Devoir (la fonction logarithme et les suites)

Devoir (la fonction logarithme et les suites). C’est le devoir de maison numéro 1 sur la fonction logarithme et les suites numériques (2^ème année bac / Terminale)

Problème d’analyse

On considère la fonction numérique ƒ de la variable réelle x telle que :

ƒ(x) = 1/x(1 − ln x)

et soit (C_ƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (unité 2cm)

Partie 01

1. Montrer que : D_ƒ = ]0, e[∪]e, +∞[. (D_ƒ est l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
   1. Calculer lim_x→e⁺ ƒ(x) et lim_x→e⁻ ƒ(x) puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.
   2. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x) et en déduire la courbe (C_ƒ) admet une asymptote au voisinage de +∞ que l’on déterminera.
   3. Montrer que lim_x→0⁺ ƒ(x) = +∞ et donner une interprétation géométrique à ce résultat.
2. 1. Montrer que pour tout x de D_ƒ . ƒ′(x) = ln x/x²(1 − ln x)²
   2. Montrer que la fonction ƒ est décroissante sur l’intervalle ]0,1] et croissante sur chacun des deux intervalles [1,e[ et ]e,+∞[.
   3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur D_ƒ.

Partie 02

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = 1 − x²(1 − ln x)

et soit (C_g) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé (voir figure).

1. 1. Déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation (E) suivante : g(x) = 0 , x ∈ ]0, +∞[.
   2. On donne le tableau de valeurs suivant : Montrer que l’équation (E) admet une solution α telle que : 2,2 < α < 2,3.
2. 1. Vérifier que : ƒ(x) − x = g(x)/x(1 − ln x) pour tout x de D_ƒ .
   2. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x coupe la courbe (C_ƒ) aux deux points d’abscisses 1 et α.
   3. Déterminer, à partir de (C_g), la signe de la fonction g sur l’intervalle [1, α].
3. Tracer, la courbe (C_g) et la droite (∆) dans le repère orthonormé ( O , i , j ).
4. Déterminer les primitives de la fonction ƒ sur D_ƒ .

Partie 03

On considère la suite numérique (u_n) définie par :

u₀ = 2 et u_n+1 = ƒ(u_n) pour tout n ∈ ℕ

1. Montrer par récurrence que 1 ≤ u_n ≤ α pour tout n de ℕ.
2. Montrer que la suite (u_n) est décroissante.
3. En déduire que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir (suites numériques et l’étude des fonctions)