Les intégrales exercices corrigés

Les intégrales exercices corrigés 2 bac. (2ème année Bac / Terminale)

Exercice 1 (questions indépendants)

1. En utilisant une intégration par partie, calculer l’intégrale : I = ∫²₁ ln xdx.
2. Calculer l’intégrale : I = ∫^e_1/e 1/x ∣ln x∣ dx.
3. En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫^π/2₀ cos x . ln (1 + cos x)dx = π/2  − 1

Exercice 2 (les intégrales exercices corrigés)

1. Vérifier que : x²/x+1 = x − 1 + 1/x+1 pour tout x de ℝ∖〈−1〉.

2. Montrer que : ∫²₀ x² /x+1dx = ln 3

3. En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫²₀ x ln(x+1)dx = 3/2 ln 3.

Exercice 3 (Les intégrales exercices corrigés)

On pose : I = ∫^-1_-2 x/x+3dx et J = ∫^-1_-2 ln(2x +6)dx.

1. Montrer que : I = 1 − 3ln 2 .
2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : J = − I .

Exercice 4 1. Déterminer les fonctions primitives de la fonction x → 2x(x² − 1)²⁰²¹ sur ℝ et vérifier que : ∫^√2₁ 2x(x² − 1)²⁰²¹ .

2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫²₀ (2x + 1) ln(x + 1)dx = 6 ln 3 − 2

Exercice 5 On définit, pour tout entier naturel n≥1, l’intégrale : I_n =∫²₀ 1/n!(2 − x)ⁿ e^x dx.

1. Calculer I₁ .
2. Etablir que pour tout entier naturel n≥1, 0≤I_n ≤2ⁿ/n!(e² − 1).
3. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

∀n ∈ ℕ* , I_n+1 = I_n − 2ⁿ⁺¹ /(n+1)!

4. Démontrer par récurrence que : e² = 1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2n/n! + I_n.

5. On pose, pour tout entier naturel n≥1, u_n = 2ⁿ/n!

a). Calculer u_n+1/u_n et prouver que pour tout entier naturel n≥3, u_n+1≤1/2u_n .

b). En déduire que pour tout entier naturel n≥3, 0≤u_n ≤u₃ (1/2)^n-3.

c). Déduire : lim_n→+∞ u_n , puis lim_n→+∞ I_n.

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Correction de la série d’exercices

Exercice 5

On définit, pour tout entier naturel n ≥ 1, l’intégrale : I_n = ∫²₀ 1/n! (2 − x)ⁿe^xdx :

1. Calculons I₁ :

On a : I₁ = ∫²₀ (2 − x)ⁿe^xdx. En utilisant une intégration par partie, on obtient :

On pose :

{ u(x) = 2 − x et v′(x) = e^x ⇒  { u′(x) = − 1 et v(x) = e^x

Donc

∫²₀ (2 − x)e^xdx = [(2 − x)e^x]²₀ − ∫²₀ −e^xdx

= −2 + ∫²₀ e^xdx

= − 2 + [e^x]²₀

= − 2 + e² − 1 = e² − 3

2. Montrons que pour tout n ≥ 1, on a : 0 ≤ I_n ≤ 2ⁿ/n! (e² − 1)

On a : I_n = ∫²₀ 1/n! (2 − x)ⁿe^xdx

x ∈ [0, 2] ⇒ 0 ≤ x ≤ 2

⇒ 0 ≤ 2 − x ≤ 2

⇒ 0 ≤ (2 − x)ⁿ/n! ≤ 2ⁿ/n!

⇒ 0 ≤ 1/n!(2 − x)ⁿe^x ≤ 2ⁿ/n!e^x

⇒ 0 ≤ ∫²₀ 1/n!(2 − x)ⁿe^xdx ≤ 2ⁿ/n! ∫²₀ e^xdx

⇒ 0 ≤ ∫²₀ 1/n!(2 − x)ⁿe^xdx ≤ 2ⁿ/n! [e^x]²₀

⇒ 0 ≤ I_n ≤ 2ⁿ/n! (e² − 1)

3. Montrons que pour tout n ∈ ℕ*, I_n+1 = I_n − 2ⁿ⁺¹/(n+1)! :

On a : I_n = ∫²₀ 1/n! (2 − x)ⁿe^xdx = 1/n! ∫²₀ (2 − x)ⁿe^xdx :

