Devoir surveillé sur la fonction exponentielle

Devoir surveillé sur la fonction exponentielle

Devoir surveillé sur la fonction exponentielle (Bac / Terminale)

Problème d’analyse.

Partie N1

On considère la fonction numérique g définie sur par : g(x) = ex + 2xex − 1.

  1. Calculer g(0).
  2. A partir de la courbe représentative (Cg) de la fonction g (voir la figure au dessus) déterminer le signe g(x) sur chacun des intervalles : ]−∞,0] et [0,+∞[.

Partie N2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par :

ƒ(x) = x(ex − 1)2

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j). (unité : 2cm).

    1. Calculer : limx→+∞ƒ(x).
    2. Déterminer la branche infinie de la courbe (Cƒ) au voisinage de +∞.

2. a) Vérifier que : ƒ(x) = xe2x − 2xex + x pour tout x de .

b) Calculer limx→−∞ ƒ(x) et montrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe (Cƒ) au voisinage −∞.

3. a) étudier la dérivabilité de ƒ en 0 à droite et interpréter géométriquement le résultat.

b) Montrer que : (∀x ∈ ) : ƒ′(x) = (ex − 1)g(x).

c) Montrer que : (∀x ∈ ]−∞,0]) : ex − 1 ≤ 0 et que (∀x ∈ [0,+∞[) : ex − 1 ≥ 0.

d) Montrer que la fonction ƒ est croissante sur .

4. a) Résoudre dans l’équation : xex (ex − 2) = 0.

b) En déduire que la courbe (Cƒ) coupe la droite (∆) en deux points dont on déterminera les couples de coordonnées.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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