par Devoir maison sur les nombres complexes Terminale (2ème année bac / Terminale)
Problème d’analyse (Devoir maison sur les nombres complexes Terminale)
On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par :
ƒ(x) = −x + 5/2 − 1/2 ex-2 (ex-2 − 4)
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ). (unité : 2cm).
- Montrer que limx→−∞ ƒ(x) = + ∞ et limx→+∞ ƒ(x) = − ∞.
a) Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de − ∞.
b) Résoudre l’équation ex−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]− ∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, + ∞[ .
2. Montrer que limx→+∞ ƒ(x)/x = − ∞ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ, ƒ’(x) = −(ex−2 − 1)2
b) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Calculer ƒ »(x) pour tout x ∈ ℝ, puis montrer que A(2,2) est un point d’inflexion de (C).
4. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que : 2 + ln 3 < α < 2 + ln 4, puis en utilisant la méthode de dichotomie déterminer un encadrement de α de longueur ln 4 − ln (12)/2 .
5. Construire (∆) et (C) dans le même repère (O , i , j) (on prend ln 2 ≃ 0,7 et ln 3 ≃ 1,1).
a) Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur ℝ.
b) Construire dans le même repère (O , i , j) la courbe représentative de la fonction ƒ−1 .
c) Justifier puis calculer (ƒ−1 )'(2 − ln 3). (Indication : ƒ−1 (2 − ln 3) = 2 + ln 3.
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