Devoir fonction logarithme et primitives N2

Devoir fonction logarithme et primitives N2. C’est le devoir surveillé version numéro 2 dans le deuxième semestre sur la fonction logarithme et primitives (2ème année bac / Terminale)

Problème d’analyse (Devoir fonction logarithme et primitives N2)

Partie 01

On considère la fonction numérique g définie sur  ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 2ln(x) + 1

1. 1. Calculer g′(x) pout tout x de ]0, +∞[.
   2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 2[ et croissante sur [2, +∞[.
   3. Calculer g(2), puis déduire que : g(x) ≥ 0 pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[.

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x − (ln x)² + ln x

1. 1. Calculer lim_x→0⁺ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
   2. Montrer que : lim_x→+∞ (ln x)²/x = 0. (on pourra poser : X = √x).
   3. Déduire de ce qui précède : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→+∞ ƒ(x)/x .
   4. Calculer lim_x→+∞ (ƒ(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
   5. Vérifier que : (∀x ∈ ]0, +∞[); ƒ(x) − x = ln(x)(1 − ln(x)), puis déduire que la courbe (C_ƒ) est au dessous de la droite (∆) : y = x sur les intervalles ]0, 1] et [e, +∞[, et au dessus sur l’intervalle [1, e].
2. 1. Montrer que pour tout x de ]0, +∞[ ƒ′(x) = g(x)/x puis montrer que ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[.
   2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans ]0, +∞[, puis vérifier que 0,5 < α < 0,8.
4. Déduire le signe de la fonction ƒ sur l’intervalle ]0, +∞[.
5. Tracer la droite (∆) et la courbe (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
6. Montrer que la fonction H : x → xln x − x est une primitive de la fonction h : x →ln x sur ]0, +∞[.

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