Les équations, inéquations et systèmes exercices corrigés pdf. (Tronc commun scientifique)
Exercice 1 (Équations, inéquations et systèmes exercices corrigés pdf)
Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
(E1) : √3(x + 2) = 1 − √2x, (E2) : x−1/x+2 = x−5/x−2,
(E3) : ∣x − 1∣ = ∣x + 3∣, (E4) : ∣−x + 7∣ − 2 = 0,
(E5) : (x − 1)(2 + x)/x2−1 = 0, (E6) : m3x + 1 = 3 + x
(E7) : (x + 2)(2x − 1)/3(x − 2)2 = 0, (E8) : x3 + 27 = 3x(x + 3),
(E9) : 2x−1/x−m = m
Exercice 2
Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :
(I1) : −1/2(1 − 2x) ≤ x + 1/3, (I2) : x/2x+1 < 1/3,
(I3) : (2x − 1)(2 − 1/4x) < 0, (I4) : x3 + 2x2 ≤ −x
(I5) : x+3/3x−5 < 3x−5/x+3, (I6) : (x − 1)2/x ≤ 0
(I7) : m(mx − 1) < x(1 − m)
Exercice 3
Résoudre dans ℝ les deux systèmes suivants :
{ 5(2 − x) ≤ −7x + 6 et 3x + 7 ≤ 4(x + 1/2) , 3x − 2 < 1 − 2x ≤ x + 3
Exercice 4
Écrire sous la forme canonique :
P(x) = x2 − 4x + 5, Q(x) = x2 + 8x + 1, R(x) = x2 − 6x − 7
F(x) = x2 − 7x + 3, A(x) = x2 − x + 5, B(x) = x2 + 5x − 1/2
Exercice 5 (Équations inéquations et systèmes exercices corrigés pdf)
Résoudre dans ℝ les équations :
(E1) : 3 − 2∣x − 4∣ = 2x + 5
(E2) : ∣2x2 − x − 6∣ − ∣x + 1∣ − 1 = 0
(E3) : √3x+4 = x
(E4) : 2x4 − x2 − 6 = 0
(E5) : x2 + ∣x∣ − 2 = 0
(E6) : x − 3√x + 2 = 0
(E7) : 3/x2 − 2/x + 3/25 = 0
Exercice 6 (Équations inéquations et systèmes exercices corrigés pdf)
Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :
(I1) : 2x + 1 − ∣4x − 3∣ < 2x − 4
(I2) : ∣x2 + 3x + 2∣ + ∣x2 − 3x + 2∣ < 12
(I3) : √x−1 ≥ x − 7
(I4) : x2−6x+9/3x2+10x−8 ≤ 0
(I5) : √x2+1 − 2x + 1 ≤ 0
Exercice 7
Résoudre dans ℝ l’équation :
(E) : x2 − 2(1 +m)x + 4 = 0 , (m est un paramètre réel).
Exercice 8
Résoudre dans ℝ2 les deux équations puis représenter l’ensemble des solutions dans un repère orthonormé (O, i , j).
(E1) : 4x + y + 3 = 0
(E2) : 2x − 7y + 3 = −x − 4y + 6
Exercice 9
Résoudre dans ℝ2 les systèmes suivants.
(S1) : { 2x + y = 4 et 5x − 2y = 1 , (S2) : { −x + 2y − 8 = 0 et −3x + y + 1 = 0
Exercice 10
Résoudre dans ℝ2 les systèmes suivants :
(S1) : { 3/x + 2/y = 9 et 5/x − 1/y = 2 , (S2) : { 3∣x + 2∣ + 4∣y − 5∣ = −9 et 2∣x + 2∣ − ∣y − 5∣ = − 6
Exercice 11
- Résoudre dans ℝ2 le système suivant :
(S1) : { 2x + 5y = 7 et 3x − 4y = − 1
2. Déduire dans ℝ2 l’ensemble des solutions du système suivant :
(S) : { 2√x−3 + 5∣2y − 3∣ = 7 et 3√x−3 − 4∣2y − 3∣ = −1
Exercice 12
Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m les solutions du système suivant :
(S) : { mx + 4y = m + 2 et x + my = 2
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Correction de la série
Exercice 1
∎ On résout dans ℝ l’équation (E1) : √3(x + 2) = 1 − √2x
Soit x ∈ ℝ.
