Devoir surveillé sur les suites numériques

Devoir surveillé sur les suites numériques. (2ème année bac sm/ Terminale)

Exercice 1 (Devoir surveillé sur les suites numériques)

Pour tout n ∈ ℕ* et x ∈ ℝ⁺, on pose : P_n(x) = xⁿ + xⁿ⁻¹ + … + x² + x − 1.

1. Montrer que l’équation P_n(x) = 0 admet une solution unique α_n ∈ ]0, +∞[.
2. Montrer que la suite (α_n)_n≥2 est décroissante puis en déduire qu’elle est convergente.
3. Montrer que : lim_n→+∞ α_n = 1/2.

Exercice 2

Pour tout n ∈ ℕ* on considère la fonction ƒ_n définie sur ℝ par : ƒ_n(x) = x³ + nx − 1.

1. Montrer que l’équation ƒ_n(x) = 0 admet une solution unique x_n dans l’intervalle ]0, 1[.
2. 1. Montrer que la suite (x_n)_n≥1 est décroissante.
   2. En déduire que la suite (x_n)_n≥1 est convergente.
3. Montrer que pour tout n ∈ ℕ*, x_n < 1/n. Déterminer la limite de la suite (x_n)_n≥1.

Exercice 3

On considère les suites (u_n)_n≥1 , (v_n)_n≥1 et (w_n)_n≥1 définie pour tout n ∈ ℕ* par :

u_n = ∑ⁿ_k=1 1/√k , v_n = u_n − 2√n+1 et w_n = u_n − 2√n

1. Montrer que la suite (v_n)_n≥1 est croissante et que la suite (w_n)_n≥1 est décroissante.
2. Montrer que les suites (v_n)_n≥1 et (w_n)_n≥1 sont adjacentes.
3. En déduire la limite de la suite (u_n)_n≥1.

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Correction du devoir

Exercice 1

Pour tout n ∈ ℕ* et x ∈ ℝ⁺, on pose : P_n(x) = xⁿ + xⁿ⁻¹ + … + x² + x − 1.

1. Montrons que l’équation P_n(x) = 0 admet une solution unique α_n ∈ ]0, +∞[.

∎ La fonction P_n est continue sur ℝ⁺ car c’est la restriction d’une fonction polynôme sur ℝ⁺.

∎ la fonction P_n est dérivable sur ℝ⁺. On a

(∀x ∈ ℝ⁺) , P′_n(x) = ∑ⁿ_k=1 kx^k−1

puisque : kx^k−1 > 0 pour tout k ∈ {1, … , n}. Donc

(∀x ∈ ℝ⁺) , P′_n(x) > 0.

D’où la fonction P_n est strictement croissante sur ℝ⁺.

Donc d’après le théorème de la bijection la fonction P_n réalise une bijection de l’intervalle ℝ⁺ sur P_n(ℝ⁺) = [P_n(0), lim_n→+∞ P_n(x)[ = [−1, +∞[ , et comme 0 ∈ [−1, +∞[ alors il existe unique α_n dans ]0, +∞[ tel que P_n(α_n) = 0. Autrement dit :

(∀n ∈ ℕ*)(∃!α_n ∈ ]0, +∞[) , P_n(α_n) = 0.

2.

∎ Montrons que la suite (α_n)_n≥2 est décroissante.

Soit n ∈ ℕ*∖{1} et x ∈ ℝ⁺, on a

P_n+1(x) − P_n(x) = xⁿ⁺¹ + xⁿ + … + x² + x − 1 − (xⁿ + xⁿ⁻¹ + … + x² + x − i)

= xⁿ⁺¹

comme xⁿ⁺¹≥ 0 alors P_n+1(x) − P_n(x) ≥ 0, donc

(∀n ∈ ℕ*∖ {1})(∀x ∈ ℝ⁺) , P_n+1(x) ≥ P_n(x).

En évaluons cette inégalité en x = α_n on obtient P_n+1(α_n) ≥ P_n(α_n), et comme P_n(α_n) = 0 alors P_n+1(α_n) ≥ 0 , puisque P_n+1(α_n+1) = 0, alors P_n+1(α_n) ≥ P_n+1(α_n+1). Comme P_n+1 est strictement croissante sur ℝ⁺ . On en déduit que :

α_n ≥ α_n+1

D’où la suite (α_n)_n≥2 est décroissante.

∎ La suite (α_n)_n≥2 est minorée par 0 et comme elle est décroissante alors (α_n)_n≥2 converge vers l. (lim_n→+∞ α_n = l).

3. Montrons que : lim_n→+∞ α_n = 1/2.

Soit n ∈ ℕ*∖ {1}, on a

P_n(α_n) = 0 ⇔ αⁿ_n + αⁿ⁻¹_n + … + α²_n + α_n − 1 = 0

⇔ αⁿ_n + αⁿ⁻¹_n + … + α²_n + α_n + 1 = 2

⇔ ∑ⁿ_k=0 α^k_n = 2 (∎)

puisque la suite (α_n)_n≥2 est décroissante alors α_n ≤ α₂ et comme α₂ est solution de l’équation P₂(x) = 0, alors

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