie de la suite (u_n)_n∈ℕ* .
3. Montrer que :

∀p ∈ ℕ*∖ {1} , 1/√p−1 − 1/√p ≥ 1/2p√p

4. En déduire que :

∀n ∈ ℕ*, 1 ≤ u_n ≤ 3 − 2/n

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Correction de la série d’exercices sur les suites numériques

Exercice 2

On considère la suite numérique (u_n)_n∈ℕ définie par :

u₀ = 0 et u_n+1 = 5u_n+4/u_n+2 , pour tout n ∈ ℕ

1. On a : u₁ = 5u₀+4/u₀+2 = 0+4/0+2 = 2 et u₂ = 5u₁+4/u₁+2 = 5×2+4/2+2 = 7/2.
2. Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , 0 ≤ u_n < 4.

• Pour n = 0, on a : u₀ = 0 donc : 0 ≤ u₀ < 4. L’encadrement est vrai.

• Soit n ∈ ℕ. Supposons que : 0 ≤ u_n < 4 et on montre que : 0 ≤ u_n+1 < 4.

Comme 0 ≤ u_n < 4, alors : 5u_n+4/u_n+2 ≥ 0, c’est-à-dire : u_n+1 ≥ 0. (1)

D’autre part, on a :

u_n+1 − 4 = 5u_n+4/u_n+2 − 4

= 5u_n+4−4u_n−8/u_n+2

= u_n−4/u_n+2

Comme 0 ≤ u_n < 4, alors : u_n−4/u_n+2 < 0, c’est-à-dire : u_n+1 < 4. (2)

D’après (1) et (2) , on conclut que : 0 ≤ u_n+1 < 4.

• D’après le principe de récurrence, on en déduit que :

(∀n ∈ ℕ) , 0 ≤ u_n < 4

3. Le sens de variations de la suite (u_n)_n∈ℕ .

Soit n ∈ ℕ.

u_n+1 − u_n = 5u_n+4/u_n+2 − u_n

= 5u_n+4−u_n²−2u_n/u_n+2

= −u_n²+3u_n+4/u_n+2

= −(u_n + 1)(u_n − 4)/u_n+2

Comme 0 ≤ u_n < 4 alors −(u_n + 1)(u_n − 4)/u_n+2 ≻ 0, donc u_n+1 − u_n ≻ 0. Ceci signifie que la suite (u_n)_n∈ℕ est strictement croissante.

4. On considère la suite numérique (v_n)_n∈ℕ définie par : v_n = u_n−4/u_n+1 pour n ∈ ℕ.

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Série d’exercices numéro 2 sur les suites numériques

Exercice 1

1. On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle [0, 4] par : ƒ(x) = (4√x/2+√x)².

a) Étudier les variations de ƒ sur l’intervalle [0, 4].

b) Montrer que : ƒ([0, 4]) ⊂ [0, 4].

2. On considère la suite (u_n)_n∈ℕ définie par : { u₀ = 1 et (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 = ƒ(u_n)

a) Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , 0 ≤ u_n ≤ 4.

b) Montrer que la suite (u_n)_n∈ℕ est strictement croissante, puis déduire qu’elle est convergente.

c) Déterminer lim_n→+∞ u_n.

Exercice 2

On considère la suite (u_n)_n∈ℕ définie par : { u₀ = 1/2 et (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 = u_n + 1 − √1 + u_n²

1. a) Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < u_n < 1.
   • b) Montrer que (u_n)_n∈ℕ est une suite décroissante, puis déduire qu’elle est convergente.
2. Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = x + 1 − √1+x².
   • a) Montrer que ƒ est continue sur [0, 1] et que ƒ([0, 1]) ⊂ [0, 1].
   • b) Déterminer lim_n→+∞ u_n.

Exercice 3

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par : { u₀ = 1 et (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 = 2u_n³/3u_n²+1

1. a) Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , u_n > 0.

b) Montrer que la suite (u_n)_n∈ℕ est convergente.

