Les suites numériques exercices corrigés pdf 2 bac

Les suites numériques exercices corrigés pdf 2 bac

Les suites numériques exercices corrigés pdf 2 bac. (Bac/ Terminale)

Exercice 1

Calculer en fonction de n le terme général de la suite (un)n dans chacun des cas suivants :

un = nk=0 3k−52kk+1 et un = nk=1 2k3−k

Exercice 2

On considère la suite numérique (un)n définie par :

u0 = 0 et un+1 = 5un+4/un+2 , pour tout n .

  1. Calculer u1 et u2.
  2. Montrer que : ∀n, 0un < 4.
  3. Étudier le monotonie de la suite (un)n.
  4. On considère la suite numérique (vn)n définie par :

vn = un−4/un+1 , pour tout n

a) Montrer que (vn)n est une suite géométrique, on déterminera son raison.

b) Exprimer vn puis un en fonction de n pour tout n.

5. Pour tout n, on pose : Sn = ∑nk=0 1/uk+1.

Déterminer l’expression de Sn en fonction de n.

Exercice 3

On considère les suites numériques (un)n et (vn)n définies par :

u0 = 2, u1 = 4/9 et un+2 = 1/27(12un+1−un) et vn = un − 1/3n, pour tout n.

  1. Montrer que :

n , un+1 = 1/9un + 2/3n+2

2. Montrer que (vn)n est une suite géométrique, puis exprimer un en fonction de n.

3. Exprimer en fonction de n la somme Sn = ∑nk=0 uk.

Exercice 4

Soit (un)n la suite numérique définie par :

u0 = 1 et un+1 = 2un+1 + n + 1, pour tout n.

  1. Calculer u1 et u2.
  2. Montrer par récurrence que :

n*, un = 2n(1 + ∑nk=1 k/2k)

3. Montrer par récurrence que :

n*, nk=1 k/2k = 2 − n+2/2n

4. En déduire que :

n, un = 3 × 2n − n − 2

Exercice 5

Soit (un)n* la suite numérique définie par :

un = ∑nk=1 1/k√k

  1. Calculer u1 et u2.
  2. Étudier la monotonie de la suite (un)n* .
  3. Montrer que :

p*∖ {1} , 1/√p−1 − 1/√p1/2p√p

4. En déduire que :

n *, 1un3 − 2/n

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Correction de la série d’exercices sur les suites numériques
Exercice 2

On considère la suite numérique (un)n définie par :

u0 = 0 et un+1 = 5un+4/un+2 , pour tout n

  1. On a : u1 = 5u0+4/u0+2 = 0+4/0+2 = 2 et u2 = 5u1+4/u1+2 = 5×2+4/2+2 = 7/2.
  2. Montrons que : (∀n) , 0un < 4.
  • Pour n = 0, on a : u0 = 0 donc : 0u0 < 4. L’encadrement est vrai.
  • Soit n. Supposons que : 0un < 4 et on montre que : 0un+1 < 4.

Comme 0un < 4, alors : 5un+4/un+20, c’est-à-dire : un+10. (1)

D’autre part, on a :

un+1 − 4 = 5un+4/un+2 − 4

= 5un+4−4un−8/un+2

= un−4/un+2

Comme 0un < 4, alors : un−4/un+2 < 0, c’est-à-dire : un+1 < 4. (2)

D’après (1) et (2) , on conclut que : 0un+1 < 4.

  • D’après le principe de récurrence, on en déduit que :

(∀n) , 0un < 4

3. Le sens de variations de la suite (un)n .

Soit n .

un+1 − un = 5un+4/un+2 − un

= 5un+4−un2−2un/un+2

= −un2+3un+4/un+2

= −(un + 1)(un − 4)/un+2

Comme 0un < 4 alors −(un + 1)(un − 4)/un+20, donc un+1 − un 0. Ceci signifie que la suite (un)n est strictement croissante.

4. On considère la suite numérique (vn)n définie par : vn = un−4/un+1 pour n.

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Série d’exercices numéro 2 sur les suites numériques (2 bac sm)

Exercice 1

Soit n* et ƒn la fonction définie sur [0, 1] par : (∀x ∈ [0, 1]) , ƒn(x) = xn + x − 1.

  1. Dresser le tableau de variation de ƒn sur [0, 1] .
  2. Montrer que l’équation ƒn(x) = 0 admet une solution unique αn dans ]0, 1[.
  3. Montrer que la suite (αn)n* est convergente en précisant sa limite.
Exercice 2

Soit n* et ƒn la fonction définie sur + par : (∀x+) , ƒn(x) = xn + arctan (x/n).

  1. Montrer que : (∃!αn+) , ƒ(αn) = 1.
  2. Montrer que : (∀n*) , 0 < αn < 1 et que : (∀x ∈ [0, 1]) , ƒn+1(x) < ƒn(x).
  3. En déduire la monotonie de (αn)n* puis montrer qu’elle est convergente.
  4. Montrer que : limx→+∞ αn = 1.
Exercice 3

Soit n*, on considère la fonction définie sur + par : ƒn(x) = arctan (x/n) + 2x − 1.

  1. Montrer que : (∀n*)(∃!αn+) , ƒn(αn) = 0.
  2. Montrer que : (∀n*)(∀x +) , ƒn+1(x) ≤ ƒn(x).
  3. Étudier la monotonie de (αn) et déduire qu’elle est convergente.
  4. Calculer limn→+∞ αn/n , puis déduire limn→+∞ αn.
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Correction de la série d’exercices N2

Exercice 1

Soit n* et ƒn la fonction définie sur [0, 1] par : (∀x ∈ [0, 1]) , ƒn(x) = xn + x − 1.

  1. La fonction ƒn est dérivable sur [0, 1] car c’est la restriction d’une fonction polynôme sur [0, 1].

(∀x ∈ [0, 1]) , ƒn′(x) = nxn−1 + 1

puisque : nxn + 1 > 0 donc

(∀x ∈ [0, 1]) , ƒn(x) > 0

D’où la fonction ƒn est strictement croissante sur [0, 1] .

2. Montrons que l’équation ƒn(x) = 0 admet une solution unique αn ∈ ]0, 1[.

∎ La fonction ƒn est continue sur [0, 1] car c’est la restriction d’une fonction polynôme sur [0, 1] .

∎ La fonction ƒn est strictement croissante sur [0, 1] .

∎ On a ƒn(0) = − 1 et ƒn(1) = 1 alors ƒn(0) × ƒn(1) < 0.

Donc d’après le T.V.I l’équation ƒn(x) = 0 admet une solution unique αn dans ]0, 1[ .

Autrement dit :

(∀n*)(∃!αn ∈ ]0, 1[) , ƒn(αn) = 0.

3. Montrons que la suite (αn)n* est convergente.

Soit n* et x ∈ ]0, 1[ . On a

ƒn+1(x) − ƒn(x) = xn+1 + x − 1 − (xn + x − 1)

= xn+1 − xn

= xn(x − 1)

comme xn(x − 1) < 0, alors ƒn+1(x) − ƒn(x) < 0 donc

(∀n*) (∀x ∈ ]0, 1[) , ƒn+1(x) < ƒn(x)

En évaluons cette inégalité en x = αn, alors on obtient ƒn+1(αn) < ƒn(αn) et comme ƒn(αn) = 0 alors ƒn+1(αn) < 0, puisque ƒn+1(αn+1) = 0, alors ƒn+1(αn) < ƒn+1(αn+1). Comme la fonction ƒn+1 est strictement croissante sur [0, 1] alors d’après le théorème de la bijection la fonction ƒ−1n+1 est de même monotonie que ƒn+1. On en déduit que

αn = ƒ−1n+1n+1(αn)) <ƒ−1n+1n+1(αn+1)) = αn+1

Donc la suite (αn)n* est strictement croissante.

La suite (αn)n* est majorée par 1 et comme elle est croissante alors (αn)n* converge vers l. (limn→+∞ αn = l). D’autre part, comme 0 < αn < 1 alors par passage à la limite on obtient : 0l 1.

Montrons que : (∀n*) , αn l.

On suppose par l’absurde qu’il existe un rang N > 0 tel que : αN > l. La suite (αn) étant croissante, on a pour tout n N : αn αN. Par passage à la limite on en déduit que : lαN. Donc l > l, ce qui impossible.

Donc

(∀n*) , 0 < αn l

On suppose par l’absurde que l 1 c’est-à-dire 0 l < 1.

On a

ƒn(αn) = 0αnn + αn − 1 = 0 αn = 1 − αnn (∴)

et comme 0 < αnl alors 0 < αnn ln. Or ln → 0.n→+∞ Car 0 l < 1. Ainsi par le théorème d’encadrement, on a : αnn  0.n→+∞

Or par passage à la limite dans (∴) on obtient : l = 1. Ceci contredit l’hypothèse l ≠ 1.

Donc

l = 1

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Devoir surveillé sur les suites numériques 2 bac sm

Exercice 1

Pour tout n* et x+, on pose : Pn(x) = xn + xn−1 + … + x2 + x − 1.

