par Devoir surveillé sur la fonction exponentielle et les nombres complexes (Bac / Terminale)
Problème d’analyse
Partie 01.
On considère la fonction numérique h définie sur ℝ par : h(x) = ex − x − 1.
- Calculer h′(x) pour tout x de ℝ, puis en déduire que h est croissante sur [0,+∞[ et décroissante sur ]−∞,0].
- Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ, puis déduire que ex − x > 0 pour tout x ∈ ℝ.
Partie 02.
On considère la fonction numérique ƒ définie sur [0,+∞[ par : ƒ(x) = ex − 1/ex − x
- Vérifier que : ƒ(x) = 1 − ex/1 − xe−x , puis déduire que : limx→+∞ ƒ(x) = 1.
On admet le résultat suivante : la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, 1].
2. Montrer que pout tout x de [0, 1] on a : ƒ(x) ∈ [0, 1].
3. Soit (D) la droit d’équation : y = x.
a). Montrer que pour tout x de [0, 1] : ƒ(x) − x = (1− x)h(x)/ex − x , puis étudier le signe de ƒ(x) − x sur [0, 1].
b). Déduire la position relative de la courbe (Cƒ) et la droite (D) sur l’intervalle [0, 1].
4. On considère la suite (un) définie par : u0 = 1/2 et un+1 = ƒ(un), pour tout n ∈ ℕ.
a) Montrer que : (∀n ∈ ℕ) : 1/2 ≤ un ≤ 1.
b) Montrer que la suite (un) est croissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : On pourra utiliser la question 3-a)
c) . Montrer que : limn→+∞ un = 1.
Exercice 1
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).
- Résoudre dans ℂ l’équation : (E) : z2 − 6z + 18 = 0.
- On considère les points A et B d’affixes respectives : a = 3 + 3i , b = 3 − 3i.
- Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
- On considère la translation T de vecteur OA.
- Montrer que b′ l’affixe du point B′ image du point B par la translation T est : 6.
- Montrer que : b − b′/a − b′ = i, puis en déduire que le triangle AB′B est rectangle isocèle en B′.
- Déduire de ce qui précède que le quadrilatère OAB′B est un carré.
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Vous êtes un grand mathématicien , j’espère que vous aller continuer à nous donner beaucoup de devoirs- corrigés , notamment des épreuves du bac maths , car j’ai un enfant qui est en terminal qui prépare cet examen important , depuis Alger je vous souhaite un ramadhan Karim et saha ftourkoum…..
Merci beaucoup👋