Les fonctions numériques tronc commun exercices corrigés

Les fonctions numériques tronc commun exercices corrigés

Les fonctions numériques tronc commun exercices corrigés.(tronc commun scientifique/seconde)

Exercice 1 (Les fonctions numériques tronc commun exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x2+x+1/x2+1

  1. Montrer que pour tout x, on a :

1/2 ≤ ƒ(x) ≤ 3/2

2. Soient x et y deux éléments distincts de . Montrer que :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = 1−xy/(x2+1)(y2+1)

3. Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur chacun des intervalles suivants : ]−∞, −1] , [−1, 1] et [1, +∞[.

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = xx/x2+4

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

  1. Déterminer Dƒ.
  2. Étudier la parité de la fonction ƒ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  3. Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur +, déduire la monotonie de la fonction ƒ sur .
  4. Déduire le tableau de variations de la fonction ƒ sur .
Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x/x2+1

  1. Montrer que : Dƒ = . (Dƒ est l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
  2. Étudier la parité de la fonction ƒ.
    1. Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur les intervalles [1, +∞[ et [0, 1].
    2. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] on a : 0 ≤ ƒ(x) ≤ 1/2
    3. Déduire le tableau de variations de la fonction ƒ sur .
  3. Déterminer les extremums de la fonction ƒ.
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Correction des exercices
Exercice 1

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x2+x+1/x2+1

  1. Montrons que pour tout x de , on a : 1/2 ≤ ƒ(x) ≤ 3/2.

Soit x .

1/2 ≤ ƒ(x) ≤ 3/2 ⇔ 1/2 ≤ ƒ(x) et ƒ(x) ≤ 3/2

donc, il suffit de montrer que ƒ(x) ≤ 3/2 et ƒ(x) ≥ 1/2, on étudie pour cela le signe de leurs différences c’est-à-dire : ƒ(x) − 3/2 et ƒ(x) − 1/2 :

ƒ(x) − 3/2 = x2+x+1/x2+1 − 3/2

= 2(x2 + x + 1)−3(x2 + 1)/2(x2 + 1)

= 2x2−3x2+2x+2−3/2(x2 + 1)

= −x2+2x−1/2(x2 + 1)

= −(x2 − 2x + 1)/2(x2 + 1)

= −(x − 1)2/2(x2 + 1)

Comme 2(x2 + 1) ≻ 0 et − (x + 1)20 pour tout x de , alors : ƒ(x) − 3/2 0. Donc ƒ(x) ≤ 3/2

D’autre part, calculons la différence : ƒ(x) − 1/2

Comme 2(x2 + 1) ≻ 0 et (x + 1)20 pour tout x de , alors : ƒ(x) − 1/20. Donc ƒ(x) ≥ 1/2.

Donc, puisque ƒ(x) ≤ 3/2 et ƒ(x) ≥ 1/2 alors on conclut que pour tout x , on a

1/2 ≤ ƒ(x) ≤ 3/2

2. Soient x et y deux éléments distincts de , calculons : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y

3. La monotonie sur les intervalles : [−1, 1] , [1, +∞[ et ]−∞, −1].

  • Soient x ∈ [−1, 1] et y ∈ [−1, 1] tels que : x ≠ y.

On a − 1x1 et − 1y 1, donc ∣x∣ ≤ 1 et ∣y∣ ≤ 1, alors : ∣xy∣ ≤ 1.

Ce qui signifie que : −1xy1, ensuite : −1 −xy 1 donc : 0 1 − xy 2.

D’où : 1 − xy0.

D’autre part, on a (x2 + 1)(y2 + 1) ≻ 0.

Donc :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y0

Ce qui signifie que la fonction ƒ est croissante sur [−1, 1].

  • Soient x ∈ [1, +∞[ et y ∈ [1, +∞[ tels que : x ≠ y.

On a x1 et y1 donc : xy1, et comme x ≠ y alors xy1 c’est-à-dire −xy−1. Ce qui signifie que : 1 − xy0.

D’autre part, on a (x2 + 1)(y2 + 1) ≻ 0.

Donc :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y0

Ce qui signifie que la fonction ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[.

  • Soient x ∈ ]−∞, −1] et y ∈ ]−∞, −1] tels que : x ≠ y.

On a x− 1 et y − 1 donc : xy1, et comme x ≠ y alors −xy −1. Ce qui signifie que : 1 − xy0.

D’autre part, on a (x2 + 1)(y2 + 1) ≻ 0.

Donc :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y 0

Ce qui signifie que la fonction ƒ est strictement décroissante sur ]−∞, −1].

4. Tableau de variations de la fonction ƒ sur .

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = xx/x2+4

  1. Cherchons Dƒ :

Dƒ =  { x/ x2 + 4 ≠ 0 }

=

2. La parité de la fonction ƒ :

  • Pour tout xDƒ, on a −x Dƒ.
  • Soit xDƒ. Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = −x−x∣/(−x2)+4 = −xx/x2+4 = −ƒ(x)

Donc, la fonction ƒ est impaire.

La courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ), est symétrique par rapport à l’origine du repère.

3. Soient x et y deux éléments distincts de + , calculons : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y

On a x0 et y0, donc x + y 0, et comme x ≠ y alors x + y0, de plus : 4(x + y) ≻ 0.

D’autre part, on a (x2 + 4)(y2 + 4) ≻ 0. Ce qui signifie que :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y0

Donc, la fonction ƒ est strictement croissante sur +, et puisque elle est impaire alors la fonction ƒ est strictement croissante sur −.

4. Tableau de variations de la fonction ƒ.

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x/x2+1

  1. Cherchons Dƒ :

Dƒ = { x/ x2 + 1 ≠ 0 }

=

2. La parité de la fonction ƒ :

  • Pour tout x Dƒ, on a −xDƒ.
  • Soit xDƒ. Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = −x/(−x)2+1 = −(x/x2+1) = −ƒ(x)

Donc, la fonction ƒ est impaire.

3. Soient x et y deux éléments distincts de , calculons : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y

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Série d’exercices N°1 sur les fonctions numériques

Exercice 1

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction ƒ dans chacun des cas.

ƒ(x) = √x−4/x−1 , ƒ(x) = x2−x+3/x2+x+3 , ƒ(x) = √6x2−x−1 , ƒ(x) = √x+5/√x+3

ƒ(x) = √x2−1/2x−1 , ƒ(x) = cosx/1+√x2+1 et { ƒ(x) = 2x−1/x+2 , si x 0 et ƒ(x) = 3/x2−1 , si x > 0

Exercice 2

Étudier la parité de la fonction ƒ dans les cas suivants :

ƒ(x) = ∣x − 5∣ + ∣x + 5∣ , ƒ(x) = tanx/∣x+4 , ƒ(x) = √x2−x − √x2+x et ƒ(x) = x2+∣x∣/x

Exercice 3

On considère la fonction numérique ƒ définie par : { ƒ(x) = 2x − 3 , si x ∈ ]−∞, −2[ et ƒ(x) = x3 − 2x , si x ∈ [−2, 2] et ƒ(x) = 2x + 3 , si x ∈ ]2, +∞[

  1. Déterminer Dƒ.
  2. Montrer que la fonction ƒ est impaire.
Exercice 4

On considère le tableau de variations de la fonction ƒ définie ci-dessous.

  1. Déterminer Dƒ l’ensemble de définition de ƒ.
  2. Déterminer l’image de 1 et l’antécédente de 1 par ƒ.
  3. Déterminer les extremums de ƒ sur Dƒ.
  4. Déterminer ƒ([−3, −1]) et ƒ([−1, 3]).
  5. Déterminer le signe de ƒ sur Dƒ.
Exercice 5

ƒ est une fonction définie sur par : ƒ(x) = x/x2+4.

(Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j ).

  1. Montrer que ƒ est impaire.
  2. a) Soit a et b deux éléments distincts de Dƒ; Montrer que : ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = −ab+4/(a2+4)(b2+4).

b) Déterminer la monotonie de la fonction ƒ sur [0, 2] et [2, +∞[.

c) En déduire la monotonie de ƒ sur ]−∞, −2] et [−2, 0].

3. Dresser le tableau de variations de ƒ sur .

4. Déterminer les extremums de ƒ.

Exercice 6

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = xx/x2+4.

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

  1. Déterminer Dƒ.
  2. Étudier la parité de la fonction ƒ, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  3. Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur +, puis déduire la monotonie de la fonction ƒ sur .
  4. Déduire le tableau de variations de la fonction ƒ sur .
Exercice 7

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur par : ƒ(x) = x/x2+1.

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

  1. Étudier la parité de la fonction ƒ.
  2. a) Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur les intervalles [1, +∞[ et [0, 1].

b) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a : 0 ≤ ƒ(x) ≤ 1/2.

c) Déduire le tableau de variations de la fonction ƒ sur .

3. Déterminer les extremums de la fonction ƒ.

Exercice 8

Soit ƒ une fonction définie sur I = [−4, 5] dont la courbe est la suivante :

  1. Dresser le tableau de variations de ƒ sur I.
  2. Déterminer les extremums de la fonction ƒ puis le nombre de solutions de l’équation ƒ(x) = 1.
  3. Déterminer graphiquement : ƒ([−2, 0]) et ƒ([−3, 4]).
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Série d’exercices N°2 sur les fonctions numériques

Exercice 1

On considère la fonction numérique h définie sur par :

h(x) = { −x + 3 ; x1 et 4x2 − 2 ; − 1 x1 et x + 3 ; x −1

et (Ch) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

  1. Montrer que la fonction h est paire.
    1. Calculer h(0) , h(1) , h(2) , h(−1) et h(−2).
    2. Construire la courbe (Ch).
    3. Déterminer graphiquement suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation : h(x) = m.
Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/4x2 + 2x

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

    1. Donner le tableau de variations de la fonction ƒ.
    2. Déterminer les points d’intersection de la courbe (Cƒ) avec les axes du repère.
    3. Tracer la courbe (Cƒ).
    4. Déduire graphiquement l’image de l’intervalle [4, −2] par la fonction ƒ.
    5. Résoudre graphiquement l’équation : ƒ(x) = 0.
    6. Résoudre graphiquement l’inéquation : ƒ(x) ≥ 0.

2. On considère la fonction h définie sur par :

h(x) = ƒ(∣x∣)

a) Étudier la parité de la fonction h.

b) Vérifier que pour tout x+ : h(x) = ƒ(x), puis déduire le tableau de variations de la fonction h.

c) Tracer la courbe (Ch) dans le même repère ( O , i , j ).

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 2x−3/x−2

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

  1. Déterminer Dƒ.
    1. Dresser le tableau de variations de ƒ.
    2. Tracer la courbe (Cƒ).
    3. Déterminer graphiquement : ƒ(]2, 3]) .
  2. On considère la fonction h définie sur par :

h(x) = ƒ(∣x∣)

a) Déterminer Dh.

b) Tracer dans le même repère et avec une couleur différente la courbe représentative de la fonction h.

Exercice 4

On considère les fonctions numériques ƒ et g définies par :

ƒ(x) = x2 + 2x et h(x) = −x/x+1

et (Cƒ) et (Ch) les courbes représentatives respectives de ƒ et g dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

    1. Donner le tableau de variations de la fonction ƒ.
    2. Quelle est la nature de la courbe (Cƒ).
    3. Calculer ƒ(−1), ƒ(0) et ƒ(1) puis construire la courbe (Cƒ).
    4. Déterminer graphiquement le nombres de solutions de l’équation : ƒ(x) = m, avec m un paramètre réel.
    1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h (Dh), puis calculer h(−1/2), h(0) et h(1).
    2. Donner le tableau de variations de la fonction h.
    3. Donner la nature de la courbe (Ch) puis construire (Ch) en utilisant une couleur différente de celle utilisée pour (Cƒ).
  1. Vérifier que ƒ(0) = g(0) puis résoudre graphiquement l’inéquation :

(I) : (x + 1)21/x+1

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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