Calcul trigonométrique exercices corrigés TC

Calcul trigonométrique exercices corrigés TC. Série d’exercices corrigés sur le calcul trigonométrique (Tronc Commun Scientifique)

Exercice 01 (Calcul trigonométrique exercices corrigés TC)

Déterminer l’abscisse curviligne principale du point M qui admet α comme l’une de ses abscisses curviligne dans les cas suivants :

α = 7π/2 , α = −15π/12 , α = 88π/3

Exercice 02

Dans le plan orienté, ABC est un triangle équilatéral tel que : (AB, AC) ≡ π/3 [2π]. ACD et AEB sont deux triangles directs, rectangles et isocèles respectivement en D et E.

1. Tracer une figure convenable.
2. Donner en justifiant, la mesure principale des angles orienté suivants :

(BC , BA) , (CB, CD) et (EA, BC)

Exercice 03 (Calcul trigonométrique exercices corrigés TC)

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que : (CA, CB) ≡ π/5[2π].

1. Vérifier que : (BA, CB) ≡ (AB, AC) + (CA, CB)[2π]
2. Déterminer une mesure principale de l’angle orienté : (BA, CB).

Exercice 04

Simplifier les expressions suivantes :

A = cos(5π + x) − sin(11π − x) + cos(2π − x) − sin(9π/2 − x)

B = sin(2005π/2 − 2x) + sin(π − 2x) + cos(37π +2x)

C = tan(−x) + tan(π + x) + tan(x − 3π)

Exercice 05 (Calcul trigonométrique exercices corrigés TC)

Calculer les sommes suivantes :

A = cosπ/7 + cos2π/7 + cos3π/7 + cos4π/7 + cos5π/7 + cos6π/7

B = cosπ/11 + cos2π/11 + cos3π/11 + cos8π/11 + cos9π/11 + cos10π/11

C = cos²π/10 + cos²4π/10 + cos²6π/10 + cos²9π/10

D = cos²π/8 + cos²3π/8 + cos²5π/8 + cos²7π/8

Exercice 06

Soit x ∈ ℝ

A(x) = cos x + sin x − (cos³x + sin³x)

1. Montrer que : A(x) = cos x . sin x .(cos x + sin x).
2. Vérifier que : A (π/2 + x) = A(−x), et A(π + x) = −A(x).

Exercice 07

Soit x un réel tel que x ∈ [0, π] , on pose :

A(x) = 1/sin²x + 2cos²x

1. Calculer A(0) , A(π/4) et A(π/6).
   1. Vérifier que : A(π − x) = A(x).
   2. En déduire que : A(5π/6) , A(3π/4) et A(π).
2. Montrer que : A(π/2 − x) = 1/1 + sin²x
3. On suppose que x ≠ π/2, montrer que : A(x) = 1 + tan²x/2 + tan²x

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Correction de la série d’exercices sur le calcul trigonométrique

Exercice 1

On cherche l’abscisse curviligne principale du point M qui admet α comme abscisse curviligne.

• α = 7π/2 :

Notons α₀ l’abscisse curviligne principale du point M, puisque α est une abscisse curviligne du point M alors : α = α₀ + 2kπ avec k ∈ ℤ, ensuite : α₀ = α − 2kπ avec k ∈ ℤ. Or, α₀ ∈ ]−π, π], donc : −π ≺ α₀ ≼ π, par ailleurs :

−π ≺ 7π/2 − 2kπ ≼ π

⇔  − 1 ≺ 7/2 − 2k ≼ 1

⇔  − 1 − 7/2 ≺ − 2k ≼ − 7/2 + 1

⇔ − 9/2 ≺ − 2k ≼ − 5/2

⇔ 5/4 ≼ k ≺ 9/4

⇔ 1,25 ≼ k ≺ 2,25

comme k ∈ ℤ, alors k = 2. Donc

α₀ = 7π/2 − 2kπ

= 7π/2 − 2 × 2 × π

= −π/2 ∈ ]−π, π]

Ce qui signifie que −π/2 est l’abscisse curviligne principale du point M.

• α = −15π/12

On cherche l’abscisse curviligne principale du point M, en utilisant une autre méthode. On cherche une écriture sous la forme : α₀ + 2kπ avec α₀ ∈ ]−π, π]. Donc :

α = −15π/12

= −24π+9π/12

= −2π + 9π/12 = 3π/4 −2π

comme : 3π/4 ∈ ]−π, π], donc 3π/4 est l’abscisse curviligne principale du point M.

• α = 88π/3

On cherche une écriture sous la forme : α₀ + 2kπ avec α₀ ∈ ]−π, π]. Donc :

α = 88π/3

= −2π/3 + 30π

= −2π/3 + 2 × 15π

comme : −2π/3 ∈ ]−π, π], donc −2π/3 est l’abscisse curviligne principale du point M.

