Les fonctions numériques tronc commun exercices corrigés

Les fonctions numériques tronc commun exercices corrigés.(tronc commun scientifique/seconde)

Exercice 1 (Les fonctions numériques tronc commun exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x²+x+1/x²+1

1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ, on a :

1/2 ≤ ƒ(x) ≤ 3/2

2. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ. Montrer que :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = 1−xy/(x²+1)(y²+1)

3. Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur chacun des intervalles suivants : ]−∞, −1] , [−1, 1] et [1, +∞[.

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x∣x∣/x²+4

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Déterminer Dƒ.
2. Étudier la parité de la fonction ƒ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3. Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur ℝ⁺, déduire la monotonie de la fonction ƒ sur ℝ⁻.
4. Déduire le tableau de variations de la fonction ƒ sur ℝ.

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x/x²+1

1. Montrer que : D_ƒ = ℝ. (D_ƒ est l’ensemble de définition de la fonction ƒ).
2. Étudier la parité de la fonction ƒ.
3. 1. Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur les intervalles [1, +∞[ et [0, 1].
   2. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] on a : 0 ≤ ƒ(x) ≤ 1/2
   3. Déduire le tableau de variations de la fonction ƒ sur ℝ.
4. Déterminer les extremums de la fonction ƒ.

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Correction des exercices

Exercice 1

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x²+x+1/x²+1

1. Montrons que pour tout x de ℝ, on a : 1/2 ≤ ƒ(x) ≤ 3/2.

Soit x ∈ ℝ.

1/2 ≤ ƒ(x) ≤ 3/2 ⇔ 1/2 ≤ ƒ(x) et ƒ(x) ≤ 3/2

donc, il suffit de montrer que ƒ(x) ≤ 3/2 et ƒ(x) ≥ 1/2, on étudie pour cela le signe de leurs différences c’est-à-dire : ƒ(x) − 3/2 et ƒ(x) − 1/2 :

ƒ(x) − 3/2 = x²+x+1/x²+1 − 3/2

= 2(x² + x + 1)−3(x² + 1)/2(x² + 1)

= 2x²−3x²+2x+2−3/2(x² + 1)

= −x²+2x−1/2(x² + 1)

= −(x² − 2x + 1)/2(x² + 1)

= −(x − 1)²/2(x² + 1)

Comme 2(x² + 1) ≻ 0 et − (x + 1)² ≤ 0 pour tout x de ℝ , alors : ƒ(x) − 3/2 ≤ 0. Donc ƒ(x) ≤ 3/2

D’autre part, calculons la différence : ƒ(x) − 1/2

Comme 2(x² + 1) ≻ 0 et (x + 1)² ≥ 0 pour tout x de ℝ, alors : ƒ(x) − 1/2 ≥ 0. Donc ƒ(x) ≥ 1/2.

Donc, puisque ƒ(x) ≤ 3/2 et ƒ(x) ≥ 1/2 alors on conclut que pour tout x ∈ ℝ, on a

1/2 ≤ ƒ(x) ≤ 3/2

2. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ, calculons : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y

3. La monotonie sur les intervalles : [−1, 1] , [1, +∞[ et ]−∞, −1].

• Soient x ∈ [−1, 1] et y ∈ [−1, 1] tels que : x ≠ y.

On a − 1 ≤ x ≤ 1 et − 1 ≤ y ≤ 1, donc ∣x∣ ≤ 1 et ∣y∣ ≤ 1, alors : ∣xy∣ ≤ 1.

Ce qui signifie que : −1 ≤ xy ≤ 1, ensuite : −1 ≤ −xy ≤ 1 donc : 0 ≤ 1 − xy ≤ 2.

D’où : 1 − xy ≥ 0.

D’autre part, on a (x² + 1)(y² + 1) ≻ 0.

Donc :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≥ 0

Ce qui signifie que la fonction ƒ est croissante sur [−1, 1].

• Soient x ∈ [1, +∞[ et y ∈ [1, +∞[ tels que : x ≠ y.

On a x ≥ 1 et y ≥ 1 donc : xy ≥ 1, et comme x ≠ y alors xy ≻ 1 c’est-à-dire −xy ≺ −1. Ce qui signifie que : 1 − xy ≺ 0.

D’autre part, on a (x² + 1)(y² + 1) ≻ 0.

Donc :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≺ 0

Ce qui signifie que la fonction ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[.

• Soient x ∈ ]−∞, −1] et y ∈ ]−∞, −1] tels que : x ≠ y.

On a x ≤ − 1 et y ≤ − 1 donc : xy ≻ 1, et comme x ≠ y alors −xy ≺ −1. Ce qui signifie que : 1 − xy ≺ 0.

D’autre part, on a (x² + 1)(y² + 1) ≻ 0.

Donc :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≺ 0

Ce qui signifie que la fonction ƒ est strictement décroissante sur ]−∞, −1].

4. Tableau de variations de la fonction ƒ sur ℝ.

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x∣x∣/x²+4

1. Cherchons D_ƒ :

D_ƒ =  { x ∈ ℝ/ x² + 4 ≠ 0 }

= ℝ

2. La parité de la fonction ƒ :

• Pour tout x ∈ D_ƒ, on a −x ∈ D_ƒ.
• Soit x ∈ D_ƒ. Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = −x∣−x∣/(−x²)+4 = −x∣x∣/x²+4 = −ƒ(x)

Donc, la fonction ƒ est impaire.

La courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ), est symétrique par rapport à l’origine du repère.

3. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ⁺ , calculons : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y

On a x ≥ 0 et y ≥ 0, donc x + y ≥ 0, et comme x ≠ y alors x + y ≻ 0, de plus : 4(x + y) ≻ 0.

D’autre part, on a (x² + 4)(y² + 4) ≻ 0. Ce qui signifie que :

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≻ 0

Donc, la fonction ƒ est strictement croissante sur ℝ⁺, et puisque elle est impaire alors la fonction ƒ est strictement croissante sur ℝ−.

4. Tableau de variations de la fonction ƒ.

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ(x) = x/x²+1

1. Cherchons D_ƒ :

D_ƒ = { x ∈ ℝ/ x² + 1 ≠ 0 }

= ℝ

2. La parité de la fonction ƒ :

• Pour tout x ∈ D_ƒ, on a −x ∈ D_ƒ.
• Soit x ∈ D_ƒ. Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = −x/(−x)²+1 = −(x/x²+1) = −ƒ(x)

Donc, la fonction ƒ est impaire.

3. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ, calculons : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y

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Série d’exercices N°1 sur les fonctions numériques (Les fonctions numériques tronc commun exercices corrigés)

Exercice 1

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction ƒ dans chacun des cas.

ƒ(x) = √x−4/x−1 , ƒ(x) = x²−x+3/x²+x+3 , ƒ(x) = √6x²−x−1 , ƒ(x) = √x+5/√x+3

ƒ(x) = √x²−1/2x−1 , ƒ(x) = cosx/1+√x²+1 et { ƒ(x) = 2x−1/x+2 , si x ≤ 0 et ƒ(x) = 3/x²−1 , si x > 0

Exercice 2

Étudier la parité de la fonction ƒ dans les cas suivants :

ƒ(x) = ∣x − 5∣ + ∣x + 5∣ , ƒ(x) = tanx/∣x∣+4 , ƒ(x) = √x²−x − √x²+x et ƒ(x) = x²+∣x∣/x

Exercice 3

On considère la fonction numérique ƒ définie par : { ƒ(x) = 2x − 3 , si x ∈ ]−∞, −2[ et ƒ(x) = x³ − 2x , si x ∈ [−2, 2] et ƒ(x) = 2x + 3 , si x ∈ ]2, +∞[

1. Déterminer D_ƒ.
2. Montrer que la fonction ƒ est impaire.

Exercice 4

On considère le tableau de variations de la fonction ƒ définie ci-dessous.

1. Déterminer D_ƒ l’ensemble de définition de ƒ.
2. Déterminer l’image de 1 et l’antécédente de 1 par ƒ.
3. Déterminer les extremums de ƒ sur D_ƒ.
4. Déterminer ƒ([−3, −1]) et ƒ([−1, 3]).
5. Déterminer le signe de ƒ sur D_ƒ.

Exercice 5

ƒ est une fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = x/x²+4.

(C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j ).

1. Montrer que ƒ est impaire.
2. a) Soit a et b deux éléments distincts de D_ƒ; Montrer que : ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = −ab+4/(a²+4)(b²+4).

b) Déterminer la monotonie de la fonction ƒ sur [0, 2] et [2, +∞[.

c) En déduire la monotonie de ƒ sur ]−∞, −2] et [−2, 0].

