Devoir Surveillé fonction logarithme et primitives N 1

Devoir surveillé fonction logarithme et primitives

Devoir surveillé fonction logarithme et primitives (Bac/ Terminale).

Problème d’analyse (Devoir surveillé fonction logarithme et primitives)

Partie 01

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 2lnx

    1. Calculer g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.
    2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 2] et croissante sur [2, +∞[.
    1. Déduire que : g(x)>0 pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[.
    2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : ln x2/x < 1.

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x − (ln x)2

    1. Calculer limx→0+ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), (ln x)2/x = 4(ln√x/√x)2 , puis déduire limx→+∞ (ln x)2/x.
    3. Déduire de ce qui précède que : limx→+∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x)/x.
    4. Calculer limx→+∞(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    5. Etudier la position relative de (Cƒ) (la courbe représentative de la fonction ƒ) et la droite (∆) d’équation y = x sur l’intervalle ]0, +∞[.
    1. Montrer que pour tout x de ]0, +∞[ ƒ′(x) = g(x)/x puis montrer que ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[.
    2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  1. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans ]0, +∞[, puis vérifier que 1/e < α < 1/2.
  2. Déduire le signe de la fonction ƒ sur l’intervalle ]0, +∞[.
  3. Tracer la droite (∆) et la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
  4. Justifier puis déterminer les primitives de la fonction h : x → ln x/x + x2 sur l’intervalle ]0, +∞[.

Correction

    1. La fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la somme de deux fonctions dérivables : x → x et x → 2ln x. Calculons g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.

g′(x) = (x − 2ln x)′

= 1 − 2 × 1/x

= x − 2/x

2. Les variations de la fonctions g sur ]0, +∞[ :

On a : x > 0, pour tout x de ]0, +∞[. Donc le signe de g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x − 2, et comme l’expression x − 2 s’annule en 2. Alors :

Ceci implique que :

(∀x ∈ ]0,2]) : g′(x) ≤ 0 et (∀x ∈ [2, +∞[) : g′(x) ≥ 0

Ce qui signifie que la fonction g est décroissante sur ]0,2] et croissante sur [2, +∞[. On déduit le tableau de variations suivant :

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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