Exercice 2

ABC est un triangle équilatéral tel que : (AB, AC) ≡ π/3 [2π].

1. La figure :
2. On cherche la mesure principale des angles orientés :

• (BC, BA) :

La mesure principale de l’angle (BC, BA) est π/3.

• (CB, CD) :

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

(CB, CD) ≡ (CB, CA) + (CA, CD)[2π]

≡ −π/3 − π/4 [2π]

≡ −7π/12 [2π]

car les angles (CB, CA) et (CA, CD) sont orienté négativement.

• (EA, BC).

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

(EA, BC) ≡ (EA, EB) + (EB, BC) [2π]

≡ (EA, EB) + (−BE, BC) [2π] (1)

et comme (EA, BC) ≡ − π/2 [2π], cherchons (−BE, BC) :

(−BE, BC) ≡ π + (BE, BC) [2π] (2)

En utilisant la relation de Chasles, on obtient : (BE, BC) ≡ (BE, BA) + (BA, BC) [2π] , ensuite : (BE, BC) ≡ − π/4 − π/3 [2π]. Donc : (BE, BC) ≡ −7π/12 [2π]. Par ailleurs on remplace dans (2), on obtient : (−BE, BC) ≡ π −7π/12 [2π], donc : (−BE, BC) ≡ 5π/12 [2π]. Donc on remplace dans (1), on obtient : (EA, BC) ≡ −π/2 + 5π/12 [2π] , c’est-à-dire : (EA, BC) ≡ −π/12 [2π]. La mesure principale de l’angle (EA, BC) est −π/12.

Exercice 4

Simplifions les expressions suivantes :

A = cos(5π + x) − sin(11π − x) + cos(2π − x) − sin(9π/2 − x)

= cos(π + x) − sin(π − x) + cos(− x) − sin(4π + π/2 − x)

= − cos x − sin x + cos x − sin(π/2 − x)

= − sin x − cos x

L’expression B :

B = sin(2005π/2 − 2x) + sin(π − 2x) + cos(37π + 2x)

= sin(2004π+π/2 − 2x) + sin 2x + cos(π + 36π + 2x)

= sin(1002π + π/2 − 2x) + sin 2x + cos(π + 2x)

= sin(π/2 − 2x) + sin 2x − cos 2x

= cos 2x + sin 2x − cos 2x

= sin 2x

L’expression C :

C = tan(−x) + tan(π + x) + tan(x − 3π)

= −tan x + tan x + tan(x − 2π − π)

= tan(x − π)

= tan x

Exercice 5

Calculons les sommes suivantes :

A = cosπ/7 + cos2π/7 + cos3π/7 + cos4π/7 + cos5π/7 + cos6π/7

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Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique

Exercice 1 ( le produit scalaire)

Dans la figure ci-dessous EFG est un triangle équilatéral de coté a, (a ∈ ℝ*₊) et EGH est un triangle rectangle en E tel que : EH = 2a et K est le milieu de [EH].

1. Montrer que : (EF , EH) ≡ 5π/2 [2π] .
2. Montrer que : EF.EG = a²/2 et que : EF.EH = −a²√3.
3. Montrer que : GH² = 5a² et que : FH² = (5 + 2√3)a² .
4. Calculer : GF.GH
5. On pose : ( GF,GH ) ≡ θ [2π]. Montrer que : cosθ = (1−2√3)√5/10
6. Calculer : GK.

Exercice 2 (le calcul trigonométrique)

1. Résoudre dans ]0, π] l’inéquation suivante (I) : 2cos² x − cos x ≺ 0.
2. Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x.sin x
   1. Montrer que pour tout x de ℝ : A(π/2 − x) = A(x) et que : A(π + x) = A(x).
   2. Montrer que pour tout x de ℝ tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ. A(x) = tanx/1+tan² x
   3. Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4 .

Exercice 3 (transformation dans le plan)

Soit IAB un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID= 1/3IB.

On considère h l’homothétie qui transforme A en C et B en D.

1. Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie.
2. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
   1. Déterminer l’image de la droite (BC) par h.
   2. Montrer que : h(C) = E.

Exercice 4

IAB est un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB.

On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.

1. Déterminer le rapport de l’homothétie h.
2. Montrer que : h(D) = B.
3. La droite qui passe par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) Montrer que : h(E) = C.