On pose

{ u(x) = e^x et v′(x) = (2 − x)ⁿ ⇒ { u′(x) = e^x et v(x) = −(2−x)ⁿ⁺¹/n+1

Donc

I_n = 1/n!([−e^x.(2 − x)ⁿ⁺¹/n+1]²₀ + ∫²₀ e^x (2 − x)ⁿ⁺¹/n+1 dx)

= 1/n! [−e^x.(2 − x)ⁿ⁺¹/n+1]²₀ + ∫²₀ (2 − x)ⁿ⁺¹/n!(n+1)e^x dx

= 1/n! . 2ⁿ⁺¹/n+1 + ∫²₀ (2 − x)ⁿ⁺¹/(n+1)!e^x dx

= 2ⁿ⁺¹/(n + 1)! + I_n+1

Donc, on obtient : I_n = 2ⁿ⁺¹/(n + 1)! + I_n+1. Ce qui signifie que :

I_n+1 = I_n − 2ⁿ⁺¹/(n + 1)!

4. Démontrons par récurrence : e² = 1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + I_n

Initialisation. Si n = 1, on obtient : e² = 1 + 2/1! + I₁, c’est-à-dire : e² = e². Ce qui signifie que l’égalité est vraie pour n = 1.

Hérédité. On suppose que e² = 1+ 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + I_n pour un certain entier n.

Montrons que : e² = 1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ⁺¹/(n+1)! + I_n+1.

On a

e² = 1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + 2ⁿ⁺¹/(n+1)! − 2ⁿ⁺¹/(n+1)! + I_n

= (1+ 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + 2ⁿ⁺¹/(n+1)!) + I_n − 2ⁿ⁺¹/(n+1)!

= 1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + 2ⁿ⁺¹/(n+1)! + I_n+1

Donc, on obtient

e² = 1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + 2ⁿ⁺¹/(n+1)! + I_n+1

Conclusion. D’après le principe de récurrence on en déduit que tout entier n dans ℕ* on a : e² = 1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + I_n.

Méthode 02

Soit n ∈ ℕ* on a : I_n+1 − I_n = −2ⁿ⁺¹/(n+1)!. (Question 3/)

Donc

{ I₁ − I₀ = −2¹/1! et I₂ − I₁ = −2²/2! et I₃ − I₂ = −2³/3! et I₄ − I₃ = −2⁴/4! … I_n − I_n−1 = −2ⁿ/n!

ensuite on fait la somme de ces égalités, on obtient :

(I₁ − I₀) + (I₂ − I₁) + (I₃ − I₂) + … + (I_n − I_n−1) = − (2¹/1! + 2²/2! + 2³/3! + … + 2ⁿ/n!)

en simplifiant et on obtient :

−I₀ + I_n = − (2¹/1! + 2²/2! + 2³/3! + … + 2ⁿ/n!)

Donc : I₀ = 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + I_n et comme I₀ = e² − 1, alors on aura :

e² = 1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + I_n

5. On pose pour tout entier naturel n ≥ 1, u_n = 2ⁿ/n!

a) Calculons u_n+1/u_n

u_n+1/u_n = 2ⁿ⁺¹/(n+1)!/2ⁿ/n! = 2ⁿ⁺¹/(n+1)! × n!/2ⁿ = 2/n+1

Montrons que pour tout entier naturel n ≥ 3, on a : u_n+1 ≤ 1/2u_n

On a pour tout entier naturel n ≥ 3. u_n+1/u_n = 2/n+1. Comme 2/n+1 ≤ 1/2 , donc u_n+1/u_n ≤ 1/2. Ce qui signifie que : u_n+1 ≤ 1/2u_n.

b) Pour tout entier naturel n ≥ 3, on a : u_n+1 ≤ 1/2u_n.

{ u₄ ≤ 1/2u₃ et u₅ ≤ 1/2u₄ et u₆ ≤ 1/2u₅ et u₇ ≤ 1/2u₆ … u_n ≤ 1/2u_n−1

ensuite en fait le produit de ces inégalités (n − 3)fois, on obtient

u₄ × u₅ × u₆ × u₇ × … × u_n ≤ (1/2 × 1/2 × … × 1/2)_{(n − 3)fois} × u₃ × u₄ × u₅ × u₆ × … × u_n−1

en simplifiant, on obtient : u_n ≤ u₃(1/2)ⁿ⁻¹, et comme u_n ≥ 0 pour tout entier n ≥ 3 alors

