DS exponentielle et nombres complexes N2

DS exponentielle et nombres complexes N2. Devoir surveillé sur la fonction exponentielle et les nombres complexes version 2 (Bac / Terminale)

Problème d’analyse

Partie 01. On considère la fonction numérique h définie sur ℝ par : h(x) = e^−x + x − 1.

Calculer h′(x) pour tout x ∈ ℝ, puis en déduire que h est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x de ℝ.

Partie 02. On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = x/x + e^−x

Montrer que : ƒ′(x) = (x + 1)e^−x/(x + e^−x)² pour tout x de ℝ.
Etudier le signe ƒ′(x) puis dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
Vérifier : x − ƒ(x) = xh(x)/h(x) + 1 pour tout x de ℝ puis étudier le signe x − ƒ(x) sur ℝ.
Déduire de la question précédente que la courbe (C_ƒ) est au-dessous de la droite (∆) d’équation : y = x sur l’intervalle [0, +∞[ et au-dessus sur l’intervalle ]−∞, 0].
On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 1 et u_n+1 = ƒ(u_n), pour tout n ∈ ℕ.
1. Montrer que : (∀n ∈ ℕ) : 0 ≤ u_n ≤ 1.
2. Montrer que la suite (u_n) est décroissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : on pourra utiliser le résultat de la question 3)
3. Montrer que : lim_n→+∞ u_n = 0.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

Résoudre dans ℂ l’équation : (E) : 2z² + 2z + 5 = 0.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2 − 2i , b = − √3/2 + 1/2i et c = 1 − √3 + ( 1 + √3)i.
1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
On considère la rotation R de centre le point O et d’angle 5π/6.
1. Soit z l’affixe d’un point M du plan complexe et z′ l’affixe du point M′ l’image de M par la rotation R. Montrer que : z′ = bz, puis vérifier que le point C est l’image du point A par la rotation R.