√3(x + 2) = 1 − √2x
⇔ √3x + 2√3 = 1 − √2x
⇔ √3x + √2x = 1 − 2√3
⇔ x(√3 + √2) = 1 − 2√3
⇔ x = 1−2√3/√3+√2 = (1−2√3)(√3−√2)/(√3+√2)(√3−√2) = (1 − 2√3)(√3 − √2)
donc l’ensemble des solutions de l’équation (E1) est :
S = {(1 − 2√3)(√3 − √2)}
∎ Résolvons dans ℝ l’équation (E2) : x−1/x+2 = x−5/x−2.
On cherche l’ensemble de définition de l’équation (E2).
D(E2) = { x ∈ ℝ/ x + 2 ≠ 0 et x − 2 ≠ 0}
= { x ∈ ℝ/ x ≠ −2 et x ≠ 2}
= ℝ ∖ {−2, 2}
Soit x ∈ ℝ ∖ {−2, 2}
x−1/x+2 = x−5/x−2
⇔ x−1/x+2 − x−5/x−2 = 0
⇔ (x − 1)(x − 2)−(x − 5)(x + 2)/(x + 2)(x − 2) = 0
⇔ (x − 1)(x − 2) − (x − 5)(x + 2) = 0
⇔ 12 = 0 (impossible)
donc l’ensemble des solutions de l’équation (E2) est
S = Ø
∎ On résout dans ℝ l’équation (E3) : ∣x − 1∣ = ∣x + 3∣.
Soit x ∈ ℝ.
∣x − 1∣ = ∣x + 3∣
⇔ x − 1 = x + 3 ou x − 1 = − (x + 3)
⇔ x − x = 3 + 1 ou x − 1 = −x − 3
⇔ − 1 = 4Impossible ou 2x = − 2
⇔ x = − 1
donc l’ensemble des solutions de l’équation (E3) est
S = {−1}
∎ On résout dans ℝ l’équation (E4) : ∣−x + 7∣ − 2 = 0
Soit x ∈ ℝ.
∣−x + 7∣ − 2 = 0
⇔ ∣−x + 7∣ = 2
⇔ − x + 7 = 2 ou −x + 7 = − 2
⇔ −x = 2 − 7 ou −x = −2 − 7
⇔ x = 5 ou x = 9
donc l’ensemble des solutions de l’équation (E4) est
S = {5, 9}
∎ Résolvons dans ℝ l’équation (E5) : (x − 1)(2 + x)/x2−1 = 0.
On cherche l’ensemble de définition de l’équation (E5).
D(E5) = { x ∈ ℝ/ x2 − 1 ≠ 0}
= {x ∈ ℝ/ (x − 1)(x + 1) ≠ 0}
= {x ∈ ℝ/ x − 1 ≠ 0 et x + 1 ≠ 0}
= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1 et x ≠ −1}
= ℝ ∖ {−1, 1}
Soit x ∈ ℝ ∖ {−1, 1}
(x − 1)(2 + x)/x2−1 = 0
⇔ (x − 1)(2 + x) = 0
⇔ (x − 1) = 0 ou (2 + x) = 0
⇔ x = 1 ou x = −2
comme 1 ∉ ℝ ∖ {−1, 1} alors l’ensemble des solutions de l’équation (E5) est
S = {−2}
∎ On résout dans ℝ l’équation (E6) : m3x + 1 = 3 + x
Soit x ∈ ℝ
m3x + 1 = 3 + x ⇔ x(m3 − 1) = 3 − 1 ⇔ x(m − 1)(m2 + m + 1) = 2
Résolvons l’équation : (E′) : (m − 1)(m2 + m + 1) = 0
(m − 1)(m2 + m + 1) = 0 ⇔ m − 1 = 0 ou m2 + m + 1 = 0 ⇔ m = 1 ou m2 + m + 1 = 0
comme ∆ = − 3 < 0 alors l’équation m2 + m + 1 = 0 n’admet aucune solution réelle (∀m ∈ ℝ, m2 + m + 1 ≠ 0). Donc l’équation (E′) admet unique solution 1.
