Démonstration des propriétés de la valeur absolue

Démonstration des propriétés de la valeur absolue

Démonstration des propriétés de la valeur absolue (Bac/ Terminale)

Proposition 1 (voir le cours) démonstration des propriétés de la valeur absolue

Soient x et y deux réels.

  1. x − y∣ = ∣y − x
  2. x × y∣ = ∣x×y
  3. x/y∣ = ∣x∣/∣y∣, avec y ≠ 0
  4. x2∣ = ∣x2 = x2
  5. x≥ x
  6. x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y
  7. x= a si et seulement si (x = a ou x = −a), avec a ≥ 0.
  8. x∣ = ∣y∣ si et seulement si (x = y ou x = −y).
  9. x≥ a si et seulement si x ≥ a ou x ≤ −a

Démonstration 2 (on démontre chaque propriété)

1. Montrons que : ∣x − y∣ = ∣y − x

1ér cas. Si : x − y ≥ 0. Alors ∣x − y= x − y. D’autre part − (x − y) ≤ 0, c’est-à-dire y − x ≤ 0. Alors ∣x − y= − (y − x) = x − y.

Donc, on obtient l’égalité suivante

x − y∣ = ∣y − x

2éme cas. Si : x − y < 0. Alors ∣x − y∣ = − (x − y) = y − x. D’autre part − (x − y) > 0, c’est-à-dire y − x > 0. Alors ∣y − x= y − x.

Donc, on obtient l’égalité suivante

x − y∣ = ∣y − x

Dans les deux cas, et pour tout x , y dans . On a :

x − y∣ = ∣y − x

2. Montrons que : ∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y

  • Si x ≥ 0 et y ≥ 0. Alors ∣x= x et ∣y= y, donc ∣x∣ × ∣y= x × y. D’autre part ∣x × y = x × y.

Donc, on obtient l’égalité : ∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y

  • Si x > 0 et y ≤ 0. Alors ∣x= x et ∣y= −y, donc ∣x∣ × ∣y= −x × y. D’autre part ∣x × y= −x × y.

Donc, on obtient l’égalité : ∣x × y= −x × y.

  • Si x < 0 et y < 0. Alors ∣x= −x et ∣y= −y, donc ∣x∣ × ∣y= x × y. D’autre part ∣x × y= x × y. car le produit x × y est positif.

Donc, on obtient l’égalité : ∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y

On conclut que pour tout x, y dans . On a

x × y∣ = ∣x∣ × ∣y

3. Même démonstration que 2.

4. Montrons que : ∣x2∣ = ∣x2 = x2

  • Si : x ≥ 0, alors ∣x2∣ = ∣x × x∣ = ∣x∣ × ∣x∣ = x × x = x2 .
  • Si : x < 0, alors ∣x2∣ = ∣x × x∣ = ∣x∣ × ∣x∣ = (−x) × (−x) = x2 .

On conclut que pour tout x de . On a

x2= x2

5. Montrons que : ∣x ≤ x

  • Si : x ≥ 0, alors ∣x= x, d’où x ≤ ∣x
  • Si : x < 0, alors ∣x∣ = −x, d’où x ≤ ∣x

On conclut que pour tout x

x ≤ x

6. Montrons que : ∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y

x + y2 = (x + y)2

= x2 +2xy + y2

≤ ∣x2 + ∣2xy∣ + ∣y2 (Car xy ≤xy∣)

≤ (∣x∣ + ∣y∣)2

On conclut que

x + y2 ≤ (∣x∣ + ∣y∣)2

Donc, pour tout x , y ∈ , on a

x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y

7. Montrons que : ∣x= a si et seulement si x = a ou x = −a

  • Si : x ≥ 0 alors ∣x∣ = x.

Donc

x= a équivaux à : x = a

  • Si x < 0 alors ∣x∣ = −x.

Donc

x= a équivaux à : x = −a

On conclut pout x ∈

x= a si et seulement si (x = a ou x = −a)

8. Montrons que : ∣x∣ = ∣y∣ si et seulement si (x = y ou x = −y)

  • Si x ≥ 0 et y ≥ 0. Alors ∣x∣ = x et ∣y∣ = y , donc ∣x∣ = ∣y∣ équivaux à x = y.
  • Si x > 0 et y ≤ 0. Alors ∣x∣ = x et ∣y∣ = −y, donc ∣x∣ = ∣y∣ équivaux à x = −y.
  • Si x < 0 et y < 0. Alors ∣x∣ = −x et ∣y∣ = −y, donc ∣x∣ = ∣y∣ équivaux à x = y.

On conclut que pour tout x , y

x∣ = ∣y∣ si et seulement si (x = y ou x = −y)

9. Montrons que : ∣x≥ a

  • Si : x ≥ 0 alors ∣x = x ≥ a
  • Si : x < 0 alors ∣x∣ = −x ≥ a, donc x ≤ −a

On conclut pour tout x

x≥ a si et seulement si x ≥ a ou x ≤ −a

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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