2. a) Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 ≤ 1/2u_n.

b) Déduire que : (∀n ∈ ℕ) , u_n ≤ (1/2)ⁿ.

c) Calculer : lim_n→+∞ u_n.

Exercice 4

On considère la suite (u_n)_n∈ℕ* définie par : { u₁ = 1 et (∀n ∈ ℕ*) , u_n+1 = u_n/3−u_n .

1. Calculer u₂.
2. Soit (v_n)_n∈ℕ* la suite définie par : (∀n ∈ ℕ*) , v_n = 1/u_n.

a) Calculer v₁.

b) Montrer que : (∀n ∈ ℕ*) , v_n+1 = 3v_n − 1.

3. On considère la suite (w_n)_n∈ℕ* définie par : (∀n ∈ ℕ*) , w_n = v_n − 1/2.

a) Déterminer w_n en fonction de n, puis déduire u_n en fonction de n.

b) Calculer lim_n→+∞ u_n.

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Correction de la série

Exercice 1

2. On considère la suite (u_n)_n∈ℕ définie par : { u₀ = 1 et (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 = ƒ(u_n)

a) Montrons que : (∀n ∈ ℕ), 0 ≤ u_n ≤ 4.

Pour n = 0 on a u₀ = 1 donc 0 ≤ u₀ ≤ 4 par suite la proposition est vraie pour n = 0.

Soit n ∈ ℕ. On suppose que 0 ≤ u_n ≤ 4 et on montre que 0 ≤ u_n+1 ≤4.

On a 0 ≤ u_n ≤ 4 et comme ƒ est strictement croiassnte sur [0, 4] alors ƒ(0) ≤ ƒ(u_n) ≤ ƒ(4) donc 0 ≤ u_n+1 ≤ 4.

D’après le principe de récurrence

(∀n ∈ ℕ), 0 ≤ u_n ≤ 4.

b) Montrons par récurrence que la suite (u_n)_n∈ℕ est strictement croiassnte.

(Montrons que : (∀n ∈ ℕ), u_n+1 − u_n > 0)

Pour n = 0 on a u₁ − u₀ = 16/9 − 1 = 7/9 > 0 et comme u₁ − u₀ > 0 par suite la proposition est varie pour n = 0.

Soit n ∈ ℕ. On suppose que u_n+1 − u_n > 0 et on montre que : u_n+2 − u_n+1 > 0.

On a u_n+1 − u_n > 0 c’est-à-dire u_n+1 > u_n et comme la fonction ƒ est strictement croiassnte sur [0, 4] donc ƒ(u_n+1) > ƒ(u_n) d’où u_n+2 > u_n+1 c’est-à-dire u_n+1 − u_n > 0.

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Série d’exercices numéro 3 sur les suites numériques (2 bac sm)

Exercice 1

Soit n ∈ ℕ* et ƒ_n la fonction définie sur [0, 1] par : (∀x ∈ [0, 1]) , ƒ_n(x) = xⁿ + x − 1.

1. Dresser le tableau de variation de ƒ_n sur [0, 1] .
2. Montrer que l’équation ƒ_n(x) = 0 admet une solution unique α_n dans ]0, 1[.
3. Montrer que la suite (α_n)_n∈ℕ* est convergente en précisant sa limite.

Exercice 2

Soit n ∈ ℕ* et ƒ_n la fonction définie sur ℝ⁺ par : (∀x ∈ ℝ⁺) , ƒ_n(x) = xⁿ + arctan (x/n).

1. Montrer que : (∃!α_n ∈ ℝ⁺) , ƒ(α_n) = 1.
2. Montrer que : (∀n ∈ ℕ*) , 0 < α_n < 1 et que : (∀x ∈ [0, 1]) , ƒ_n+1(x) < ƒ_n(x).
3. En déduire la monotonie de (α_n)_n∈ℕ* puis montrer qu’elle est convergente.
4. Montrer que : lim_x→+∞ α_n = 1.

