Devoir maison sur les nombres complexes Terminale

Devoir maison sur les nombres complexes Terminale (2ème année bac / Terminale)

Problème d’analyse (Devoir maison sur les nombres complexes Terminale)

On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = −x + 5/2 − 1/2 e^x-2 (e^x-2 − 4)

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ). (unité : 2cm).

Montrer que lim_x→−∞ ƒ(x) = + ∞ et lim_x→+∞ ƒ(x) = − ∞.

a) Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de − ∞.

b) Résoudre l’équation e^x−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]− ∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, + ∞[ .

2. Montrer que lim_x→+∞ ƒ(x)/x = − ∞ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ, ƒ’(x) = −(e^x−2 − 1)²

b) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

3. Calculer ƒ »(x) pour tout x ∈ ℝ, puis montrer que A(2,2) est un point d’inflexion de (C).

4. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que : 2 + ln 3 < α < 2 + ln 4, puis en utilisant la méthode de dichotomie déterminer un encadrement de α de longueur ln 4 − ln (12)/2 .

5. Construire (∆) et (C) dans le même repère (O , i , j) (on prend ln 2 ≃ 0,7 et ln 3 ≃ 1,1).

a) Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie sur ℝ.

b) Construire dans le même repère (O , i , j) la courbe représentative de la fonction ƒ⁻¹ .

c) Justifier puis calculer (ƒ⁻¹ )'(2 − ln 3). (Indication : ƒ⁻¹ (2 − ln 3) = 2 + ln 3.

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