Les équations et les inéquations et les systèmes cours

Les équations et les inéquations et les systèmes

Les équations, inéquations et les systèmes cours. C’est un cours complet et bien détaillé avec les démonstrations sur les équations et les inéquations du second degré et les systèmes de deux équations à deux inconnues (Tronc commun – 1ère année lycée)

1. équations et inéquations du premier degré (Les équations et les inéquations et les systèmes)

1.1 équation du premier degré (Les équations et les inéquations et les système)
Définition 1

Une équation du premier degré à une seule inconnue x est toute équation de la forme ax + b = 0 , (x).

Exemple 2
  1. Résoudre dans l’ensemble l’équation suivante : (E1) : 3x − 2 = 2x − 1

3x − 2 = 2x − 1 3x − 2x = 2 − 1 x = 1

Donc, l’équation admet une unique solution : x = 1

S = { 1 }

2. Résoudre dans l’équation (E2) : mx + 3 = x + 5, avec m un paramètre réel.

mx + 3 = x + 5mx − x = 5 − 3x(m − 1) = 2

On distingue deux cas :

  • Si : m − 1 ≠ 0, alors l’équation (E2) admet une unique solution : x = 2/m−1.
  • Si : m − 1 = 0, alors l’équation (E2) sera : 0 = 2, ce qui signifie que l’équation (E2) n’admet aucune solution dans l’ensemble . C-à-d : S = .
1.2 Inéquations du premier degré à une inconnue (Les équations et les inéquations et les systèmes)
Définition 3

Une inéquation du premier degré à une seule inconnue x est toute inéquation possédant l’une des formes suivantes :

ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0 ou ax + b ≻ 0 ou ax + b ≺ 0

Exemple 4
  1. Résoudre dans l’ensemble l’inéquation suivante : (I1) : 5x − 2(x + 1) ≻ 3x + 1

5x − 2(x + 1) ≻ 3x + 1

5x − 2x − 23x + 1

5x − 2x − 3x1 + 2

0 ≻ 3

Ce qui est impossible. Donc

S = ∅

2. Résoudre dans l’ensemble l’inéquation suivante : (I2) : 3x − 1 ≥ 0

3x − 1 ≥ 0 3x ≥ 1 x ≥ 1/3

Donc

S = [ 1/3; +∞[

2. Signe du binôme ax + b , (a ≠ 0) (Les équations et les inéquations et les systèmes)

Proposition 5

Soient a et b deux réels, a étant non nul le signe du binôme ax + b est donné par le tableau suivant :

Démonstration 6

Soient a et b deux réels tels que a ≠ 0, on étudie le signe de ax +b.

ax + b = 0a(x + b/a) = 0 ⇔ x + b/a = 0 x = − b/a

  • Si x + b/a ≻ 0, alors x ≻ − b/a. C-à-d : x ∈ ] − b/a, +∞[.
  • Si x + b/a ≺ 0, alors x ≺ − b/a . C-à-d : x ∈ ] −∞, − b/a[.
Exemple 7
  1. On étudie le signe du binôme P(x) = 2x + 1.

On résout l’équation P(x) = 0.

P(x) = 02x + 1 = 0 x = −1/2

Comme a = 2 ≻ 0, alors le tableau de signe du binôme P(x) est le suivant

  1. On étudie le signe de l’expression P(x) = 5x−2/1+3x

L’expression P(x) existe si et seulement si 1 + 3x ≠ 0, c’est-à-dire x ≠ −1/3. Ce qui signifie que x ∖ { −1/3 }.

5x − 2 = 0x = 2/5

  • 1 + 3x = 0 ⇔ x = −1/3

3. Les équations de second degré à une inconnue (Les équations, inéquations et les systèmes)

3.1 Définition
Définition 8

L’équation définie par ax2 + bx + c = 0 pour tout x ou a, b et c sont deux réels et a un non nul appelé trinôme du second degré.

Exemple 9

L’équation définie par : 3x2 + 5x + 2 = 0 est appelé trinôme du second degré.

3.2 La forme canonique du trinôme du second degré (Les équations, inéquations et les systèmes)

On considère le trinôme du second degré ax3 + bx + c, avec a ≠ 0.

Donc

ax3 + bx + c = a(x2 + b/ax + c/a)

= a(x2 + 2b/2ax + c/a)

= a(x2 + 2 × b/2a × x + (b/2a)2 (b/2a)2 + c/a)

= a [(x + b/2a) − b2/4a2 + c/a]

= a [(x + b/2a) − b2 −4ac/4a2]

On résume l’expression suivante dans la propriété suivante :

Proposition 10

Soient a,b et c des nombres réels et a un non nul.

Pour tout x on a :

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 − b2 −4ac/4a2]

Cette écriture s’appelle la forme canonique du trinôme du second degré.

3.3 Méthode de résolution d’une équation du second degré
3.3.1 Définition et exemple
Définition 11

Soient a,b et c sont des nombres réels tels que a est non nul. On pose : ∆ = b2 − 4ac.

Le nombre ∆ est appelé discriminant de l’équation ax2 + bx + c = 0.

Exemple 12

On considère l’équation (E) : 3x2 − 5x + 7 = 0. Déterminer le discriminant de l’équation ∆.

On a : a = 3 , b = − 5 et c = 7 et comme ∆ = b2 − 4ac.

Donc

= b2 − 4ac

= (−5)2 − 4 × 3 × 7

= −59

3.4 La détermination de l’ensemble des solutions de l’équation du second degré

On considère l’équation du second degré à une inconnue (E) : ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0.

On sait d’après la forme canonique, que :

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 − b2 −4ac/4a2]

comme ∆ = b2 − 4ac et 4a2 = (2a)2 , donc :

ax2 + bx + c = 0a[(x + b/2a)2 − ∆/4a2] = 0

Ensuite

a[(x + b/2a)2 ∆/4a2] = 0 ⇔ (x + b/2a)2 ∆/(2a)2 = 0 ⇔ (x + b/2a)2 = ∆/(2a)2

On distingue trois cas.

  • Si : ∆ ≺ 0, alors l’équation (E) n’admet pas des solutions dans l’ensemble . Car (x + b/2a)2 ≥ 0 et ∆/(2a)2 0.

S = ∅

  • Si : ∆ = 0, alors on obtient

(x + b/2a)2 − ∆/(2a)2 = 0 ⇔ (x + b/2a)2 = 0x = −b/2a

Donc, l’équation (E) admet une unique solution : −b/2a

Donc

S = { −b/2a }

  • Si : ∆ ≻ 0, alors on obtient

(x + b/2a)2 − ∆/(2a)2 = 0 ⇔ (x + b/2a)2 (√∆/2a)2 = 0

⇔ (x + b/2a − ∆/2a)(x + b/2a + √∆/2a) = 0

x + b/2a − ∆/2a = 0 ou x + b/2a + √∆/2a = 0

x = −b/2a + √∆/2a ou x = −b/2a − √∆/2a

x = −b+√∆/2a ou x = −b−√∆/2a

Ce qui signifie que l’équation admet deux solutions distinctes : −b+√∆/2a et −b−√∆/2a. Donc

S = {−b+√∆/2a, −b−√∆/2a }

On résume ceci

On considère l’équation (E) : ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) et ∆ le discriminant de l’équation.

  • Si ∆ ≺ 0, alors l’équation (E) n’admet aucune solution dans l’ensemble .
  • Si ∆ = 0, alors l’équation (E) admet une solution unique −b/2a.
  • Si ∆ ≻ 0, alors l’équation (E) admet deux solutions distinctes x1 et x2 telles que : x1 = −b−√∆/2a et x2 = −b+√∆/2a.
Exemple 13

Résoudre dans l’ensemble les équations suivantes :

(E1) : 3x2 + x + 2 = 0 , (E2) : x2 − 10x + 25 = 0 et (E3) : x2 − 3x + 2 = 0.

4.5 Somme et produit des solutions d’équation du second degré
Propriété 14

Soit l’équation du second degré ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) de discriminant ∆ ≥ 0. Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes ou confondues x1 et x2 :

x1 = −b+√∆/2a et x2 = −b−√∆/2a

  • La somme des solutions :

x1 + x2 = −b/a

  • Produit des solutions :

x1 × x2 = c/a

Démonstration 15

On considère l’équation (E) : ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0 de discriminant ∆ ≥ 0. Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : x1 = −b+√∆/2a et x2 = −b−√∆/2a (On peut avoir x1 = x2). Donc

x1 + x2 = −b+√∆/2a + −b−√∆/2a

= −b+√∆−b−√∆/2a

= −2b/2a = −b/a

et on a

x1 × x2 = (−b+√∆/2a)(−b−√∆/2a)

= (−b)2−(√∆)2/4a2

= b2−∆/4a2

= b2(b2−4ac)/4a2

= 4ac/4a2 = c/a

Exemple 16

On considère l’équation (E) : 2020x2 − 2021x + 1 = 0. Montrer que 1 est une solution de l’équation (E), puis déterminer la deuxième solution.

Si x = 1, alors 2020 × 12 − 2021 × 1 + 1 = 0. Donc l’équation (E) admet 1 comme solution.

Cherchons l’autre solution.

Notons x1 la première solution et x2 la deuxième solution, alors x1 × x2 = c/a . (c = 1 , a = 2020 et x1 = 1). Donc

x2 = 1/2020

5. Factorisation d’un trinôme du second degré αx2 + bx + c , (α ≠ 0)

Propriété 17

Soient a, b et c trois réels tels que a ≠ 0, et ∆ le discriminant du trinôme du second degré ax2 + bx + c et (E) l’équation suivante : ax2 + bx + c = 0.

  • Si ∆ ≺ 0, alors ax2 + bx + c ne peut pas être factorisé dans .
  • Si ∆ = 0, alors pour tout x , on a :

ax2 + bx + c = a(x + b/2a)2

  • Si ∆ ≻ 0, alors l’équation (E) admet 2 solutions réelles distinctes x1 et x2 et on a :

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Démonstration 18

On considère le trinôme du second degré ax2 + bx + c, avec a ≠ 0.

On sait que la forme canonique, du trinôme ax2 + bx + c est :

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 − ∆/4a2]

  • Si ∆ = 0, alors

ax2 + bx + c = a(x + b/2a)2

  • Si ∆ ≺ 0, alors

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 − ∆/4a2]

Donc, le trinôme ax2 + bx + c ne peut pas être factorisé dans .

  • Si ∆ ≻ 0, alors

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 − ∆/4a2]

= a[(x + b/2a)2(√∆/4a)2]

= a[(x + b/2a)2 − (√∆/2a)2]

= a(x + b/2a − √∆/2a)(x + b/2a + √∆/2a)

= a(x + b−√∆/2a)(x + b+√∆/2a)

= a(x − −b+√∆/2a)(x − −b−√∆/2a)

= a(x − x1)(x − x2)

avec : x1 = −b+√∆/2a et x2 = −b−√∆/2a

Exemple 19

Factoriser dans les trinômes suivants : P(x) = 6x2 − x − 1 et Q(x) = x2 + 3x + 4.

  1. P(x) = 6x2 − x − 1

Calculons ∆ :

On a : a = 6, b = − 1 et c = − 1, donc :

∆ = b2 − 4ac

= (−1)2 − 4 × 6 × (− 1)

= 250

Donc, l’équation P(x) = 0 admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2.

x1 = −b+√∆/2a = 1+√25/2×6 = 1/2 , x2 = −b−√∆/2a = 1−5/2×6 = −4/12 = −1/3

D’où on obtient :

P(x) = 6(x − 1/2)(x + 1/3)

2. Q(x) = x2 + 3x + 4

Calculons ∆ :

On a : a = 1, b = 3 et c = 4, donc :

∆ = b2 − 4ac

= 32 − 4 × 1 × 4

= −70

D’où, le trinôme ne peut pas être factorisé dans l’ensemble .

6. Signe du trinôme du second degré αx2 + bx + c, (α ≠ 0)

Propriété 20

Soient a, b et c trois réels, a étant non nul. Soit le trinôme ax2 + bx + c, et ∆ son discriminant.

  • Si ∆ ≺ 0, alors le signe de ax2 + bx + c est le signe de a.
  • Si ∆ = 0, alors le signe de ax2 + bx + c est le signe de a pour tout x différent de −b/a.
  • Si ∆ ≻ 0, alors le signe de ax2 + bx + c est donné par le tableau suivant :
Démonstration 21

Soient a, b et c trois réels, a étant non nul. Soit le trinôme ax2 + bx + c, et ∆ son discriminant.

  • Si ∆ ≺ 0, alors

ax2 + bx + c = a[(x + b/2a)2 − ∆/4a2]

comme ∆ ≺ 0, alors −∆/4a20 ensuite : (x + b/2a)2 − ∆/4a2 0. Donc le signe de ax2 + bx + c est le signe de a.

  • Si ∆ = 0, alors

ax2 + bx + c = a(x + b/2a)2

si x ≠ −b/2a, alors (x + b/2a)2 0. Ce qui signifie que le signe de ax2 + bx + c est le signe de a.

  • Si ∆ ≻ 0, alors ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) avec x1 et x2 sont les deux solutions de l’équation : ax2 + bx + c = 0.

On détermine le tableau de signe du produit. On suppose que : x1 x2.

Exemple 22

Étudier le signe des trinômes suivants : P(x) = 6x2 − x − 1, Q(x) = x2 − 10x + 25 et R(x) = x2 + x + 1

  • Calculons le discriminant ∆ du trinôme P(x).

On a : a = 6, b = − 1 et c = − 1, donc : ∆ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 × 6 × (−1) = 25 0.

Ce qui signifie que l’équation P(x) = 0 admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2 telles que :

x1 = −b+√∆/2a = 1/2 et x2 = −b−√∆/2a = −1/3

Comme a = 6 0, on déduit le tableau de signe suivant :

Q(x) = x2 − 10x + 25

  • Calculons le discriminant ∆ du trinôme Q(x).

On a : a = 1, b = −10 et c = 25, donc : ∆ = b2 − 4ac = (−10)2 − 4 × 1 × 25 = 0.

Ce qui signifie que l’équation Q(x) = 0 admet une unique solution telle que que :

x = −b/2a = 10/2 = 5

Comme a = 6 0, alors on déduit que le trinôme Q(x) est strictement positif pour tout x ∖ {5} .

  • Calculons le discriminant ∆ du trinôme R(x).

On a : a = 1, b = 1 et c = 1, donc : ∆ = b2 − 4ac = (1)2 − 4 × 1 × 1 = −3 0.

Ce qui signifie que le signe du trinôme est le signe de a et comme a = 1 alors le trinôme R(x) est strictement positif pour tout x de .

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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