∀n ≥ 3, 0 ≤ u_n ≤ u₃(1/2)ⁿ⁻¹

c) On cherche : lim_n→+∞ u_n :

On sait que pour tout entier naturel n ≥ 3, on a : 0 ≤ u_n ≤ u₃(1/2)ⁿ⁻¹, et comme lim_n→+∞ (1/2)ⁿ⁻¹ = 0 car −1 ≤ 1/2 ≤ 1. Donc, on obtient :

lim_n→+∞ u_n = 0

On cherche : lim_n→+∞ I_n :

On sait que pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : 0 ≤ I_n ≤ 2ⁿ/n!(e² − 1), et comme lim_n→+∞ 2ⁿ/n! = 0. Donc, on obtient :

lim_n→+∞ I_n = 0

6. Justifions que e² = lim_n→+∞ (1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n!) :

On sait que pour tout n ∈ ℕ* on a : e² = 1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n! + I_n, et comme lim_n→+∞ I_n = 0. Donc par passage à la limite, on obtient :

e² = lim_n→+∞ (1 + 2/1! + 2²/2! + … + 2ⁿ/n!)

Les intégrales exercices corrigés Terminale pdf (la correction de la série)

Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral

Exercice 1

1. Calculer les intégrales suivantes : I = ∫²₁ x/x+1 dx et J = ∫^e₁ ln²(x)/x dx.
2. En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫^π/2₀ cos x. ln(1 + cos x)dx = π/2 − 1.
3. Calculer la valeur moyenne de la fonction : ƒ(x) = cos 2x sur [0, π/4].
4. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x lnx . Et (C_ƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (On prendra ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm). On admet que la fonction ƒ est positive sur l’intervalle [1, e].
   • Calculer l’aire en cm² du domaine délimité par (C_ƒ), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.

Exercice 2

• Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation (E) : z² − 4√3z + 16 = 0.

Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère orthonormé ( O , u , v ), on considère les pointes A et B d’affixes respectifs : z_A = 2√3 − 2i et z_B = 2√3 + 2i.

1. a) Écrire z_A et z_B sous forme trigonométrique.

b) En déduire que : OA = OB et (OA, OB) ≡ π/3 [2π]. Puis en déduire la nature du triangle OAB.

2. Le point I est le milieu du segment [AB] et soit C l’image de I par l’homothétie h de centre O et de rapport k = 2.

a) Montrer que l’affixe de I est : z_I = 2√3, puis en déduire que : z_C = 4√3.

b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

c) Déduire que : (AC, AO) ≡ 2π/3 [2π].

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Correction Devoir surveillé nombres complexes et les intégrales exercices corrigés (version 2)

Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales

Problème d’analyse 1 (Les intégrales exercices corrigés)

Pour tout entier naturel n ≥ 1 on pose :

I_n = 1/2ⁿ⁺¹ n! ∫¹₀ (1 − t)ⁿ e^t/2 dt

1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I₁.
2. Démontrer que pour tout naturel n ≥1 on a : I_n+1 = I_n − 1/2ⁿ⁺¹ (n + 1)!.
3. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n ≥1 on a : √e = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2ⁿ . 1/n! + I_n.
4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que : 0 ≤ I_n ≤ 1/2ⁿ n! A. On pourra déterminer A en majorant la fonction : t → ( 1 − t)ⁿ .e^t/2 sur l’intervalle [0, 1].
5. En déduire la limite quand n tend vers +∞ de : u_n = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2ⁿ . 1/n!

Problème d’analyse 2

On pose, pour tout entier naturel n non nul :

I_n = 1/n!∫¹₀ (1 − x)ⁿ e^−x dx.

1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I₁.
2. Prouver que pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ I_n ≤ 1/n!∫¹₀ e^−x dx. En déduire : lim_n→+∞ I_n.
3. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que pour tout naturel n non nul, on a : I_n+1 = 1/(n+1)! − I_n.

Problème d’analyse 3 Pour tout entier n de ℕ*, on considère l’intégrale :

I_n = ∫^e₁ (ln x)ⁿ dx

1. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 , e[ et pour tout entier naturel n, on a : (ln x)ⁿ − (ln x)ⁿ⁺¹ > 0.
2. En déduire que la suite (I_n) est décroissante.

Vous pouvez aussi consulter :

• Série d’exercices sur les nombres complexes
• Suites et série d’intégrales par Jean-Louis Rouget sur exo7