Démonstration des propriétés de la valeur absolue

Démonstration des propriétés de la valeur absolue (Bac/ Terminale)

Proposition 1 (voir le cours) démonstration des propriétés de la valeur absolue

Soient x et y deux réels.

1. ∣x − y∣ = ∣y − x∣
2. ∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y∣
3. ∣x/y∣ = ∣x∣/∣y∣, avec y ≠ 0
4. ∣x²∣ = ∣x∣² = x²
5. ∣x∣ ≥ x
6. ∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣
7. ∣x∣ = a si et seulement si (x = a ou x = −a), avec a ≥ 0.
8. ∣x∣ = ∣y∣ si et seulement si (x = y ou x = −y).
9. ∣x∣ ≥ a si et seulement si x ≥ a ou x ≤ −a

Démonstration 2 (on démontre chaque propriété)

1. Montrons que : ∣x − y∣ = ∣y − x∣

1ér cas. Si : x − y ≥ 0. Alors ∣x − y∣ = x − y. D’autre part − (x − y) ≤ 0, c’est-à-dire y − x ≤ 0. Alors ∣x − y∣ = − (y − x) = x − y.

Donc, on obtient l’égalité suivante

∣x − y∣ = ∣y − x∣

2éme cas. Si : x − y < 0. Alors ∣x − y∣ = − (x − y) = y − x. D’autre part − (x − y) > 0, c’est-à-dire y − x > 0. Alors ∣y − x∣ = y − x.

Donc, on obtient l’égalité suivante

∣x − y∣ = ∣y − x∣

Dans les deux cas, et pour tout x , y dans ℝ. On a :

∣x − y∣ = ∣y − x∣

2. Montrons que : ∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y∣

• Si x ≥ 0 et y ≥ 0. Alors ∣x∣ = x et ∣y∣ = y, donc ∣x∣ × ∣y∣ = x × y. D’autre part ∣x × y∣ = x × y.

Donc, on obtient l’égalité : ∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y∣

• Si x > 0 et y ≤ 0. Alors ∣x∣ = x et ∣y∣ = −y, donc ∣x∣ × ∣y∣ = −x × y. D’autre part ∣x × y∣ = −x × y.

Donc, on obtient l’égalité : ∣x × y∣ = −x × y.

• Si x < 0 et y < 0. Alors ∣x∣ = −x et ∣y∣ = −y, donc ∣x∣ × ∣y∣ = x × y. D’autre part ∣x × y∣ = x × y. car le produit x × y est positif.

Donc, on obtient l’égalité : ∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y∣

On conclut que pour tout x, y dans ℝ. On a

∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y∣

3. Même démonstration que 2.

4. Montrons que : ∣x²∣ = ∣x∣² = x²

• Si : x ≥ 0, alors ∣x²∣ = ∣x × x∣ = ∣x∣ × ∣x∣ = x × x = x² .
• Si : x < 0, alors ∣x²∣ = ∣x × x∣ = ∣x∣ × ∣x∣ = (−x) × (−x) = x² .

On conclut que pour tout x de ℝ. On a

∣x²∣ = x²

5. Montrons que : ∣x∣ ≤ x

• Si : x ≥ 0, alors ∣x∣ = x, d’où x ≤ ∣x∣
• Si : x < 0, alors ∣x∣ = −x, d’où x ≤ ∣x∣

On conclut que pour tout x ∈ ℝ

∣x∣ ≤ x

6. Montrons que : ∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣

∣x + y∣² = (x + y)²

= x² +2xy + y²

≤ ∣x∣² + ∣2xy∣ + ∣y∣² (Car xy ≤ ∣xy∣)

≤ (∣x∣ + ∣y∣)²

On conclut que

∣x + y∣² ≤ (∣x∣ + ∣y∣)²

Donc, pour tout x , y ∈ ℝ, on a

∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣

7. Montrons que : ∣x∣ = a si et seulement si x = a ou x = −a

• Si : x ≥ 0 alors ∣x∣ = x.

Donc

∣x∣ = a équivaux à : x = a

• Si x < 0 alors ∣x∣ = −x.

Donc

∣x∣ = a équivaux à : x = −a

On conclut pout x ∈ ℝ

∣x∣ = a si et seulement si (x = a ou x = −a)

8. Montrons que : ∣x∣ = ∣y∣ si et seulement si (x = y ou x = −y)

• Si x ≥ 0 et y ≥ 0. Alors ∣x∣ = x et ∣y∣ = y , donc ∣x∣ = ∣y∣ équivaux à x = y.
• Si x > 0 et y ≤ 0. Alors ∣x∣ = x et ∣y∣ = −y, donc ∣x∣ = ∣y∣ équivaux à x = −y.
• Si x < 0 et y < 0. Alors ∣x∣ = −x et ∣y∣ = −y, donc ∣x∣ = ∣y∣ équivaux à x = y.

On conclut que pour tout x , y ∈ ℝ

∣x∣ = ∣y∣ si et seulement si (x = y ou x = −y)

9. Montrons que : ∣x∣ ≥ a

• Si : x ≥ 0 alors ∣x∣ = x ≥ a
• Si : x < 0 alors ∣x∣ = −x ≥ a, donc x ≤ −a

On conclut pour tout x ∈ ℝ

∣x∣ ≥ a si et seulement si x ≥ a ou x ≤ −a

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Vous pouvez aussi consulter :

• Cours fonction logarithme népérien
• Valeur absolue terminale sur mathematiquesfaciles