∎ Si m = 1 alors l’équation (E6) devient 0 = 2. Donc l’équation (E6) n’admet aucune solution, d’où S = Ø.
∎ Si m ≠ 1 alors l’équation (E6) admet unique solution 2/(m − 1)(m2 + m + 1). Donc
S = {2/(m − 1)(m2 + m + 1)} .
Équations inéquations et systèmes exercices corrigés (Série N°2)
Exercice 1
Soit le polynôme P(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6.
- Montrer que P(x) est divisible par (x − 1).
- Déterminer les nombres a et b tels que : P(x) = (x − 1)(x2 + ax + b), pour tout x ∈ ℝ.
- Écrire le polynôme P(x) sous la forme des polynômes de premier degré.
- Résoudre dans ℝ l’inéquation : P(x) ≥ 0.
- Déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation : (I) : 6 − 2x ≥ √x(5 − x).
Exercice 2
Soit le polynôme P(x) = x3 − 9x2 + 11x + 21.
- Calculer P(−1).
- Déterminer le quotient de la division euclidienne du polynôme P(x) par (x + 1).
- Résoudre dans ℝ l’inéquation : P(x) > 0.
Exercice 3
Soit le polynôme P(x) = 2x3 + x2 − 22x + 24.
- Montrer que le polynôme P(x) est divisible par (x − 3/2).
- Déduire que P(x) s’écrit sous la forme des polynômes de premier degré.
- Résoudre dans ℝ l’inéquation : P(x) > 0.
- Résoudre dans ℝ l’équation : 2∣x∣3 + x2 − 22∣x∣ + 24 = 0.
- Résoudre dans ℝ l’inéquation (I) : 2∣x∣3 + x2 − 22∣x∣ + 24 ≥ 0.
Exercice 4
On considère l’équation (E) : x3 − 15x2 + 62x − 72 = 0 , x ∈ ℝ.
- Montrer que l’équation (E) est équivalente au système { x = X + 5 et X ∈ ℝ, X3 − 13X − 12 = 0
- Donner une solution évidente de l’équation : X3 − 13X − 12 = 0, X ∈ ℝ.
- Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout X ∈ ℝ : X3 − 13X − 12 = (X + 1)(aX2 + bX + c).
- Résoudre dans ℝ l’équation X3 − 13X − 12 = 0.
- Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Exercice 5
On considère le trinôme T(x) = −4x2 + 4x + 5.
- a) Déterminer la forme canonique du trinôme T(x).
b) Montrer que : T(x) ≤ 6, pour tout x ∈ ℝ.
2. a) Vérifier que le trinôme T(x) admet deux racines distinctes α et β sans les calculer.
b) Calculer la valeur de chacun des nombres suivants : α × β, α + β, α2 + β2 et α3 + β3.
3. a) Résoudre dans ℝ l’équation T(x) = 0.
b) En déduire l’ensemble des solutions dans ℝ de l’inéquation T(x) ≥ 0.
Exercice 6
- a) Résoudre dans ℝ l’équation (E) : x2 + 2x − 8 = 0.
b) Résoudre dans ℝ l’inéquation (I) : 2x2+x−10/x2−4 ≤ 3/2.
2. On considère le polynôme P(x) = x3 + (√2 − 1)x2 − (2 + √2)x − 2√2.
a) Déterminer un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x + 1)Q(x).
b) Résoudre dans ℝ l’équation P(x) = 0.
c) Résoudre dans ℝ l’inéquation : ∣x∣3 + (√2 − 1)x2 − (2 + √2)∣x∣ − 2√2 < 0.
Exercice 7
On considère l’équation (E) : x2 − 6x − 3 = 0.
- On pose a = 1 − √3 et b = 1+√3/√3. Montrer que : a/b = 3 − 2√3, puis (a/b)2 − 6(a/b) − 3 = 0.
- Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E) sans calculer ∆.