  1. Montrer que l’équation Pn(x) = 0 admet une solution unique αn ∈ ]0, +∞[.
  2. Montrer que la suite (αn)n≥2 est décroissante puis en déduire qu’elle est convergente.
  3. Montrer que : limn→+∞ αn = 1/2.
Exercice 2

Pour tout n* on considère la fonction ƒn définie sur par : ƒn(x) = x3 + nx − 1.

  1. Montrer que l’équation ƒn(x) = 0 admet une solution unique xn dans l’intervalle ]0, 1[.
    1. Montrer que la suite (xn)n≥1 est décroissante.
    2. En déduire que la suite (xn)n≥1 est convergente.
  2. Montrer que pour tout n*, xn < 1/n. Déterminer la limite de la suite (xn)n≥1.
Exercice 3

On considère les suites (un)n≥1 , (vn)n≥1 et (wn)n≥1 définie pour tout n* par :

un = ∑nk=1 1/√k , vn = un − 2√n+1 et wn = un − 2√n

  1. Montrer que la suite (vn)n≥1 est croissante et que la suite (wn)n≥1 est décroissante.
  2. Montrer que les suites (vn)n≥1 et (wn)n≥1 sont adjacentes.
  3. En déduire la limite de la suite (un)n≥1.
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Correction du devoir

Exercice 1

Pour tout n * et x +, on pose : Pn(x) = xn + xn−1 + … + x2 + x − 1.

  1. Montrons que l’équation Pn(x) = 0 admet une solution unique αn ∈ ]0, +∞[.

∎ La fonction Pn est continue sur + car c’est la restriction d’une fonction polynôme sur +.

∎ la fonction Pn est dérivable sur +. On a

(∀x+) , P′n(x) = ∑nk=1 kxk−1

puisque : kxk−1 > 0 pour tout k ∈ {1, … , n}. Donc

(∀x+) , P′n(x) > 0.

D’où la fonction Pn est strictement croissante sur +.

Donc d’après le théorème de la bijection la fonction Pn réalise une bijection de l’intervalle + sur Pn(+) = [Pn(0), limn→+∞ Pn(x)[ = [−1, +∞[ , et comme 0 ∈ [−1, +∞[ alors il existe unique αn dans ]0, +∞[ tel que Pn(αn) = 0. Autrement dit :

(∀n*)(∃!αn ∈ ]0, +∞[) , Pn(αn) = 0.

2.

∎ Montrons que la suite (αn)n≥2 est décroissante.

Soit n *∖{1} et x+, on a

Pn+1(x) − Pn(x) = xn+1 + xn + … + x2 + x − 1 − (xn + xn−1 + … + x2 + x − i)

= xn+1

comme xn+10 alors Pn+1(x) − Pn(x) ≥ 0, donc

(∀n*∖ {1})(∀x+) , Pn+1(x) ≥ Pn(x).

En évaluons cette inégalité en x = αn on obtient Pn+1(αn) ≥ Pn(αn), et comme Pn(αn) = 0 alors Pn+1(αn) ≥ 0 , puisque Pn+1(αn+1) = 0, alors Pn+1(αn) ≥ Pn+1(αn+1). Comme Pn+1 est strictement croissante sur + . On en déduit que :

αn αn+1

D’où la suite (αn)n≥2 est décroissante.

∎ La suite (αn)n≥2 est minorée par 0 et comme elle est décroissante alors (αn)n≥2 converge vers l. (limn→+∞ αn = l).

3. Montrons que : limn→+∞ αn = 1/2.

Soit n*∖ {1}, on a

Pn(αn) = 0 αnn + αn−1n + … + α2n + αn − 1 = 0

αnn + αn−1n + … + α2n + αn + 1 = 2

⇔ ∑nk=0 αkn = 2 (∎)

puisque la suite (αn)n≥2 est décroissante alors αn α2 et comme α2 est solution de l’équation P2(x) = 0, alors

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Devoir surveillé sur les suites numériques et l’étude des fonctions

Exercice 01

On considère la suite numérique (un) définie par :

u0 = 4 et un+1 = 2/5un + 3 ; ∀n

  1. Montrer par récurrence que : un < 5 pour tout n.
  2. Vérifier que : un+1 − un = 3/5(5 − un) pour tout n, puis déduire la monotonie de la suite (un).
  3. Déduire que la suite (un) est convergente.
  4. Soit (vn) la suite numérique telle que : vn = 5 − un pour tout n .
    1. Montrer que la suite (vn) est géométrique et exprimer vn en fonction de n.
    2. Déduire que un = 5 − (2/5)n pour tout n, puis déterminer limn→+∞ un .
    3. Pour tout n*, on pose : Sn = v0 + v1 + … + vn−1, considérons la suite (wn)n* définie par : wn = 3Sn/5. Montrer que limn→+∞ wn = 1.
Exercice 02

