DS exponentielle et nombres complexes N2

DS exponentielle et nombres complexes N2

DS exponentielle et nombres complexes N2. Devoir surveillé sur la fonction exponentielle et les nombres complexes version 2 (Bac / Terminale)

Problème d’analyse

Partie 01. On considère la fonction numérique h définie sur par : h(x) = e−x + x − 1.

  1. Calculer h′(x) pour tout x, puis en déduire que h est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
  2. Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x de .

Partie 02. On considère la fonction numérique ƒ définie sur par : ƒ(x) = x/x + e−x

  1. Montrer que : ƒ′(x) = (x + 1)e−x/(x + e−x)2 pour tout x de .
  2. Etudier le signe ƒ′(x) puis dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  3. Vérifier : x − ƒ(x) = xh(x)/h(x) + 1 pour tout x de puis étudier le signe x − ƒ(x) sur .
  4. Déduire de la question précédente que la courbe (Cƒ) est au-dessous de la droite (∆) d’équation : y = x sur l’intervalle [0, +∞[ et au-dessus sur l’intervalle ]−∞, 0].
  5. On considère la suite (un) définie par : u0 = 1 et un+1 = ƒ(un), pour tout n.
    1. Montrer que : (∀n) : 0 ≤ un ≤ 1.
    2. Montrer que la suite (un) est décroissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : on pourra utiliser le résultat de la question 3)
    3. Montrer que : limn→+∞ un = 0.

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

  1. Résoudre dans l’équation : (E) : 2z2 + 2z + 5 = 0.
  2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2 − 2i , b = − √3/2 + 1/2i et c = 1 − √3 + ( 1 + √3)i.
    1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
  3. On considère la rotation R de centre le point O et d’angle 5π/6.
    1. Soit z l’affixe d’un point M du plan complexe et z′ l’affixe du point M′ l’image de M par la rotation R. Montrer que : z′ = bz, puis vérifier que le point C est l’image du point A par la rotation R.

Cliquer ici pour télécharger ds sur la fonction exponentielle et les nombres complexes N2 terminale pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction du devoir surveillé N2

Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.