Devoir maison sur les nombres complexes et la fonction exponentielle

Devoir maison sur les nombres complexes Terminale

Devoir maison sur les nombres complexes Terminale (2ème année bac / Terminale)

Problème d’analyse (Devoir maison sur les nombres complexes Terminale)

On considère la fonction numérique ƒ définie sur par :

ƒ(x) = −x + 5/2 − 1/2 ex-2 (ex-2 − 4)

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ). (unité : 2cm).

  1. Montrer que limx→−∞ ƒ(x) = + ∞ et limx→+∞ ƒ(x) = − ∞.

a) Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de − ∞.

b) Résoudre l’équation ex−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]− ∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, + [ .

2. Montrer que limx→+∞ ƒ(x)/x = − ∞ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

a) Montrer que pour tout x ∈, ƒ’(x) = −(ex−2 − 1)2

b) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

3. Calculer ƒ »(x) pour tout x ∈, puis montrer que A(2,2) est un point d’inflexion de (C).

4. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que : 2 + ln 3 < α < 2 + ln 4, puis en utilisant la méthode de dichotomie déterminer un encadrement de α de longueur ln 4 − ln (12)/2 .

5. Construire (∆) et (C) dans le même repère (O , i , j) (on prend ln 2 ≃ 0,7 et ln 3 ≃ 1,1).

a) Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur .

b) Construire dans le même repère (O , i , j) la courbe représentative de la fonction ƒ−1 .

c) Justifier puis calculer (ƒ−1 )'(2 − ln 3). (Indication : ƒ−1 (2 − ln 3) = 2 + ln 3.

Cliquer ici pour télécharger Devoir maison sur les nombres complexes Terminale. C’est le devoir maison numéro 2 sur les nombres complexes et la fonction exponentielle

Cliquer ici pour télécharger la correction

Vous pouvez aussi consulter :

 

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *