Devoir de maison (dérivation et étude des fonctions)

Devoir de maison (dérivation et étude des fonctions)

Devoir de maison (dérivation et étude des fonctions). C’est le devoir de maison numéro 2 sur la dérivation et l’étude des fonctions (2ème année bac / Terminale)

Problème d’analyse Devoir de maison (dérivation et étude des fonctions)

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = − x + 2/x ; x ∈  ]−∞,0[∪ ]0,1[

ƒ(x) = 1 +x/2√x ; x ∈ [1,+∞[

(Cƒ) est la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O, i ,j)

  1. a) Montrer que ƒ est continue au point 1.

b) Calculer ƒ(−1) et ƒ(1).

2. a) Montrer que ƒ est dérivable à gauche de 1.

b) Donner l’équation de la demi tangente (1) à gauche de 1.

c) Etudier la dérivabilité de la fonction ƒ à droite de 1, et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.

3. a) Calculer limx→ −∞ƒ(x).

b) Montrer que (Cƒ) admet une asymptote oblique (D) et déterminer son équation.

c) Calculer limx→+∞ ƒ(x).

d) Etudier la nature de la branche infinie au voisinage de +∞.

e) Etudier la nature de la branche infinie au voisinage de 0.

4. a) Etudier les variations de ƒ sur chacun des intervalles  ]−∞,0[ et ]0,1[.

b) Etudier les variations de ƒ sur l’intervalle [1,+∞[.

c) Dresser le tableau de variations de ƒ.

5. Donner l’équation de la tangente (∆2) au point −√2.

6. Tracer (D) , (1) , (2) et la courbe (Cƒ) dans le repère (O, i ,j).

7. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle ]−∞,0[

a) Montrer que g admet une bijection réciproque g−1 définie sur un intervalle J, qu’on déterminera.

b) Calculer g−1 pour tout xJ.

8. Soit h la restriction de ƒ à l’intervalle [1,+∞[.

a) Montrer que h admet une bijection réciproque h−1 définie sur un intervalle J, qu’on déterminera.

b) Calculer h−1 (x) pour tout xJ.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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