Devoir surveillé sur la fonction exponentielle

Devoir surveillé sur la fonction exponentielle (Bac / Terminale)

Problème d’analyse.

Partie N1

On considère la fonction numérique g définie sur ℝ par : g(x) = e^x + 2xe^x − 1.

1. Calculer g(0).
2. A partir de la courbe représentative (C_g) de la fonction g (voir la figure au dessus) déterminer le signe g(x) sur chacun des intervalles : ]−∞,0] et [0,+∞[.

Partie N2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

ƒ(x) = x(e^x − 1)²

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j). (unité : 2cm).

1. Calculer : lim_x→+∞ƒ(x).
2. Déterminer la branche infinie de la courbe (C_ƒ) au voisinage de +∞.

2. a) Vérifier que : ƒ(x) = xe^2x − 2xe^x + x pour tout x de ℝ.

b) Calculer lim_x→−∞ ƒ(x) et montrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe (C_ƒ) au voisinage −∞.

3. a) étudier la dérivabilité de ƒ en 0 à droite et interpréter géométriquement le résultat.

b) Montrer que : (∀x ∈ ℝ) : ƒ′(x) = (e^x − 1)g(x).

c) Montrer que : (∀x ∈ ]−∞,0]) : e^x − 1 ≤ 0 et que (∀x ∈ [0,+∞[) : e^x − 1 ≥ 0.

d) Montrer que la fonction ƒ est croissante sur ℝ.

4. a) Résoudre dans ℝ l’équation : xe^x (e^x − 2) = 0.

b) En déduire que la courbe (C_ƒ) coupe la droite (∆) en deux points dont on déterminera les couples de coordonnées.

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur la fonction exponentielle terminale s pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction (Devoir surveillé)

Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir surveillé sur la fonction logarithme népérien terminale
• Devoir surveillé N° V : Fonction exponentielle et logarithme ts sur studylib