Devoir surveillé fonction logarithme et primitives

Devoir surveillé fonction logarithme et primitives (Bac/ Terminale).

Problème d’analyse

Partie 01

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 2lnx

1. 1. Calculer g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.
   2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 2] et croissante sur [2, +∞[.
2. 1. Déduire que : g(x)>0 pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[.
   2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : ln x²/x < 1.

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x − (ln x)²

1. 1. Calculer lim_x→0⁺ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
   2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), (ln x)²/x = 4(ln√x/√x)² , puis déduire lim_x→+∞ (ln x)²/x.
   3. Déduire de ce qui précède que : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→+∞ ƒ(x)/x.
   4. Calculer lim_x→+∞ (ƒ(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
   5. Etudier la position relative de (C_ƒ) (la courbe représentative de la fonction ƒ) et la droite (∆) d’équation y = x sur l’intervalle ]0, +∞[.
2. 1. Montrer que pour tout x de ]0, +∞[ ƒ′(x) = g(x)/x puis montrer que ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[.
   2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans ]0, +∞[, puis vérifier que 1/e < α < 1/2.
4. Déduire le signe de la fonction ƒ sur l’intervalle ]0, +∞[.
5. Tracer la droite (∆) et la courbe (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
6. Justifier puis déterminer les primitives de la fonction h : x → ln x/x + x² sur l’intervalle ]0, +∞[.

Correction

1. 1. La fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la somme de deux fonctions dérivables : x → x et x → − 2ln x. Calculons g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.

g′(x) = (x − 2ln x)′

= 1 − 2 × 1/x

= x − 2/x

2. Les variations de la fonctions g sur ]0, +∞[ :

On a : x > 0, pour tout x de ]0, +∞[. Donc le signe de g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x − 2, et comme l’expression x − 2 s’annule en 2. Alors :

Ceci implique que :

(∀x ∈ ]0,2]) : g′(x) ≤ 0 et (∀x ∈ [2, +∞[) : g′(x) ≥ 0

Ce qui signifie que la fonction g est décroissante sur ]0,2] et croissante sur [2, +∞[. On déduit le tableau de variations suivant :

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Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir surveillé fonction logarithme et primitives N 2