Calcul trigonométrique exercices corrigés TC

Calcul trigonométrique exercices corrigés TC. Série d’exercices corrigés sur le calcul trigonométrique (Tronc commun /1ère année lycée)

Exercice 01 (Calcul trigonométrique exercices corrigés TC)

Déterminer l’abscisse curviligne principale du point M qui admet α comme l’une de ses abscisses curviligne dans les cas suivants :

α = 7π/2 , α = −15π/12 , α = 88π/3

Exercice 02

Dans le plan orienté, ABC est un triangle équilatéral tel que : (AB, AC) ≡ π/3 [2π]. ACD et AEB sont deux triangles directs, rectangles et isocèles respectivement en D et E.

1. Tracer une figure convenable.
2. Donner en justifiant, la mesure principale des angles orienté suivants :

(BC , BA) , (CB, CD) et (EA, BC)

Exercice 03 (Calcul trigonométrique exercices corrigés TC)

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que : (CA, CB) ≡ π/5[2π].

1. Vérifier que : (BA, CB) ≡ (AB, AC) + (CA, CB)[2π]
2. Déterminer une mesure principale de l’angle orienté : (BA, CB).

Exercice 04

Simplifier les expressions suivantes :

A = cos(5π + x) − sin(11π − x) + cos(2π − x) − sin(9π/2 − x)

B = sin(2005π/2 − 2x) + sin(π − 2x) + cos(37π +2x)

C = tan(−x) + tan(π + x) + tan(x − 3π)

Exercice 05 (Calcul trigonométrique exercices corrigés TC)

Calculer les sommes suivantes :

A = cosπ/7 + cos2π/7 + cos3π/7 + cos4π/7 + cos5π/7 + cos6π/7

B = cosπ/11 + cos2π/11 + cos3π/11 + cos8π/11 + cos9π/11 + cos10π/11

C = cos²π/10 + cos²4π/10 + cos²6π/10 + cos²9π/10

D = cos²π/8 + cos²3π/8 + cos²5π/8 + cos²7π/8

Exercice 06

Soit x ∈ ℝ

A(x) = cos x + sin x − (cos³x + sin³x)

1. Montrer que : A(x) = cos x . sin x .(cos x + sin x).
2. Vérifier que : A (π/2 + x) = A(−x), et A(π + x) = −A(x).

Exercice 07

Soit x un réel tel que x ∈ [0, π] , on pose :

A(x) = 1/sin²x + 2cos²x

1. Calculer A(0) , A(π/4) et A(π/6).
   1. Vérifier que : A(π − x) = A(x).
   2. En déduire que : A(5π/6) , A(3π/4) et A(π).
2. Montrer que : A(π/2 − x) = 1/1 + sin²x
3. On suppose que x ≠ π/2, montrer que : A(x) = 1 + tan²x/2 + tan²x

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Correction de la série d’exercices sur le calcul trigonométrique

Exercice 1

On cherche l’abscisse curviligne principale du point M qui admet α comme abscisse curviligne.

• α = 7π/2 :

Notons α₀ l’abscisse curviligne principale du point M, puisque α est une abscisse curviligne du point M alors : α = α₀ + 2kπ avec k ∈ ℤ, ensuite : α₀ = α − 2kπ avec k ∈ ℤ. Or, α₀ ∈ ]−π, π], donc : −π ≺ α₀ ≼ π, par ailleurs :

−π ≺ 7π/2 − 2kπ ≼ π

⇔  − 1 ≺ 7/2 − 2k ≼ 1

⇔  − 1 − 7/2 ≺ − 2k ≼ − 7/2 + 1

⇔ − 9/2 ≺ − 2k ≼ − 5/2

⇔ 5/4 ≼ k ≺ 9/4

⇔ 1,25 ≼ k ≺ 2,25

comme k ∈ ℤ, alors k = 2. Donc

α₀ = 7π/2 − 2kπ

= 7π/2 − 2 × 2 × π

= −π/2 ∈ ]−π, π]

Ce qui signifie que −π/2 est l’abscisse curviligne principale du point M.

• α = −15π/12

On cherche l’abscisse curviligne principale du point M, en utilisant une autre méthode. On cherche une écriture sous la forme : α₀ + 2kπ avec α₀ ∈ ]−π, π]. Donc :

α = −15π/12

= −24π+9π/12

= −2π + 9π/12 = 3π/4 −2π

comme : 3π/4 ∈ ]−π, π], donc 3π/4 est l’abscisse curviligne principale du point M.

• α = 88π/3

On cherche une écriture sous la forme : α₀ + 2kπ avec α₀ ∈ ]−π, π]. Donc :

α = 88π/3

= −2π/3 + 30π

= −2π/3 + 2 × 15π

comme : −2π/3 ∈ ]−π, π], donc −2π/3 est l’abscisse curviligne principale du point M.

Exercice 2

ABC est un triangle équilatéral tel que : (AB, AC) ≡ π/3 [2π].

1. La figure :
2. On cherche la mesure principale des angles orientés :

• (BC, BA) :

La mesure principale de l’angle (BC, BA) est π/3.

• (CB, CD) :

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

(CB, CD) ≡ (CB, CA) + (CA, CD)[2π]

≡ −π/3 − π/4 [2π]

≡ −7π/12 [2π]

car les angles (CB, CA) et (CA, CD) sont orienté négativement.

• (EA, BC).

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

(EA, BC) ≡ (EA, EB) + (EB, BC) [2π]

≡ (EA, EB) + (−BE, BC) [2π] (1)

et comme (EA, BC) ≡ − π/2 [2π], cherchons (−BE, BC) :

(−BE, BC) ≡ π + (BE, BC) [2π] (2)

En utilisant la relation de Chasles, on obtient : (BE, BC) ≡ (BE, BA) + (BA, BC) [2π] , ensuite : (BE, BC) ≡ − π/4 − π/3 [2π]. Donc : (BE, BC) ≡ −7π/12 [2π]. Par ailleurs on remplace dans (2), on obtient : (−BE, BC) ≡ π −7π/12 [2π], donc : (−BE, BC) ≡ 5π/12 [2π]. Donc on remplace dans (1), on obtient : (EA, BC) ≡ −π/2 + 5π/12 [2π] , c’est-à-dire : (EA, BC) ≡ −π/12 [2π]. La mesure principale de l’angle (EA, BC) est −π/12.

Exercice 4

Simplifions les expressions suivantes :

A = cos(5π + x) − sin(11π − x) + cos(2π − x) − sin(9π/2 − x)

= cos(π + x) − sin(π − x) + cos(− x) − sin(4π + π/2 − x)

= − cos x − sin x + cos x − sin(π/2 − x)

= − sin x − cos x

L’expression B :

B = sin(2005π/2 − 2x) + sin(π − 2x) + cos(37π + 2x)

= sin(2004π+π/2 − 2x) + sin 2x + cos(π + 36π + 2x)

= sin(1002π + π/2 − 2x) + sin 2x + cos(π + 2x)

= sin(π/2 − 2x) + sin 2x − cos 2x

= cos 2x + sin 2x − cos 2x

= sin 2x

L’expression C :

C = tan(−x) + tan(π + x) + tan(x − 3π)

= −tan x + tan x + tan(x − 2π − π)

= tan(x − π)

= tan x

Exercice 5

Calculons les sommes suivantes :

A = cosπ/7 + cos2π/7 + cos3π/7 + cos4π/7 + cos5π/7 + cos6π/7

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Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique

Exercice 1 ( le produit scalaire)

Dans la figure ci-dessous EFG est un triangle équilatéral de coté a, (a ∈ ℝ*₊) et EGH est un triangle rectangle en E tel que : EH = 2a et K est le milieu de [EH].

1. Montrer que : (EF , EH) ≡ 5π/2 [2π] .
2. Montrer que : EF.EG = a²/2 et que : EF.EH = −a²√3.
3. Montrer que : GH² = 5a² et que : FH² = (5 + 2√3)a² .
4. Calculer : GF.GH
5. On pose : ( GF,GH ) ≡ θ [2π]. Montrer que : cosθ = (1−2√3)√5/10
6. Calculer : GK.

Exercice 2 (le calcul trigonométrique)

1. Résoudre dans ]0, π] l’inéquation suivante (I) : 2cos² x − cos x ≺ 0.
2. Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x.sin x
   1. Montrer que pour tout x de ℝ : A(π/2 − x) = A(x) et que : A(π + x) = A(x).
   2. Montrer que pour tout x de ℝ tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ. A(x) = tanx/1+tan² x
   3. Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4 .

Exercice 3 (transformation dans le plan)

Soit IAB un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID= 1/3IB.

On considère h l’homothétie qui transforme A en C et B en D.

1. Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie.
2. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
   1. Déterminer l’image de la droite (BC) par h.
   2. Montrer que : h(C) = E.

Exercice 4

IAB est un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB.

On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.

1. Déterminer le rapport de l’homothétie h.
2. Montrer que : h(D) = B.
3. La droite qui passe par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) Montrer que : h(E) = C.

