par Devoir (la fonction logarithme et les suites). C’est le devoir de maison numéro 1 sur la fonction logarithme et les suites numériques (2ème année bac / Terminale)
Problème d’analyse
On considère la fonction numérique ƒ de la variable réelle x telle que :
ƒ(x) = 1/x(1 − ln x)
et soit (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (unité 2cm)
Partie 01
- Montrer que : Dƒ = ]0, e[∪]e, +∞[. (Dƒ est l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
- Calculer limx→e+ ƒ(x) et limx→e− ƒ(x) puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.
- Calculer limx→+∞ ƒ(x) et en déduire la courbe (Cƒ) admet une asymptote au voisinage de +∞ que l’on déterminera.
- Montrer que limx→0+ ƒ(x) = +∞ et donner une interprétation géométrique à ce résultat.
- Montrer que pour tout x de Dƒ . ƒ′(x) = ln x/x2(1 − ln x)2
- Montrer que la fonction ƒ est décroissante sur l’intervalle ]0,1] et croissante sur chacun des deux intervalles [1,e[ et ]e,+∞[.
- Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur Dƒ.
Partie 02
Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :
g(x) = 1 − x2(1 − ln x)
et soit (Cg) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé (voir figure).
- Déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation (E) suivante : g(x) = 0 , x ∈ ]0, +∞[.
- On donne le tableau de valeurs suivant : Montrer que l’équation (E) admet une solution α telle que : 2,2 < α < 2,3.
Partie 03
On considère la suite numérique (un) définie par :
u0 = 2 et un+1 = ƒ(un) pour tout n ∈ ℕ
- Montrer par récurrence que 1 ≤ un ≤ α pour tout n de ℕ.
- Montrer que la suite (un) est décroissante.
- En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
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