Devoir (la fonction logarithme et les suites)

Devoir (la fonction logarithme et les suites)

Devoir (la fonction logarithme et les suites). C’est le devoir de maison numéro 1 sur la fonction logarithme et les suites numériques (2ème année bac / Terminale)

Problème d’analyse

On considère la fonction numérique ƒ de la variable réelle x telle que :

ƒ(x) = 1/x(1 − ln x)

et soit (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ) (unité 2cm)

Partie 01
  1. Montrer que : Dƒ = ]0, e[∪]e, +∞[. (Dƒ est l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
    1. Calculer limx→e+ ƒ(x) et limx→e ƒ(x) puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.
    2. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et en déduire la courbe (Cƒ) admet une asymptote au voisinage de +∞ que l’on déterminera.
    3. Montrer que limx→0+ ƒ(x) = +∞ et donner une interprétation géométrique à ce résultat.
    1. Montrer que pour tout x de Dƒ . ƒ′(x) = ln x/x2(1 − ln x)2
    2. Montrer que la fonction ƒ est décroissante sur l’intervalle ]0,1] et croissante sur chacun des deux intervalles [1,e[ et ]e,+∞[.
    3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur Dƒ.
Partie 02

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = 1 − x2(1 − ln x)

et soit (Cg) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé (voir figure).

    1. Déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation (E) suivante : g(x) = 0 , x ∈ ]0, +∞[.
    2. On donne le tableau de valeurs suivant : Montrer que l’équation (E) admet une solution α telle que : 2,2 < α < 2,3.
    1. Vérifier que : ƒ(x) − x = g(x)/x(1 − ln x) pour tout x de Dƒ .
    2. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x coupe la courbe (Cƒ) aux deux points d’abscisses 1 et α.
    3. Déterminer, à partir de (Cg), la signe de la fonction g sur l’intervalle [1, α].
  1. Tracer, la courbe (Cg) et la droite (∆) dans le repère orthonormé ( O , i , j ).
  2. Déterminer les primitives de la fonction ƒ sur Dƒ .
Partie 03

On considère la suite numérique (un) définie par :

u0 = 2 et un+1 = ƒ(un) pour tout n

  1. Montrer par récurrence que 1 ≤ un ≤ α pour tout n de .
  2. Montrer que la suite (un) est décroissante.
  3. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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