4. Déduire l’image du triangle ECD par l’homothétie h.

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Correction devoir maison

Exercice 1 (produit scalaire)

On considère la figure suivante :

1. Montrons que : (EF , EH) ≡ 5π/6 [2π]

On utilise la relation de Chasles, on obtient :

( EF , EH ) ≡ ( EF , EG ) + ( EG , EH )

≡ π/3 + π/2 [2π]

≡ 5π/6 [2π]

2. Montrons que : EF.EG = a²/2.

EF.EG = EF.EG. cos(FEG)

= a × a × cos (π/3)

= a × a × 1/2 (car : FEG = π/3)

= a²/2

• Montrons que : EF.EH = −a²√3

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Devoir surveillé sur les fonctions et le calcul trigonométrique

Exercice 1

1. Déterminer l’ensemble de définition de fonction : ƒ(x) = 2x/x² −6x+5 .
2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x² + 2x + 1. Montrer que la fonction ƒ admet une valeur maximale sur ℝ.

Exercice 2

On considère les fonctions numériques ƒ et h définie par : ƒ(x) = −2x² + 4x − 1 et h(x) = x/x−1

et (C_ƒ) et (C_h) les courbes représentatives respectives de ƒ et h dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h, puis donner son tableau de variations.
2. Quelle est la nature de la courbe (C_h).
3. Calculer h(3/2), h(2) et h(3), puis tracer la courbe (C_h).

Exercice 3

1. Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ 88π/3 [2π].

Déterminer la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).

2. Simplifier A et calculer la valeur de la somme B.

A = cos(x + 4π) + cos(5π + x) − sin (π/2 + x) − cos(x − π).

B = cos π/7 + cos 2π/7 + cos 3π/7 + cos 4π/7 + cos 5π/7 + cos 6π/7

3. a) Calculer la valeur de la somme suivante : A = cos² π/10 + cos² 4π/10 + cos² 6π/10 + cos² 9π/10

b) Déduire la valeur de la somme : B = sin² π/10 + sin² 4π/10 + sin² 6π/10 + sin² 9π/10

Exercice 4

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par : ƒ(x) = x + 9/x

1. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ* , montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−9/xy
2. Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur ]0, 3] , puis déduire un encadrement pour ƒ(a) sachant que a ∈ [1, 2].

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Correction devoir surveille N2

Exercice 1

1. L’ensemble de définition de la fonction : ƒ(x) = 2x/x² −6x+5

D_ƒ = { x ∈ ℝ ⁄ x² − 6x + 5 ≠ 0 }

On résout dans ℝ l’équation : x² − 6x + 5 = 0.

∆ = b² − 4ac

= (−6)² − 4 × 1 × 5

= 16 ≻ 0

Donc, l’équation admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ .

x₁ = −b+√∆/2a = 6+√16/2×1 = 5 et x₂ = −b−√∆/2a = 6−√16/2×1 = 1

Donc

D_ƒ = {x ∈ ℝ ⁄ x ≠ 1 et x ≠ 5}

= ]−∞, 1[⋃]1, 5[⋃]5, +∞[

2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x² + 2x + 1.

On a : a = −3, b = 4 et c = 1 et comme : −b/2a = 2/3 et a ≺ 0. Donc, on déduit le tableau de variations suivant :

On déduit que la fonction ƒ admet 7/3 comme valeur maximale en point d’abscisse 2/3 sur ℝ.

Exercice 2

On considère les fonctions numériques ƒ et h définies par : ƒ(x) = −2x² + 4x − 1 et h(x) = x/x−1.

1. L’ensemble de définition de la fonction h :

D_h = {x ∈ ℝ ⁄ x − 1 ≠ 0}

= ]−∞, 1[⋃]1, +∞[

• Tableau de variations de h :

b) La courbe représentative de la fonction h est appelé hyperbole son centre de symétrie est le point S (1, 1) et les droites d’équations : (D) : x = 1 et (D′) : y = 1 sont les deux asymptotes de la courbe (C_h).

c) On a : h(3/2) = 3/2/3/2−1 = 3, h(2) = 2/2−1 = 2 et h(3) = 3/3−1 = 3/2.

2. a) On a : a = − 2 ≺ 0 et −b/2a = −4/−4 = 1. Donc le tableau de variations de la fonction est:

La courbe représentative de la fonction ƒ est appelé parabole de sommet S(1, 1) et la droite d’équation (D) : x = 1 son axe de symétrie.

b) On a : ƒ(0) = −1 , ƒ(1/2) = 1/2 et ƒ(1/4) = −1/8.

Voir la question 1/c la courbe en rouge présente la fonction ƒ.

c) Les solutions de l’équation (E) : ƒ = m avec m ∈ ℝ.

• Si m ∈ ]1, +∞[ , alors l’équation (E) n’admet aucune solution.
• Si m ∈ ]−∞, 1[ , alors l’équation (E) admet deux solution distinctes.
• Si m = 1, alors l’équation (E) admet une unique solution.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Calcul trigonométrique tronc commun cours
• Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés