Devoir (suites numériques et l'étude des fonctions)

Devoir (suites numériques et l’étude des fonctions). C’est le devoir surveillé numéro 3 sur les suites numériques et l’étude des fonctions – 2ème année Bac

Exercice 01 Devoir (suites numériques et l’étude des fonctions)

On considère la suite numérique (u_n) définie par :

u₀ = 4 et u_n+1 = 2/5u_n + 3 ; ∀n ∈ ℕ

Montrer par récurrence que : u_n < 5 pour tout n ∈ ℕ.
Vérifier que : u_n+1 − u_n = 3/5(5 − u_n) pour tout n ∈ ℕ, puis déduire la monotonie de la suite (u_n).
Déduire que la suite (u_n) est convergente.
Soit (v_n) la suite numérique telle que : v_n = 5 − u_n pour tout n ∈ ℕ.
1. Montrer que la suite (v_n) est géométrique et exprimer v_n en fonction de n.
2. Déduire que u_n = 5 − (2/5)ⁿ pour tout n ∈ ℕ, puis déterminer lim_n→+∞ u_n .
3. Pour tout n ∈ ℕ*, on pose : S_n = v₀ + v₁ + … + v_n−1, considérons la suite (w_n)_{n ∈ ℕ*} définie par : w_n = 3S_n/5. Montrer que lim_n→+∞ w_n = 1.

Exercice 02

Soit ƒ la fonction définie sur ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x/2 + 2/x

Calculer lim_x→+∞ ƒ(x).
Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur ]0, +∞[ , puis montrer que pour tout x ∈ ]0, +∞[ on a ƒ′(x) = (x − 2)(x + 2)/2x²
Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur [2,3], puis montrer que : ƒ([2,3]) ⊂ [2,3] .
Montrer que : (∀x ∈ [2,3]) : ƒ(x) ≤ x.
On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 3 et u_n+1 = ƒ(u_n); ∀n ∈ ℕ
1. Montrer par récurrence que : (∀n ∈ ℕ); 2 ≤ u_n ≤ 3.
2. Montrer que la suite (u_n) est décroissante, puis déduire qu’elle est convergente.
3. Calculer lim_n→+∞ u_n .