Les ensembles de nombres exercices corrigés

Les ensembles de nombres exercices corrigés. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (les ensembles de nombres exercices corrigés)

Calculer :

A = (3 − 1/5 − 4/3)(15/3) + (6 − 2/15)(4 − 7/5 + 2/3) et B = 2+1/4/3−1/4 × 1+2/5/4/5−2 × 2/3−1/6/2−1/6

Exercice 2

1. Vérifier que : (√3 − 1)² = 4(1 − √3/2) et (√3 + 1)² = 4(1 + √3/2).
2. Déduire que : A + B = 3 tel que : A = 1 + √1+√3/2 et B = 1 − √1−√3/2.
3. Montrer que : (A − 1)(B − 1) = −1/2, puis déduire la valeur de AB.

Exercice 3

Simplifier les expressions suivantes :

A = 7×(0, 01)³×0,6²/12²×100²×25⁻¹ et B = 0, 0001²×(−0, 02)³/(1000⁻¹)⁴×(800²)³

Exercice 4

Soit un réel non nul. On pose A = a + 1/a.

Calculer en fonction de A les expressions suivantes : a² + 1/a² et a³ + 1/a³

Exercice 5

Soit a un réel tels que : a ≠ − 1 et a ≠ 1.

Simplifier l’expression suivante :

A = 1/1−a − 1/1+a − 2a/1+a² − 4a³/1+a⁴ − 8a⁷/1+a⁸

Exercice 6

Factoriser les expressions suivantes :

A = x¹² − 2x⁶ + 1 , B = 16x² − 8x + 1 et C = x⁵ + x³ − x² − 1

Exercice 7 (Les ensembles de nombres exercices corrigés)

1. Écrire le nombre √7+√3/√7−√3 sous la forme d’une écriture fractionnaire avec dénominateur rationnel.
2. Déduire une simplification pour le nombre :

√√112+√48/√7−√3

Exercice 8

Soient a et b deux réels tels que : 0 < b ≤ a.

On pose :

A = √a+√a²−b² + √a−√a²−b²

1. Calculer A².
2. Déduire une écriture simplifiée pour A.
3. Calculer le nombre : √5+√21 + √5−√21.

Exercice 9

On considère l’expression suivante :

A = x³y−xy³/x+y

1. Calculer la valeur de A pour x = 3√7 et y = 4√5.
2. Donner une écriture simplifiée pour A.

Exercice 10

On rappelle que : √2, √3 et √6 sont irrationnels.

Montrer que :

1. √2 + √3 ∉ ℚ.
2. √2 + √3 + √6 ∉ ℚ.

Exercice 11

1. Soient a, b, c et d des nombres réels quelconques.

Montrer que :

(a² + b²).(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

2. Montrer que :

√x−1 + √y−1 ≤ √xy, pour tout x ≥ 1 et pour tout y ≥ 1.

Exercice 12 (L’inégalité de Cauchy-Schwartz).

Soit a, b, c, x, y, et z des nombres réels quelconques.

Montrer que :

(a² + b² + c²).(x² + y² + z²) ≥ (ax + by + cz)²

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Correction de la série d’exercices sur les ensembles de nombres

Exercice 1

Calculons A et B.

∎

A = (3 − 1/5 − 4/3)(15/3) + (6 − 2/15)(4 − 7/5 + 2/3)

= (3×15/1×15 − 1×3/5×3 − 4×5/3×5)(15/3) + (6×15/15 − 2/15)(4×15/15 − 7×3/5×3 + 2×5/3×5)

= (45/15 − 3/15 −20/15)(15/3) + (90/15 − 2/15)(60/15 − 21/15 + 10/15)

= 22/15 × 15/3 + 88/15 × 49/15

= 22/3 + 4312/225

= 22×75/225 + 4312/225

= 5962/225

∎

B = 2+1/4/3−1/4 × 1+2/5/4/5−2 × 2/3−1/6/2−1/6

= 9/4/11/4 × 7/5/−6/5 × 3/6/11/6

= 9/4 × 4/11 × 7/5 × 5/−6 × 3/6 × 6/11

= 9×7×3/11×(−6)×11

= 9×7/−242 = −63/242

Exercice 2

Vérifions que : (√3 − 1)² = 4(1 − √3/2) et (√3 + 1)² = 4(1 + √3/2).

∎

(√3 − 1)² = 3 − 2√3 + 1

= 4 − 2√3

= 4(1 − 2√3/4)

= 4(1 − √3/2)

∎

(√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1

= 4 + 2√3

= 4(1 + 2√3/4)

= 4(1 + √3/2)

2. On déduit que : A + B = 3.

On a : A = 1 + √1+√3/2 et B = 1 − √1−√3/2. D’autre part, on sait que

(√3 − 1)² = 4(1 − √3/2) et (√3 + 1)² = 4(1 + √3/2)

alors

1 + √3/2 = (√3 + 1)²/4 et 1 − √3/2 = (√3 − 1)²/4

donc

A + B = 1 + √1+√3/2 + 1 − √1−√3/2

= 2 + √(√3 + 1)²/4 − √(√3 − 1)²/4

= 2 + (√3 + 1)/2 − (√3 − 1)/2

= 2 + (√3 + 1)−(√3−1)/2

= 2 + 2/2

= 3

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Devoir maison sur les ensembles de nombres (Les ensembles de nombres exercices corrigés)

Exercice 1 (Les deux questions sont indépendantes)

1. On pose : A = √7−√33 − √7+√33.

Calculer A², puis en déduire une écriture simplifiée de A.

2. On considère le nombre réel : A = √2 − √3.

Montrer que A est solution de l’équation : x⁴ − 10x² + 1 = 0.

Exercice 2

a et b deux réels non nuls. Simplifier l’expression suivante :

a⁻²b(a²b⁻¹)⁴a⁻³b²/ab⁻²(a⁻¹b²)³(a²b³)

Exercice 3

Soient a , b et c des nombres réels non nuls tels que : 1/a + 1/b + 1/c = 0.

Montrer que : (a + b + c)² = a² + b² + c².

Exercice 4

1. Développer le produit :

(a − 1)(1 + a + a² + a³ + a⁴ + a⁵) où a ∈ ℝ*.

2. En déduire la valeur de la somme :

S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243

Exercice 5 (Les deux questions sont indépendantes)

1. Montrer que :

√x−1 + √y−1 ≤ √xy pour tous x,y ∈ [1, +∞[

2. Soient a, b, c, x, y, et z des nombres réels quelconques.

Montrer que :

(a² + b² + c²)(x² + y² + z²) ≥ (ax + by + cz)².

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Correction du devoir surveillé (Les ensembles de nombres exercices corrigés)

Exercice 4

1. On développe : (a − 1)(1 + a + a² + a³ + a⁴ + a⁵)

Soit a ∈ ℝ*.

(a − 1)(1 + a + a² + a³ + a⁴ + a⁵) = a + a² + a³ + a⁴ + a⁵ + a⁶ − 1 − a − a² − a³ − a⁴ − a⁵

= a⁶ − 1

2. On déduit la valeur de la somme S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243.

On a pour tout a ∈ ℝ* :

(a − 1)(1 + a + a² + a³ + a⁴ + a⁵) = a⁶ − 1

pour a = 1/3, on obtient

(1/3 − 1)(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243) = 1/729 − 1

Eq : (1/3 − 3/3)(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243)_=S = −728/729

Eq : −2/3 × S = −728/729

Eq : S = −728/729/−2/3

Eq : S = −728/729 × 3/−2

Eq : S = 364/243

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Devoir surveillé sur l’arithmétique dans N et les ensembles (Les ensembles de nombres exercices corrigés)

Exercice 1 (6 pts)

1. Donner un exemple d’un nombre premier. Est-ce que le nombre 409 est premier ?
2. Décomposer en produit des facteurs premiers les nombres : 50400 et 12600.
3. Déterminer : PGCD (50400, 12600) et PPCM (50400, 12600) .
4. Simplifier : √50400 , √12600 et 50400/12600 .
5. Déduire que √50400×12600 ∈ ℕ.

