Les ensembles de nombres exercices corrigés

Les ensembles de nombres exercices corrigés

Les ensembles de nombres exercices corrigés. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (les ensembles de nombres exercices corrigés)

Calculer :

A = (3 − 1/5 − 4/3)(15/3) + (6 − 2/15)(4 − 7/5 + 2/3) et B = 2+1/4/3−1/4 × 1+2/5/4/5−2 × 2/3−1/6/2−1/6

Exercice 2 (les ensembles de nombres exercices corrigés)
  1. Vérifier que : (√3 − 1)2 = 4(1 − √3/2) et (√3 + 1)2 = 4(1 + √3/2).
  2. Déduire que : A + B = 3 tel que : A = 1 + √1+√3/2 et B = 1 − √1−√3/2.
  3. Montrer que : (A − 1)(B − 1) = −1/2, puis déduire la valeur de AB.
Exercice 3

Simplifier les expressions suivantes :

A = 7×(0, 01)3×0,62/122×1002×25−1 et B = 0, 00012×(−0, 02)3/(1000−1)4×(8002)3

Exercice 4

Soit un réel non nul. On pose A = a + 1/a.

Calculer en fonction de A les expressions suivantes : a2 + 1/a2 et a3 + 1/a3

Exercice 5

Soit a un réel tels que : a ≠ − 1 et a ≠ 1.

Simplifier l’expression suivante :

A = 1/1−a − 1/1+a − 2a/1+a2 − 4a3/1+a4 − 8a7/1+a8

Exercice 6

Factoriser les expressions suivantes :

A = x12 − 2x6 + 1 , B = 16x2 − 8x + 1 et C = x5 + x3 − x2 − 1

Exercice 7
  1. Écrire le nombre √7+√3/√7−√3 sous la forme d’une écriture fractionnaire avec dénominateur rationnel.
  2. Déduire une simplification pour le nombre :

√√112+√48/√7−√3

Exercice 8

Soient a et b deux réels tels que : 0 < b a.

On pose :

A = √a+√a2−b2 + √a−√a2−b2

  1. Calculer A2.
  2. Déduire une écriture simplifiée pour A.
  3. Calculer le nombre : √5+√21 + √5−√21.
Exercice 9

On considère l’expression suivante :

A = x3y−xy3/x+y

  1. Calculer la valeur de A pour x = 3√7 et y = 4√5.
  2. Donner une écriture simplifiée pour A.
Exercice 10

On rappelle que : √2, √3 et √6 sont irrationnels.

Montrer que :

  1. √2 + √3.
  2. √2 + √3 + √6 .
Exercice 11
  1. Soient a, b, c et d des nombres réels quelconques.

Montrer que :

(a2 + b2).(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2

2. Montrer que :

√x−1 + √y−1 √xy, pour tout x 1 et pour tout y 1.

Exercice 12 (L’inégalité de Cauchy-Schwartz).

Soit a, b, c, x, y, et z des nombres réels quelconques.

Montrer que :

(a2 + b2 + c2).(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2

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Correction de la série d’exercices sur les ensembles

Exercice 1

Calculons A et B.

A = (3 − 1/5 − 4/3)(15/3) + (6 − 2/15)(4 − 7/5 + 2/3)

= (3×15/1×15 − 1×3/5×3 − 4×5/3×5)(15/3) + (6×15/15 − 2/15)(4×15/15 − 7×3/5×3 + 2×5/3×5)

= (45/15 − 3/15 −20/15)(15/3) + (90/15 − 2/15)(60/15 − 21/15 + 10/15)

= 22/15 × 15/3 + 88/15 × 49/15

= 22/3 + 4312/225

= 22×75/225 + 4312/225

= 5962/225

B = 2+1/4/3−1/4 × 1+2/5/4/5−2 × 2/3−1/6/2−1/6

= 9/4/11/4 × 7/5/−6/5 × 3/6/11/6

= 9/4 × 4/11 × 7/5 × 5/−6 × 3/6 × 6/11

= 9×7×3/11×(−6)×11

= 9×7/−242 = −63/242

Exercice 2

Vérifions que : (√3 − 1)2 = 4(1 − √3/2) et (√3 + 1)2 = 4(1 + √3/2).

(√3 − 1)2 = 3 − 2√3 + 1

= 4 − 2√3

= 4(1 − 2√3/4)

= 4(1 − √3/2)

(√3 + 1)2 = 3 + 2√3 + 1

= 4 + 2√3

= 4(1 + 2√3/4)

= 4(1 + √3/2)

2. On déduit que : A + B = 3.

On a : A = 1 + √1+√3/2 et B = 1 − √1−√3/2. D’autre part, on sait que

(√3 − 1)2 = 4(1 − √3/2) et (√3 + 1)2 = 4(1 + √3/2)

alors

1 + √3/2 = (√3 + 1)2/4 et 1 − √3/2 = (√3 − 1)2/4

donc

A + B = 1 + √1+√3/2 + 1 − √1−√3/2

= 2 + √(√3 + 1)2/4 − √(√3 − 1)2/4

= 2 + (√3 + 1)/2 − (√3 − 1)/2

= 2 + (√3 + 1)−(√3−1)/2

= 2 + 2/2

= 3

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Devoir maison sur les ensembles de nombres

Exercice 1 (Les deux questions sont indépendantes)
  1. On pose : A = √7−√33 − √7+√33.

