Devoir surveillé fonction logarithme et primitives (Bac/ Terminale).
Problème d’analyse
Partie 01
Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :
g(x) = x − 2lnx
- Calculer g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.
- Montrer que g est décroissante sur ]0, 2] et croissante sur [2, +∞[.
- Déduire que : g(x)>0 pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[.
- Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : ln x2/x < 1.
Partie 02
On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :
ƒ(x) = x − (ln x)2
- Calculer limx→0+ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
- Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), (ln x)2/x = 4(ln√x/√x)2 , puis déduire limx→+∞ (ln x)2/x.
- Déduire de ce qui précède que : limx→+∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x)/x.
- Calculer limx→+∞ (ƒ(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
- Etudier la position relative de (Cƒ) (la courbe représentative de la fonction ƒ) et la droite (∆) d’équation y = x sur l’intervalle ]0, +∞[.
- Montrer que pour tout x de ]0, +∞[ ƒ′(x) = g(x)/x puis montrer que ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[.
- Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
- Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans ]0, +∞[, puis vérifier que 1/e < α < 1/2.
- Déduire le signe de la fonction ƒ sur l’intervalle ]0, +∞[.
- Tracer la droite (∆) et la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
- Justifier puis déterminer les primitives de la fonction h : x → ln x/x + x2 sur l’intervalle ]0, +∞[.
Correction
- La fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la somme de deux fonctions dérivables : x → x et x → − 2ln x. Calculons g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.
g′(x) = (x − 2ln x)′
= 1 − 2 × 1/x
= x − 2/x
2. Les variations de la fonctions g sur ]0, +∞[ :
On a : x > 0, pour tout x de ]0, +∞[. Donc le signe de g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x − 2, et comme l’expression x − 2 s’annule en 2. Alors :
Ceci implique que :
(∀x ∈ ]0,2]) : g′(x) ≤ 0 et (∀x ∈ [2, +∞[) : g′(x) ≥ 0
Ce qui signifie que la fonction g est décroissante sur ]0,2] et croissante sur [2, +∞[. On déduit le tableau de variations suivant :
Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé pdf
Cliquer ici pour télécharger la correction
Vous pouvez aussi consulter :