Exercice 3

Soit n ∈ ℕ*, on considère la fonction définie sur ℝ⁺ par : ƒ_n(x) = arctan (x/n) + 2x − 1.

1. Montrer que : (∀n ∈ ℕ*)(∃!α_n ∈ ℝ⁺) , ƒ_n(α_n) = 0.
2. Montrer que : (∀n ∈ ℕ*)(∀x ∈ ℝ⁺) , ƒ_n+1(x) ≤ ƒ_n(x).
3. Étudier la monotonie de (α_n) et déduire qu’elle est convergente.
4. Calculer lim_n→+∞ α_n/n , puis déduire lim_n→+∞ α_n.

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Correction de la série d’exercices N2

Exercice 1

Soit n ∈ ℕ* et ƒ_n la fonction définie sur [0, 1] par : (∀x ∈ [0, 1]) , ƒ_n(x) = xⁿ + x − 1.

1. La fonction ƒ_n est dérivable sur [0, 1] car c’est la restriction d’une fonction polynôme sur [0, 1].

(∀x ∈ [0, 1]) , ƒ_n′(x) = nxⁿ⁻¹ + 1

puisque : nxⁿ + 1 > 0 donc

(∀x ∈ [0, 1]) , ƒ_n′(x) > 0

D’où la fonction ƒ_n est strictement croissante sur [0, 1] .

2. Montrons que l’équation ƒ_n(x) = 0 admet une solution unique α_n ∈ ]0, 1[.

∎ La fonction ƒ_n est continue sur [0, 1] car c’est la restriction d’une fonction polynôme sur [0, 1] .

∎ La fonction ƒ_n est strictement croissante sur [0, 1] .

∎ On a ƒ_n(0) = − 1 et ƒ_n(1) = 1 alors ƒ_n(0) × ƒ_n(1) < 0.

Donc d’après le T.V.I l’équation ƒ_n(x) = 0 admet une solution unique α_n dans ]0, 1[ .

Autrement dit :

(∀n ∈ ℕ*)(∃!α_n ∈ ]0, 1[) , ƒ_n(α_n) = 0.

3. Montrons que la suite (α_n)_n∈ℕ* est convergente.

Soit n ∈ ℕ* et x ∈ ]0, 1[ . On a

ƒ_n+1(x) − ƒ_n(x) = xⁿ⁺¹ + x − 1 − (xⁿ + x − 1)

= xⁿ⁺¹ − xⁿ

= xⁿ(x − 1)

comme xⁿ(x − 1) < 0, alors ƒ_n+1(x) − ƒ_n(x) < 0 donc

(∀n ∈ ℕ*) (∀x ∈ ]0, 1[) , ƒ_n+1(x) < ƒ_n(x)

En évaluons cette inégalité en x = α_n, alors on obtient ƒ_n+1(α_n) < ƒ_n(α_n) et comme ƒ_n(α_n) = 0 alors ƒ_n+1(α_n) < 0, puisque ƒ_n+1(α_n+1) = 0, alors ƒ_n+1(α_n) < ƒ_n+1(α_n+1). Comme la fonction ƒ_n+1 est strictement croissante sur [0, 1] alors d’après le théorème de la bijection la fonction ƒ⁻¹_n+1 est de même monotonie que ƒ_n+1. On en déduit que

α_n = ƒ⁻¹_n+1 (ƒ_n+1(α_n)) <ƒ⁻¹_n+1(ƒ_n+1(α_n+1)) = α_n+1

Donc la suite (α_n)_n∈ℕ* est strictement croissante.

La suite (α_n)_n∈ℕ* est majorée par 1 et comme elle est croissante alors (α_n)_n∈ℕ* converge vers l. (lim_n→+∞ α_n = l). D’autre part, comme 0 < α_n < 1 alors par passage à la limite on obtient : 0 ≤ l ≤ 1.

Montrons que : (∀n ∈ ℕ*) , α_n ≤ l.

On suppose par l’absurde qu’il existe un rang N > 0 tel que : α_N > l. La suite (α_n) étant croissante, on a pour tout n ≥ N : α_n ≥ α_N. Par passage à la limite on en déduit que : l ≥ α_N. Donc l > l, ce qui impossible.

Donc

(∀n ∈ ℕ*) , 0 < α_n ≤ l

On suppose par l’absurde que l ≠ 1 c’est-à-dire 0 ≤ l < 1.

On a

ƒ_n(α_n) = 0 ⇔ αⁿ_n + α_n − 1 = 0 ⇔ α_n = 1 − αⁿ_n (∴)

et comme 0 < α_n ≤ l alors 0 < αⁿ_n ≤ lⁿ. Or lⁿ → 0._n→+∞ Car 0 ≤ l < 1. Ainsi par le théorème d’encadrement, on a : αⁿ_n → 0._n→+∞

Or par passage à la limite dans (∴) on obtient : l = 1. Ceci contredit l’hypothèse l ≠ 1.

Donc

l = 1

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Devoir surveillé sur les suites numériques 2 bac sm

Exercice 1

Pour tout n ∈ ℕ* et x ∈ ℝ⁺, on pose : P_n(x) = xⁿ + xⁿ⁻¹ + … + x² + x − 1.

1. Montrer que l’équation P_n(x) = 0 admet une solution unique α_n ∈ ]0, +∞[.
2. Montrer que la suite (α_n)_n≥2 est décroissante puis en déduire qu’elle est convergente.
3. Montrer que : lim_n→+∞ α_n = 1/2.

Exercice 2

Pour tout n ∈ ℕ* on considère la fonction ƒ_n définie sur ℝ par : ƒ_n(x) = x³ + nx − 1.

1. Montrer que l’équation ƒ_n(x) = 0 admet une solution unique x_n dans l’intervalle ]0, 1[.
   1. Montrer que la suite (x_n)_n≥1 est décroissante.
   2. En déduire que la suite (x_n)_n≥1 est convergente.
2. Montrer que pour tout n ∈ ℕ*, x_n < 1/n. Déterminer la limite de la suite (x_n)_n≥1.

Exercice 3

On considère les suites (u_n)_n≥1 , (v_n)_n≥1 et (w_n)_n≥1 définie pour tout n ∈ ℕ* par :

u_n = ∑ⁿ_k=1 1/√k , v_n = u_n − 2√n+1 et w_n = u_n − 2√n

1. Montrer que la suite (v_n)_n≥1 est croissante et que la suite (w_n)_n≥1 est décroissante.
2. Montrer que les suites (v_n)_n≥1 et (w_n)_n≥1 sont adjacentes.
3. En déduire la limite de la suite (u_n)_n≥1.

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Correction du devoir

Exercice 1

Pour tout n ∈ ℕ* et x ∈ ℝ⁺, on pose : P_n(x) = xⁿ + xⁿ⁻¹ + … + x² + x − 1.

1. Montrons que l’équation P_n(x) = 0 admet une solution unique α_n ∈ ]0, +∞[.

∎ La fonction P_n est continue sur ℝ⁺ car c’est la restriction d’une fonction polynôme sur ℝ⁺.

∎ la fonction P_n est dérivable sur ℝ⁺. On a

(∀x ∈ ℝ⁺) , P′_n(x) = ∑ⁿ_k=1 kx^k−1

puisque : kx^k−1 > 0 pour tout k ∈ {1, … , n}. Donc

(∀x ∈ ℝ⁺) , P′_n(x) > 0.

D’où la fonction P_n est strictement croissante sur ℝ⁺.

