Devoir de maison limites et continuité Terminale

Devoir de maison limites et continuité Terminale. C’est le devoir numéro 1 sur les limites et continuités (2ème année bac / Terminale)

Toutes les réponses doivent être justifiées sauf si aucune justification n’est demandée

Exercice 1 (Les questions sont indépendantes) / Devoir de maison limites et continuité Terminale

1. Calculer :

lim_x→−∞ 2x − 1 − √4x² +3x − 2

lim_x→−∞ ^x√x/x−1 − x − 1

lim_x→+∞ 2x − 3/³√x+1 − 5

lim_x→+∞ ³√x² + 1 − ³√x

2. Simplifier l’expression suivante :

A = (¹⁵√3⁵ × ³√9 × ⁵√9³) / ⁵√3

3. Résoudre dans l’ensemble ℝ les équations suivantes :

(E) : x⁴ = 12

(E) : ³√2x +1 − 16 = 0

Exercice 2 On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 2√x − x

1. Déterminer D_ƒ , puis déterminer le tableau de variation de la fonction ƒ.
2. Montrer, en utilisant le théorème de T.V.I que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle  ]3,5[ , puis vérifier que α = α²/4 .
3. Déterminer les solutions de l’équation ƒ(x) = 0 sans utiliser le théorème de TVI.
4. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle I = [0,1] .

a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J.

b) Donner le tableau de variation de la fonction g⁻¹ sur J .

c) Déterminer g⁻¹ (x) pour tout x ∈ J .

Exercice 3

On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle I = ]−1,+∞[ par :

ƒ(x) = x/√x+1

1. Calculer ƒ(0), lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→1⁺ ƒ(x).
2. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur I , puis calculer ƒ'(x), en déduire le tableau de variations de ƒ.
3. Montrer que ƒ admet une fonction réciproque sur un intervalle J à déterminer.
4. Donner le tableau de variation de ƒ⁻¹

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