Soit ƒ la fonction définie sur ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x/2 + 2/x

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x).
  2. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur ]0, +∞[ , puis montrer que pour tout x ∈ ]0, +∞[ on a ƒ′(x) = (x − 2)(x + 2)/2x2
  3. Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur [2,3], puis montrer que : ƒ([2,3]) ⊂ [2,3] .
  4. Montrer que : (∀x ∈ [2,3]) : ƒ(x) ≤ x.
  5. On considère la suite (un) définie par : u0 = 3 et un+1 = ƒ(un); ∀n
    1. Montrer par récurrence que : (∀n); 2 ≤ un ≤ 3.
    2. Montrer que la suite (un) est décroissante, puis déduire qu’elle est convergente.
    3. Calculer limn→+∞ un .
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Devoir de maison sur la fonction logarithme et les suites numériques

Problème d’analyse

On considère la fonction numérique ƒ de la variable réelle x telle que :

ƒ(x) = 1/x(1 − ln x)

et soit (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (unité 2cm)

Partie 01
  1. Montrer que : Dƒ = ]0, e[∪]e, +∞[. (Dƒ est l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
    1. Calculer limx→e+ ƒ(x) et limx→e ƒ(x) puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.
    2. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et en déduire la courbe (Cƒ) admet une asymptote au voisinage de +∞ que l’on déterminera.
    3. Montrer que limx→0+ ƒ(x) = +∞ et donner une interprétation géométrique à ce résultat.
    1. Montrer que pour tout x de Dƒ . ƒ′(x) = ln x/x2(1 − ln x)2
    2. Montrer que la fonction ƒ est décroissante sur l’intervalle ]0,1] et croissante sur chacun des deux intervalles [1,e[ et ]e,+∞[.
    3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur Dƒ.
Partie 02

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = 1 − x2(1 − ln x)

et soit (Cg) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé (voir figure).

    1. Déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation (E) suivante : g(x) = 0 , x ∈ ]0, +∞[.
    2. On donne le tableau de valeurs suivant : Montrer que l’équation (E) admet une solution α telle que : 2,2 < α < 2,3.
    1. Vérifier que : ƒ(x) − x = g(x)/x(1 − ln x) pour tout x de Dƒ .
    2. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x coupe la courbe (Cƒ) aux deux points d’abscisses 1 et α.
    3. Déterminer, à partir de (Cg), la signe de la fonction g sur l’intervalle [1, α].
  1. Tracer, la courbe (Cg) et la droite (∆) dans le repère orthonormé ( O , i , j ).
  2. Déterminer les primitives de la fonction ƒ sur Dƒ .
Partie 03

On considère la suite numérique (un) définie par :

u0 = 2 et un+1 = ƒ(un) pour tout n

  1. Montrer par récurrence que 1 ≤ un ≤ α pour tout n de .
  2. Montrer que la suite (un) est décroissante.
  3. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
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Série d’exercices numéro 3 sur les suites numériques

Exercice 01

On considère la suite (un), telle que :

un+1 = u3n/3u2n +1 , u0 = 1

  1. Montrer par récurrence que : (∀n ∈ ); un > 0.
  2. Etudier les variations de la suite (un).
  3. a) Montrer que : (∀n ∈ ); 0 < un+1 < 1/3un .

b) En déduire que : (∀n ∈ ) ; 0 < un < (1/3)n .

c) Montrer que la suite (un) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 02

On considère la suite (un ), telle que :

u0 = 1 et u1 = 4

un+2 = 3/2 un+1 − 1/2 un

  1. Calculer u2.
  2. On pose pour tout n ∈ : vn = un+1 − un.

a) Déterminer la nature de (vn).

b) Calculer vn en fonction de n.

3. Calculer la somme Sn = v0 + v1 + v2 + … + vn

4. En déduire un au fonction de n, puis calculer limn→+∞ un.

Exercice 03

On considère la suite (un ), telle que :

u0 = 1

un+1 = u3n + 2/u2n + 1

  1. Montrer par récurrence que : (∀n ∈ ); 0 < un < 2.
  2. Etudier les variations de la suite un .
  3. a) Montrer que : (∀n ∈ ); 0 < 2 − un+1 < 4/5(2 − un).

b) En déduire que (∀n ∈ ); 0 < 2 − un < (4/5)n .

c) Montrer que un est convergente et calculer sa limite.

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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