Donc d’après le théorème de la bijection la fonction P_n réalise une bijection de l’intervalle ℝ⁺ sur P_n(ℝ⁺) = [P_n(0), lim_n→+∞ P_n(x)[ = [−1, +∞[ , et comme 0 ∈ [−1, +∞[ alors il existe unique α_n dans ]0, +∞[ tel que P_n(α_n) = 0. Autrement dit :

(∀n ∈ ℕ*)(∃!α_n ∈ ]0, +∞[) , P_n(α_n) = 0.

2.

∎ Montrons que la suite (α_n)_n≥2 est décroissante.

Soit n ∈ ℕ*∖{1} et x ∈ ℝ⁺, on a

P_n+1(x) − P_n(x) = xⁿ⁺¹ + xⁿ + … + x² + x − 1 − (xⁿ + xⁿ⁻¹ + … + x² + x − i)

= xⁿ⁺¹

comme xⁿ⁺¹≥ 0 alors P_n+1(x) − P_n(x) ≥ 0, donc

(∀n ∈ ℕ*∖ {1})(∀x ∈ ℝ⁺) , P_n+1(x) ≥ P_n(x).

En évaluons cette inégalité en x = α_n on obtient P_n+1(α_n) ≥ P_n(α_n), et comme P_n(α_n) = 0 alors P_n+1(α_n) ≥ 0 , puisque P_n+1(α_n+1) = 0, alors P_n+1(α_n) ≥ P_n+1(α_n+1). Comme P_n+1 est strictement croissante sur ℝ⁺ . On en déduit que :

α_n ≥ α_n+1

D’où la suite (α_n)_n≥2 est décroissante.

∎ La suite (α_n)_n≥2 est minorée par 0 et comme elle est décroissante alors (α_n)_n≥2 converge vers l. (lim_n→+∞ α_n = l).

3. Montrons que : lim_n→+∞ α_n = 1/2.

Soit n ∈ ℕ*∖ {1}, on a

P_n(α_n) = 0 ⇔ αⁿ_n + αⁿ⁻¹_n + … + α²_n + α_n − 1 = 0

⇔ αⁿ_n + αⁿ⁻¹_n + … + α²_n + α_n + 1 = 2

⇔ ∑ⁿ_k=0 α^k_n = 2 (∎)

puisque la suite (α_n)_n≥2 est décroissante alors α_n ≤ α₂ et comme α₂ est solution de l’équation P₂(x) = 0, alors

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Série d’exercices numéro 4 sur les suites numériques

Exercice 01

On considère la suite (u_n), telle que :

u_n+1 = u³_n/3u²_n +1 , u₀ = 1

1. Montrer par récurrence que : (∀n ∈ ℕ); u_n > 0.
2. Etudier les variations de la suite (u_n).
3. a) Montrer que : (∀n ∈ ℕ); 0 < u_n+1 < 1/3u_n .

b) En déduire que : (∀n ∈ ℕ) ; 0 < u_n < (1/3)ⁿ .

c) Montrer que la suite (u_n) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 02

On considère la suite (u_n ), telle que :

u₀ = 1 et u₁ = 4

u_n+2 = 3/2 u_n+1 − 1/2 u_n

1. Calculer u₂.
2. On pose pour tout n ∈ ℕ : v_n = u_n+1 − u_n.

a) Déterminer la nature de (v_n).

b) Calculer v_n en fonction de n.

3. Calculer la somme S_n = v₀ + v₁ + v₂ + … + v_n

4. En déduire u_n au fonction de n, puis calculer lim_n→+∞ u_n.

Exercice 03

On considère la suite (u_n ), telle que :

u₀ = 1

u_n+1 = u³_n + 2/u²_n + 1

1. Montrer par récurrence que : (∀n ∈ ℕ); 0 < u_n < 2.
2. Etudier les variations de la suite u_n .
3. a) Montrer que : (∀n ∈ ℕ); 0 < 2 − u_n+1 < 4/5(2 − u_n).

b) En déduire que (∀n ∈ ℕ); 0 < 2 − u_n < (4/5)ⁿ .

c) Montrer que u_n est convergente et calculer sa limite.

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