par Géométrie dans l’espace cours complet (2ème année bac / Terminale)
Dans tout ce qui suit, l’espace est muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ).
Produit scalaire dans l’espace (Géométrie dans l’espace cours complet)
Forme analytique du produit scalaire
Propriété 1 Si u (a, b, c) et v(a’, b’, c’) sont deux vecteurs dans l’espace, alors :
u . v = aa’ + bb’ + cc’
- Norme d’un vecteur : en particulier : ∣∣u∣∣2 = a2 + b2 + c2 , donc ∣∣u∣∣ = √a2 + b2 + c2
- Distance entre deux points : Si A(xA , yA , zA) et B(xB , yB , zB ) sont deux points de l’espace, alors :
AB = ∣∣AB∣∣ = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB + zA)2
Propriété 2 Dans l’espace, le produit scalaire est :
- commutatif : u . v = v . u
- distributif (bilinéarité) par rapport à l’addition de deux vecteurs :
u .( v + w ) = u . v + u . w
- distributif (bilinéarité) par rapport la multiplication par un scalaire :
(a u).(b v) = ab × ( u . v )
- Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si : u . v = 0.
Exemple 3 Déterminer le réel a pour que les vecteurs u et v soient orthogonaux : u (2, -1/2 , 5) et v (-2/5 , 3 , a).
Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si leur produit scalaire est nul.
On a donc :
u . v = 0 ⇔ -4/5 − 3/2 + 5a = 0
⇔ a = 1/5(4/5 + 3/2)
⇔ a = 23/50
Equation d’un plan définie par un point et un vecteur normal :
Vecteur normal sur un plan (Géométrie dans l’espace cours complet)
Définition 4 Soit (P) un plan de l’espace. On appelle vecteur normal de (P) tout vecteur (non nul) orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan.
Propriété 5 Soit n un vecteur non nul et A un point donné de l’espace. L’unique (P) passant par A et dont un vecteur normal est n est l’ensemble des points M de l’espace tels que :
Équation cartésienne de (P) :
Posons n(a, b, c) et A(xA, yA, zA), alors :
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