Devoir surveillé sur la fonction logarithme népérien

Devoir surveillé sur la fonction logarithme népérien. (Bac / Terminale)

Problème 1 (Devoir surveillé sur la fonction logarithme népérien)

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = ln ∣2x − 1∣/1 − 2x

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j).

1. Déterminer D_ƒ . (D_ƒ l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
2. Montrer que :

{ƒ(x) = ln (2x − 1)/1 − 2x si x ∈ ]1/2, +∞[

ƒ(x) = ln (2x − 1)/1 − 2x si x ∈ ]−∞, 1/2[

3. a) Calculer : lim_x→ +∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).

b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.

4. a) Calculer : lim_x→1/2 ƒ(x) et lim_x→1/2 ƒ(x)

_{x>1/2 x<1/2}

b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.

5. Montrer que :

{ƒ'(x) = 2(ln(2x − 1)− 1)/(2x − 1)² si x ∈ ]1/2, +∞[

{ƒ'(x) = 2(ln(2x − 1)− 1)/(2x − 1)² si x ∈ ]−∞, 1/2[

6. Etudier la signe de ƒ'(x) sur ]1/2, +∞[ et sur ]−∞, 1/2[.

7. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

8. Déterminer l’équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C_ƒ) en point d’abscisse x = 0.

9. Tracer (C_ƒ).

10. Soit m un paramètre réel, déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation : ƒ(x) = m.

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Correction du devoir surveillé

Problème 1 On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = ln ∣2x − 1∣/1 − 2x

1. L’ensemble de définition de la fonction ƒ :

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ ∣2x − 1∣ > 0 et 1 − 2x ≠0}

= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1/2}

= ]−∞, 1/2[⋃]1/2, +∞[

2. On exprime la fonction ƒ sans valeur absolue :

• Si : 2x − 1 > 0, alors x > 1/2. Ce qui signifie que : x ∈ ]1/2, +∞[. Donc ∣2x − 1∣ = 2x − 1. Alors l’expression de la fonction ƒ sera :

ƒ(x) = ln(2x − 1)/1 − 2x

• Si : 2x − 1 < 0, alors x < 1/2. Ce qui signifie que : x ∈ ]−∞, 1/2[. D’où ∣2x − 1∣ = −(2x − 1) = 1 − 2x. Alors l’expression de la fonction ƒ sera :

ƒ(x) = ln(1 − 2x)/1 − 2x

Donc, on conclut que l’expression de ƒ sur D_ƒ est :

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Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir de maison (la fonction logarithme et les suites)