3. Dresser le tableau de variations de ƒ sur ℝ.

4. Déterminer les extremums de ƒ.

Exercice 6

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x∣x∣/x²+4.

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Déterminer D_ƒ.
2. Étudier la parité de la fonction ƒ, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3. Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur ℝ⁺, puis déduire la monotonie de la fonction ƒ sur ℝ⁻.
4. Déduire le tableau de variations de la fonction ƒ sur ℝ.

Exercice 7

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ℝ par : ƒ(x) = x/x²+1.

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Étudier la parité de la fonction ƒ.
2. a) Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur les intervalles [1, +∞[ et [0, 1].

b) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a : 0 ≤ ƒ(x) ≤ 1/2.

c) Déduire le tableau de variations de la fonction ƒ sur ℝ.

3. Déterminer les extremums de la fonction ƒ.

Exercice 8 (Les fonctions numériques tronc commun exercices corrigés)

Soit ƒ une fonction définie sur I = [−4, 5] dont la courbe est la suivante :

1. Dresser le tableau de variations de ƒ sur I.
2. Déterminer les extremums de la fonction ƒ puis le nombre de solutions de l’équation ƒ(x) = 1.
3. Déterminer graphiquement : ƒ([−2, 0]) et ƒ([−3, 4]).

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Série d’exercices N°2 sur les fonctions numériques

Exercice 1

On considère la fonction numérique h définie sur ℝ par :

h(x) = { −x + 3 ; x ≥ 1 et 4x² − 2 ; − 1 ≤ x ≤ 1 et x + 3 ; x ≤ −1

et (C_h) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Montrer que la fonction h est paire.
2. 1. Calculer h(0) , h(1) , h(2) , h(−1) et h(−2).
   2. Construire la courbe (C_h).
   3. Déterminer graphiquement suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation : h(x) = m.

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/4x² + 2x

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. 1. Donner le tableau de variations de la fonction ƒ.
   2. Déterminer les points d’intersection de la courbe (C_ƒ) avec les axes du repère.
   3. Tracer la courbe (C_ƒ).
   4. Déduire graphiquement l’image de l’intervalle [−4, −2] par la fonction ƒ.
   5. Résoudre graphiquement l’équation : ƒ(x) = 0.
   6. Résoudre graphiquement l’inéquation : ƒ(x) ≥ 0.

2. On considère la fonction h définie sur ℝ par :

h(x) = ƒ(∣x∣)

a) Étudier la parité de la fonction h.

b) Vérifier que pour tout x ∈ ℝ⁺ : h(x) = ƒ(x), puis déduire le tableau de variations de la fonction h.

c) Tracer la courbe (C_h) dans le même repère ( O , i , j ).

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 2x−3/x−2

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Déterminer D_ƒ.
2. 1. Dresser le tableau de variations de ƒ.
   2. Tracer la courbe (C_ƒ).
   3. Déterminer graphiquement : ƒ(]2, 3]) .
3. On considère la fonction h définie sur ℝ par :

h(x) = ƒ(∣x∣)

a) Déterminer D_h.

b) Tracer dans le même repère et avec une couleur différente la courbe représentative de la fonction h.

Exercice 4

On considère les fonctions numériques ƒ et g définies par :

ƒ(x) = x² + 2x et h(x) = −x/x+1

et (C_ƒ) et (C_h) les courbes représentatives respectives de ƒ et g dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. 1. Donner le tableau de variations de la fonction ƒ.
   2. Quelle est la nature de la courbe (C_ƒ).
   3. Calculer ƒ(−1), ƒ(0) et ƒ(1) puis construire la courbe (C_ƒ).
   4. Déterminer graphiquement le nombres de solutions de l’équation : ƒ(x) = m, avec m un paramètre réel.
2. 1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h (D_h), puis calculer h(−1/2), h(0) et h(1).
   2. Donner le tableau de variations de la fonction h.
   3. Donner la nature de la courbe (C_h) puis construire (C_h) en utilisant une couleur différente de celle utilisée pour (C_ƒ).
3. Vérifier que ƒ(0) = g(0) puis résoudre graphiquement l’inéquation :

(I) : (x + 1)² ≥ 1/x+1

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Vous pouvez aussi consulter :

• Les fonctions numériques cours tronc commun
• Devoir surveillé les fonctions et le calcul trigonométrique