Exercice 2 (6 pts)

1. Soit n ∈ ℕ.
   1. Montrer que le nombre n² + n + 4 est pair.
   2. En déduire que si m est un entier impair alors 8 divise m² + 15.
2. Soit n ∈ ℕ, on pose a = 5ⁿ⁺² − 5ⁿ et b = 4500.
   1. Montrer que 6 divise a.
   2. Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
   3. Déterminer PGCD (a, b) et PPCM (a, b) suivant la valeur de n.

Exercice 3 (8 pts)

1. Recopier et Compléter par : ∈, ∉ . −4…ℕ , 91…ℤ , 1/√2…ℚ , √2…ℝ
2. Simplifier : A = 2+1/4/3−1/4 × 1+2/5/4/5−2 × 2/3−1/6/2−1/6 et B = 7×(0,01)³×(0,6)²/12²×100²×25⁻¹ .
3. Soit x un nombre réel tel que : x = 2 + √5. Vérifier que : x + 1/x = 2√5.
4. Soit a et b deux réels tels que : 0 < b ≤ a et A = √a+√a²−b² + √a−√a²−b².
   1. Calculer A².
   2. Déduire la valeur de A.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

1. Le nombre 2 est premier. Vérifions que : 409 est premier.

∎ Calculons √409. On a √409 ∼ 20,22.

∎ Les nombres premiers inférieurs à 409 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

∎ aucune de ces nombres ne divise 409.

Donc 409 est premier.

2. On décompose 50400 et 12600.

On a : 50400 = 2⁵ × 3² × 5² × 7 et 12600 = 2³ × 3² × 5² × 7

3. On cherche PGCD (50400, 12600) et PPCM (50400, 12600)

PGCD (50400, 12600) = 2³ × 3² × 5² × 7 = 12600 et PPCM (50400, 12600) = 2⁵ × 3² × 5² × 7 = 50400

4. Simplifions : √12600 , √50400 et 50400/12600

∎

√50400 = √2⁵×3²×5²×7

= √2×2⁴×3²×5²×7

= √(2²)²×3²×5²×2×7

= √(2²)²×3²×5² × √2×7

= 4 × 3 × 5 × √14

= 60√14

∎

√12600 = √2³×3²×5²×7

= √2²×3²×5²×2×7

= √2²×3²×5² × √2×7

= 2 × 3 × 5 × √14

= 30√14

∎

50400/12600 = 2⁵×3²×5²×7/2³×3²×5²×7

= 2²/1

= 4

5. Montrons que : √12600×50400 ∈ ℕ.

√12600×50400 = √12600 × √50400

= 30√14 × 60√14

= 30 × 60 × 14

= 25200 ∈ ℕ

Donc

√12600×50400 ∈ ℕ

Exercice 2

1. Soit n ∈ ℕ.

a) Montrons que n² + n + 4 est pair.

∎ Si n est pair alors il existe k ∈ ℕ tel que n = 2k.

donc

n² + n + 4 = 4k² + 2k + 4 = 2(2k² + 2k + 2_∈ℕ )

d’où n² + n + 4 est pair.

∎ Si n est impair alors il existe k ∈ ℕ tel que n = 2k + 1.

donc

n² + n + 4 = (2k + 1)² + 2k + 1 + 4

= 4k² + 4k + 1 + 2k + 1 + 4

= 4k² + 6k + 6

= 2(2k² + 3k + 3_∈ℕ)

d’où n² + n + 4 est pair.

Dans tous les cas on en déduit que n² + n + 4 est pair.

b) On suppose que m est impair et on montre que m² + 15 est divisible par 8.

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Les ensembles de nombres cours tronc commun

Les ensembles de nombres tronc commun. Cours complet et bien détaillé sur les ensembles de nombres (1ère année lycée/ tronc commun scientifique/ seconde)

Les ensembles ℕ, ℤ, ID, ℚ et ℝ

Les nombres entiers naturels : ℕ

Définition 1

Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L’ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ.

ℕ = {0, 1, 2, 3, …}

Exemple 2

• 4 ∈ ℕ
• −2 ∉ ℕ

Les nombres entiers relatifs : ℤ

Définition 3

Un nombre entiers relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ.

ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Exemple 4

• −2 ∈ ℤ
• 5 ∈ ℤ
• −0,334 ∉ ℤ

Remarque 5

Tous les nombres relatifs des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs ℤ. On dit que l’ensemble ℕ est inclus dans l’ensemble ℤ. On note ℕ ⊂ ℤ.

Les nombres décimaux : ID

Définition 6

Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté ID.

ID = {a/10ⁿ⁄ a ∈ ℤ et n ∈ ℕ}

Exemple 7

• 0,56 ∈ ID
• 3 ∈ ID
• 1/3 ∉ ID
• 3/4 ∈ ID

Remarque 8

Tous les nombres de l’ensemble des entiers relatifs ℤ appartiennent à l’ensemble des nombres décimaux ID. On dit que l’ensemble ℤ est inclus dans l’ensemble ID. On note : ℤ ⊂ ID. On obtient :

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID

Les nombres rationnels : ℚ

Définition 9

Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’un quotient a/b avec a un entiers et b un entier non nul. L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ.

ℚ = {a/b ⁄ a ∈ ℤ et b ∈ ℕ*} 

Exemple 10

• 1/3 ∈ ℚ
• 4 ∈ ℚ
• −4,8 ∈ ℚ
• √2 ∈ ℚ

Remarque 11

Tous les nombres de l’ensembles des nombres décimaux ID appartiennent à l’ensembles des nombres rationnels ℚ. On dit que l’ensemble ID est inclus dans l’ensemble ℚ. On note : ID ⊂ ℚ. On obtient :

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID ⊂ ℚ

Les nombres réels : ℝ

Définition 12

Un nombre est irrationnel lorsqu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.

Exemple 13

• √2, √3 et √17… irrationnels.
• π est un nombre irrationnel.

Définition 14

Un nombre réel est un nombre qui est soit rationnel soit irrationnel. ℝ est l’ensemble des nombres réels.

Exemple 15

2; 0; −5; 0; 67; 1/3; √3; et π appartiennent à ℝ.

Remarque 16

L’ensemble ℚ est inclus dans l’ensemble ℝ. On note : ℚ ⊂ ℝ. On obtient :

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Ensemble vide

Définition 17

Un ensemble qui ne contient pas de nombre s’appelle l’ensemble vide et se note ∅.

Exercice d’application 18

On considère les nombres suivants :

225/5 ; √20²/10² ; −√25 ; 4/3 ; 3√2/√8 ; √2 ; 7/2³ ×5 ; 2,859 ;

Recopier et compléter le tableau suivant :

Les opérations dans l’ensemble ℝ

La multiplication dans ℝ

a, b et c des réels.

1. a × b = b × a = ab = ba
2. a(bc) = (ab)c = (ac)b = abc
3. a × 1/a = 1/a × a = a/a = 1; (a ≠ 0)
4. 1 × a = a × 1 = a

Les opérations sur les fractions

a, b, c et d des réels tels que : bd = 0.

1. a/b + c/b = a+c/b et a/b + c/d = ad+bc/bd
2. a/b − c/d = ad−bc/bd
3. a/b × c/d = ac/bd
4. a/b/c = a/b × 1/c = a/bc; {c ≠ 0 et b ≠ 0}
5. k × a/b = ak/b
6. a/b/c/d = a/b × d/c = ad/bc; {c ≠ 0 et b ≠ 0}
7. a/b/c = a × c/b = ac/b; (b ≠ 0)
8. Si a/b = c/d alors ad = bc; (produit en croix)

Exemple 20

Simplifier A, B et C .

Exemple 21

Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’expression A(x) existe, puis simplifier l’expression :

A(x) = 3/x+1 − 2/x

A(x) existe (A(x) ∈ ℝ) si, et seulement si : x + 1 ≠ 0 et x ≠ 0. C’est-à-dire : x ≠ −1 et x ≠ 0.

Donc, A(x) existe si et seulement si x est diffèrent de −1 et 0.

A(x) = 3/x+1 − 2/x

= 3x−2(x+1)/x(x+1)

= 3x−2x−1/x(x+1)

= x−1/x(x+1)

Les racines carrées

Définition 22

Étant donné un nombre positif a, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est appelé racine carrée de a et noté √a. Autrement dit, si a est positif, √a est l’unique nombre positif tel que (√a)² = a.

Exemple 23

√9 = 3 et (√3)² = 3.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir maison sur l’arithmétique dans N
• Arithmétique dans N tronc commun cours