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Devoir surveillé équations, inéquations et systèmes
Devoir surveillé N1 S2 (Durée 1H40)
Exercice 01
Résoudre dans ℝ l’inéquation suivante :
(I) : −6x2+x+15/−4x2+4x−1 ≥ 0
Exercice 02
- Résoudre dans l’ensemble ℝ l’équation : 2x2 + 4x − 6 = 0.
- Déduire les solutions d’équation : 2x + 4√x − 6 = 0. (Indication : on pourra poser √x = t)
- On considère le polynôme : P(x) = 2x3 + 8x2 + 2x − 12.
- Vérifier que le nombre −2 est une racine du P(x). Que peut-on conclure ?
- Factoriser P(x) sous la forme des trois binômes.
- Résoudre dans l’ensemble ℝ l’équation : P(x) = 0, puis déduire le tableau de signe du P(x).
- Résoudre dans ℝ les solutions d’inéquation : P(x) ≤ 0.
- Déduire les solutions d’équation : (E) : 2∣x∣3 + 8x2 + 2∣x∣ − 12 = 0
Exercice 03
Soit (C) un cercle trigonométrique de centre O et de repère orthonormé direct associé (O, OI, OJ). On considère deux points A et B d’abscisses curvilignes respectives 267π/6 et −267π/3.
- Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points A et B puis les représenter sur le cercle trigonométrique.
- Calculer cos x sachant que tan x = 1/3 et 5π ≺ x ≺ 11π/2.
Exercice 04 (Questions indépendantes)
- Résoudre dans l’ensemble ℝ2 l’équation (E) : 2x − y − 3 = 0.
- Résoudre dans l’ensemble ℝ2 le système suivant (S) : {2x2 + y2 = 11 et 2x2 + 3y2 = 10
- Résoudre dans ℝ l’équation (E) : 3/x2 − 2/x + 3/25 = 0.
- Déduire l’ensemble des solutions d’inéquation (I) : 3/x2 − 2/x + 3/25 ≤ 0.
- Résoudre graphiquement le système suivant (S) : {x − 2y ≤ 7 et x + y ≤ 3
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Devoir de surveillé N2 S2 (Durée 1H40)
Exercice 01
- Résoudre dans l’ensemble ℝ3 l’équation suivante (E) : x + y − 1 = 0.
- Déterminer le réel x tel que le couple (x, 1) est solution de l’équation (E).
- Résoudre dans ℝ2 le système suivant :
(S) : {2/x + 1/y = 1 et 3/x + 1/y = 5
Exercice 02
- Résoudre dans l’ensemble ℝ l’équation (E) : x2 + 2x − 8 = 0.
- Résoudre dans l’ensemble ℝ l’inéquation :
(I) : 2x2+x−10/x2−4 ≤ 3/2
2. On considère le polynôme P(x) définit par : P(x) = x3 + (√2 − 1)x2 −(2 + √2)x − 2√2
a) Déterminer un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x + 1)Q(x).
b) Résoudre dans ℝ l’équation : P(x) = 0.
c) Résoudre dans ℝ l’inéquation : ∣x∣3 + (√2 − 1)x2 − (2 + √2)∣x∣ − 2√2 ≻ 0
Exercice 03
On considère le polynôme P(x) définit par : P(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6
- Déterminer les réels a et b tels que : P(x) = (x − 1)(x2 + ax + b) pour tout x de ℝ.
- Écrire P(x) sous la forme des binômes.
- Résoudre dans ℝ l’inéquation : P(x) ≥ 0.
- Déduire les solutions d’inéquation : 6 − 2x ≥ √x(5 − x)
Exercice 04
On considère l’équation : (E) : x2 − 6x − 3 = 0.
- On pose : a = 1 − √3 et b = 1+√3/√3. Montrer que : a/b = 3−2√3 puis (a/b)2 −6(a/b) − 3 = 0.
- Déduire les solutions de l’équation (E) sans utiliser le discriminant ∆.
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Vous pouvez aussi consulter :
- Équations et inéquations trigonométriques exercices corrigés
- Les équations, inéquations et les systèmes cours
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Tu es le bienvenu👋
Merci comment allez vous ?
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