Devoir surveillé exponentielle et nombres complexes

Devoir surveillé exponentielle et nombres complexes

Devoir surveillé sur la fonction exponentielle et les nombres complexes (Bac / Terminale)

Problème d’analyse

Partie 01.

On considère la fonction numérique h définie sur par : h(x) = ex − x − 1.

  1. Calculer h′(x) pour tout x de , puis en déduire que h est croissante sur [0,+∞[ et décroissante sur ]−∞,0].
  2. Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x, puis déduire que ex − x > 0 pour tout x.

Partie 02.

On considère la fonction numérique ƒ définie sur [0,+∞[ par : ƒ(x) = ex − 1/ex − x

  1. Vérifier que : ƒ(x) = 1 − ex/1 − xe−x , puis déduire que : limx→+∞ ƒ(x) = 1.

On admet le résultat suivante : la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, 1].

2. Montrer que pout tout x de [0, 1] on a : ƒ(x) ∈ [0, 1].

3. Soit (D) la droit d’équation : y = x.

a). Montrer que pour tout x de [0, 1] : ƒ(x) − x = (1− x)h(x)/ex − x , puis étudier le signe de ƒ(x) − x sur [0, 1].

b). Déduire la position relative de la courbe (Cƒ) et la droite (D) sur l’intervalle [0, 1].

4. On considère la suite (un) définie par : u0 = 1/2 et un+1 = ƒ(un), pour tout n.

a) Montrer que : (∀n ) : 1/2 ≤ un ≤ 1.

b) Montrer que la suite (un) est croissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : On pourra utiliser la question 3-a)

c) . Montrer que : limn→+∞ un = 1.

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

  1. Résoudre dans l’équation : (E) : z2 − 6z + 18 = 0.
  2. On considère les points A et B d’affixes respectives : a = 3 + 3i , b = 3 − 3i.
    1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
  3. On considère la translation T de vecteur OA.
    1. Montrer que b′ l’affixe du point B′ image du point B par la translation T est : 6.
    2. Montrer que : b − b′/a − b′ = i, puis en déduire que le triangle AB′B est rectangle isocèle en B′.
    3. Déduire de ce qui précède que le quadrilatère OAB′B est un carré.

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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2 réflexions sur « Devoir surveillé exponentielle et nombres complexes »

  1. Vous êtes un grand mathématicien , j’espère que vous aller continuer à nous donner beaucoup de devoirs- corrigés , notamment des épreuves du bac maths , car j’ai un enfant qui est en terminal qui prépare cet examen important , depuis Alger je vous souhaite un ramadhan Karim et saha ftourkoum…..

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