Calculer A2, puis en déduire une écriture simplifiée de A.

2. On considère le nombre réel : A = √2 − √3.

Montrer que A est solution de l’équation : x4 − 10x2 + 1 = 0.

Exercice 2

a et b deux réels non nuls. Simplifier l’expression suivante :

a−2b(a2b−1)4a−3b2/ab−2(a−1b2)3(a2b3)

Exercice 3

Soient a , b et c des nombres réels non nuls tels que : 1/a + 1/b + 1/c = 0.

Montrer que : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.

Exercice 4
  1. Développer le produit :

(a − 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 + a5) où a *.

2. En déduire la valeur de la somme :

S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243

Exercice 5 (Les deux questions sont indépendantes)
  1. Montrer que :

√x−1 + √y−1√xy pour tous x,y ∈ [1, +∞[

2. Soient a, b, c, x, y, et z des nombres réels quelconques.

Montrer que :

(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 4
  1. On développe : (a − 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 + a5)

Soit a*.

(a − 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 + a5) = a + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 − 1 − a − a2 − a3 − a4 − a5

= a6 − 1

2. On déduit la valeur de la somme S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243.

On a pour tout a* :

(a − 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 + a5) = a6 − 1

pour a = 1/3, on obtient

(1/3 − 1)(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243) = 1/729 − 1

Eq : (1/3 − 3/3)(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243)=S = −728/729

Eq : −2/3 × S = −728/729

Eq : S = −728/729/−2/3

Eq : S = −728/729 × 3/−2

Eq : S = 364/243

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Devoir surveillé sur l’arithmétique dans N et les ensembles

Exercice 1 (6 pts)
  1. Donner un exemple d’un nombre premier. Est-ce que le nombre 409 est premier ?
  2. Décomposer en produit des facteurs premiers les nombres : 50400 et 12600.
  3. Déterminer : PGCD (50400, 12600) et PPCM (50400, 12600) .
  4. Simplifier : √50400 , √12600 et 50400/12600 .
  5. Déduire que √50400×12600.
Exercice 2 (6 pts)
  1. Soit n.
    1. Montrer que le nombre n2 + n + 4 est pair.
    2. En déduire que si m est un entier impair alors 8 divise m2 + 15.
  2. Soit n, on pose a = 5n+2 − 5n et b = 4500.
    1. Montrer que 6 divise a.
    2. Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
    3. Déterminer PGCD (a, b) et PPCM (a, b) suivant la valeur de n.
Exercice 3 (8 pts)
  1. Recopier et Compléter par : ∈, ∉ . −4 , 91 , 1/√2 , √2
  2. Simplifier : A = 2+1/4/3−1/4 × 1+2/5/4/5−2 × 2/3−1/6/2−1/6 et B = 7×(0,01)3×(0,6)2/122×1002×25−1 .
  3. Soit x un nombre réel tel que : x = 2 + √5. Vérifier que : x + 1/x = 2√5.
  4. Soit a et b deux réels tels que : 0 < ba et A = √a+√a2−b2 + √a−√a2−b2.
    1. Calculer A2.
    2. Déduire la valeur de A.
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Correction du devoir surveillé

Exercice 1
  1. Le nombre 2 est premier. Vérifions que : 409 est premier.

∎ Calculons √409. On a √40920,22.

∎ Les nombres premiers inférieurs à 409 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

∎ aucune de ces nombres ne divise 409.

Donc 409 est premier.

2. On décompose 50400 et 12600.

On a : 50400 = 25 × 32 × 52 × 7 et 12600 = 23 × 32 × 52 × 7

3. On cherche PGCD (50400, 12600) et PPCM (50400, 12600)

PGCD (50400, 12600) = 23 × 32 × 52 × 7 = 12600 et PPCM (50400, 12600) = 25 × 32 × 52 × 7 = 50400

4. Simplifions : √12600 , √50400 et 50400/12600

√50400 = √25×32×52×7

= √2×24×32×52×7

= √(22)2×32×52×2×7

= √(22)2×32×52 × √2×7

= 4 × 3 × 5 × √14

= 60√14

√12600 = √23×32×52×7

= √22×32×52×2×7

= √22×32×52 × √2×7

= 2 × 3 × 5 × √14

= 30√14

50400/12600 = 25×32×52×7/23×32×52×7

= 22/1

= 4

5. Montrons que : √12600×50400.

√12600×50400 = √12600 × √50400

= 30√14 × 60√14

= 30 × 60 × 14

= 25200

Donc

√12600×50400

Exercice 2
  1. Soit n.

a) Montrons que n2 + n + 4 est pair.

∎ Si n est pair alors il existe k tel que n = 2k.

donc

n2 + n + 4 = 4k2 + 2k + 4 = 2(2k2 + 2k + 2 )

d’où n2 + n + 4 est pair.

∎ Si n est impair alors il existe k tel que n = 2k + 1.

donc

n2 + n + 4 = (2k + 1)2 + 2k + 1 + 4

= 4k2 + 4k + 1 + 2k + 1 + 4

= 4k2 + 6k + 6

= 2(2k2 + 3k + 3)

d’où n2 + n + 4 est pair.

Dans tous les cas on en déduit que n2 + n + 4 est pair.

b) On suppose que m est impair et on montre que m2 + 15 est divisible par 8.

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Les ensembles de nombres cours tronc commun

Les ensembles de nombres tronc commun. Cours complet et bien détaillé sur les ensembles de nombres (1ère année lycée/ tronc commun scientifique/ seconde)

Les ensembles ℕ, ℤ, ID, ℚ et ℝ

Les nombres entiers naturels : ℕ
Définition 1

Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L’ensemble des nombres entiers naturels est noté .

= {0, 1, 2, 3, …}

Exemple 2
  • 4
  • −2
Les nombres entiers relatifs : ℤ
Définition 3

Un nombre entiers relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté .

= {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Exemple 4
  • −2
  • 5
  • −0,334
Remarque 5

Tous les nombres relatifs des entiers naturels appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs . On dit que l’ensemble est inclus dans l’ensemble . On note .

Les nombres décimaux : ID
Définition 6

Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté ID.

ID = {a/10n⁄ a et n}

Exemple 7
  • 0,56 ∈ ID
  • 3 ∈ ID
  • 1/3 ∉ ID
  • 3/4 ∈ ID
Remarque 8

Tous les nombres de l’ensemble des entiers relatifs appartiennent à l’ensemble des nombres décimaux ID. On dit que l’ensemble est inclus dans l’ensemble ID. On note : ⊂ ID. On obtient :

⊂ ID

Les nombres rationnels : ℚ
Définition 9

Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’un quotient a/b avec a un entiers et b un entier non nul. L’ensemble des nombres rationnels est noté .

= {a/b ⁄ a et b*} 

Exemple 10
  • 1/3
  • 4
  • −4,8
  • √2
Remarque 11

Tous les nombres de l’ensembles des nombres décimaux ID appartiennent à l’ensembles des nombres rationnels . On dit que l’ensemble ID est inclus dans l’ensemble . On note : ID ⊂ . On obtient :

⊂ ID ⊂

Les nombres réels : ℝ
Définition 12

Un nombre est irrationnel lorsqu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.

Exemple 13
  • √2, √3 et √17… irrationnels.
  • π est un nombre irrationnel.
Définition 14

Un nombre réel est un nombre qui est soit rationnel soit irrationnel. est l’ensemble des nombres réels.

Exemple 15

2; 0; −5; 0; 67; 1/3; √3; et π appartiennent à .

Remarque 16

L’ensemble est inclus dans l’ensemble . On note : . On obtient :

⊂ ID ⊂

Ensemble vide
Définition 17

Un ensemble qui ne contient pas de nombre s’appelle l’ensemble vide et se note ∅.

Exercice d’application 18

On considère les nombres suivants :

225/5 ; √202/102 ; −√25 ; 4/3 ; 3√2/√8 ; √2 ; 7/23 ×5 ; 2,859 ;

Recopier et compléter le tableau suivant :

Les opérations dans l’ensemble ℝ

La multiplication dans ℝ

a, b et c des réels.

  1. a × b = b × a = ab = ba
  2. a(bc) = (ab)c = (ac)b = abc
  3. a × 1/a = 1/a × a = a/a = 1; (a ≠ 0)
  4. 1 × a = a × 1 = a
Les opérations sur les fractions

a, b, c et d des réels tels que : bd = 0.

  1. a/b + c/b = a+c/b et a/b + c/d = ad+bc/bd
  2. a/b − c/d = ad−bc/bd
  3. a/b × c/d = ac/bd
  4. a/b/c = a/b × 1/c = a/bc; {c ≠ 0 et b ≠ 0}
  5. k × a/b = ak/b
  6. a/b/c/d = a/b × d/c = ad/bc; {c ≠ 0 et b ≠ 0}
  7. a/b/c = a × c/b = ac/b; (b ≠ 0)
  8. Si a/b = c/d alors ad = bc; (produit en croix)
Exemple 20

Simplifier A, B et C .

Exemple 21

Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’expression A(x) existe, puis simplifier l’expression :

A(x) = 3/x+1 − 2/x

A(x) existe (A(x) ∈ ) si, et seulement si : x + 1 ≠ 0 et x ≠ 0. C’est-à-dire : x ≠ −1 et x ≠ 0.

Donc, A(x) existe si et seulement si x est diffèrent de −1 et 0.

A(x) = 3/x+1 − 2/x

= 3x−2(x+1)/x(x+1)

= 3x−2x−1/x(x+1)

= x−1/x(x+1)

Les racines carrées
Définition 22

Étant donné un nombre positif a, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est appelé racine carrée de a et noté √a. Autrement dit, si a est positif, √a est l’unique nombre positif tel que (√a)2 = a.

Exemple 23

√9 = 3 et (√3)2 = 3.

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Vous pouvez aussi consulter :

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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