4. Déduire l’image du triangle ECD par l’homothétie h.

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Correction devoir maison

Exercice 1 (produit scalaire)

On considère la figure suivante :

1. Montrons que : (EF , EH) ≡ 5π/6 [2π]

On utilise la relation de Chasles, on obtient :

( EF , EH ) ≡ ( EF , EG ) + ( EG , EH )

≡ π/3 + π/2 [2π]

≡ 5π/6 [2π]

2. Montrons que : EF.EG = a²/2.

EF.EG = EF.EG. cos(FEG)

= a × a × cos (π/3)

= a × a × 1/2 (car : FEG = π/3)

= a²/2

• Montrons que : EF.EH = −a²√3

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Devoir surveillé sur les fonctions et le calcul trigonométrique

Exercice 1

1. Déterminer l’ensemble de définition de fonction : ƒ(x) = 2x/x² −6x+5 .
2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x² + 2x + 1. Montrer que la fonction ƒ admet une valeur maximale sur ℝ.

Exercice 2

On considère les fonctions numériques ƒ et h définie par : ƒ(x) = −2x² + 4x − 1 et h(x) = x/x−1

et (C_ƒ) et (C_h) les courbes représentatives respectives de ƒ et h dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h, puis donner son tableau de variations.
2. Quelle est la nature de la courbe (C_h).
3. Calculer h(3/2), h(2) et h(3), puis tracer la courbe (C_h).

Exercice 3

1. Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ 88π/3 [2π].

Déterminer la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).

2. Simplifier A et calculer la valeur de la somme B.

A = cos(x + 4π) + cos(5π + x) − sin (π/2 + x) − cos(x − π).

B = cos π/7 + cos 2π/7 + cos 3π/7 + cos 4π/7 + cos 5π/7 + cos 6π/7

3. a) Calculer la valeur de la somme suivante : A = cos² π/10 + cos² 4π/10 + cos² 6π/10 + cos² 9π/10

b) Déduire la valeur de la somme : B = sin² π/10 + sin² 4π/10 + sin² 6π/10 + sin² 9π/10

Exercice 4

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par : ƒ(x) = x + 9/x

1. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ* , montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−9/xy
2. Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur ]0, 3] , puis déduire un encadrement pour ƒ(a) sachant que a ∈ [1, 2].

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Correction devoir surveille N2

Exercice 1

1. L’ensemble de définition de la fonction : ƒ(x) = 2x/x² −6x+5

D_ƒ = { x ∈ ℝ ⁄ x² − 6x + 5 ≠ 0 }

On résout dans ℝ l’équation : x² − 6x + 5 = 0.

∆ = b² − 4ac

= (−6)² − 4 × 1 × 5

= 16 ≻ 0

Donc, l’équation admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ .

x₁ = −b+√∆/2a = 6+√16/2×1 = 5 et x₂ = −b−√∆/2a = 6−√16/2×1 = 1

Donc

D_ƒ = {x ∈ ℝ ⁄ x ≠ 1 et x ≠ 5}

= ]−∞, 1[⋃]1, 5[⋃]5, +∞[

2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x² + 2x + 1.

On a : a = −3, b = 4 et c = 1 et comme : −b/2a = 2/3 et a ≺ 0. Donc, on déduit le tableau de variations suivant :

On déduit que la fonction ƒ admet 7/3 comme valeur maximale en point d’abscisse 2/3 sur ℝ.

Exercice 2

On considère les fonctions numériques ƒ et h définies par : ƒ(x) = −2x² + 4x − 1 et h(x) = x/x−1.

1. L’ensemble de définition de la fonction h :

D_h = {x ∈ ℝ ⁄ x − 1 ≠ 0}

= ]−∞, 1[⋃]1, +∞[

• Tableau de variations de h :

b) La courbe représentative de la fonction h est appelé hyperbole son centre de symétrie est le point S (1, 1) et les droites d’équations : (D) : x = 1 et (D′) : y = 1 sont les deux asymptotes de la courbe (C_h).

c) On a : h(3/2) = 3/2/3/2−1 = 3, h(2) = 2/2−1 = 2 et h(3) = 3/3−1 = 3/2.

2. a) On a : a = − 2 ≺ 0 et −b/2a = −4/−4 = 1. Donc le tableau de variations de la fonction est:

La courbe représentative de la fonction ƒ est appelé parabole de sommet S(1, 1) et la droite d’équation (D) : x = 1 son axe de symétrie.

b) On a : ƒ(0) = −1 , ƒ(1/2) = 1/2 et ƒ(1/4) = −1/8.

Voir la question 1/c la courbe en rouge présente la fonction ƒ.

c) Les solutions de l’équation (E) : ƒ = m avec m ∈ ℝ.

• Si m ∈ ]1, +∞[ , alors l’équation (E) n’admet aucune solution.
• Si m ∈ ]−∞, 1[ , alors l’équation (E) admet deux solution distinctes.
• Si m = 1, alors l’équation (E) admet une unique solution.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Calcul trigonométrique tronc commun cours
• Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés