Devoir surveillé (suites numériques et l'étude des fonctions)

Devoir (suites numériques et l’étude des fonctions)

Devoir (suites numériques et l’étude des fonctions). C’est le devoir surveillé numéro 3 sur les suites numériques et l’étude des fonctions – 2ème année Bac

Exercice 01

On considère la suite numérique (un) définie par :

u0 = 4 et un+1 = 2/5un + 3 ; ∀n

  1. Montrer par récurrence que : un < 5 pour tout n.
  2. Vérifier que : un+1 − un = 3/5(5 − un) pour tout n, puis déduire la monotonie de la suite (un).
  3. Déduire que la suite (un) est convergente.
  4. Soit (vn) la suite numérique telle que : vn = 5 − un pour tout n .
    1. Montrer que la suite (vn) est géométrique et exprimer vn en fonction de n.
    2. Déduire que un = 5 − (2/5)n pour tout n, puis déterminer limn→+∞ un .
    3. Pour tout n*, on pose : Sn = v0 + v1 + … + vn−1, considérons la suite (wn)n* définie par : wn = 3Sn/5. Montrer que limn→+∞ wn = 1.
Exercice 02

Soit ƒ la fonction définie sur ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x/2 + 2/x

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x).
  2. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur ]0, +∞[ , puis montrer que pour tout x ∈ ]0, +∞[ on a ƒ′(x) = (x − 2)(x + 2)/2x2
  3. Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur [2,3], puis montrer que : ƒ([2,3]) ⊂ [2,3] .
  4. Montrer que : (∀x ∈ [2,3]) : ƒ(x) ≤ x.
  5. On considère la suite (un) définie par : u0 = 3 et un+1 = ƒ(un); ∀n
    1. Montrer par récurrence que : (∀n); 2 ≤ un ≤ 3.
    2. Montrer que la suite (un) est décroissante, puis déduire qu’elle est convergente.
    3. Calculer limn→+∞ un .

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé (suites numériques et l’étude des fonctions) terminale en pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction

Vous pouvez aussi consulter :

Partager

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.