Équations inéquations et systèmes exercices corrigés pdf

Équations inéquations et systèmes exercices corrigés pdf

Les équations, inéquations et systèmes exercices corrigés pdf. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (Équations, inéquations et systèmes exercices corrigés pdf)

Résoudre dans les équations suivantes :

(E1) : √3(x + 2) = 1 − √2x, (E2) : x−1/x+2 = x−5/x−2,

(E3) : ∣x − 1∣ = ∣x + 3∣, (E4) : ∣−x + 7 − 2 = 0,

(E5) : (x − 1)(2 + x)/x2−1 = 0, (E6) : m3x + 1 = 3 + x

(E7) : (x + 2)(2x − 1)/3(x − 2)2 = 0, (E8) : x3 + 27 = 3x(x + 3),

(E9) : 2x−1/x−m = m

Exercice 2

Résoudre dans les inéquations suivantes :

(I1) : −1/2(1 − 2x) ≤ x + 1/3, (I2) : x/2x+1 < 1/3,

(I3) : (2x − 1)(2 − 1/4x) < 0, (I4) : x3 + 2x2−x

(I5) : x+3/3x−5 < 3x−5/x+3, (I6) : (x − 1)2/x0

(I7) : m(mx − 1) < x(1 − m)

Exercice 3

Résoudre dans les deux systèmes suivants :

{ 5(2 − x) ≤ −7x + 6 et 3x + 74(x + 1/2) , 3x − 2 < 1 − 2x x + 3

Exercice 4

Écrire sous la forme canonique :

P(x) = x2 − 4x + 5, Q(x) = x2 + 8x + 1, R(x) = x2 − 6x − 7

F(x) = x2 − 7x + 3, A(x) = x2 − x + 5, B(x) = x2 + 5x − 1/2

Exercice 5 (Équations inéquations et systèmes exercices corrigés pdf)

Résoudre dans les équations :

(E1) : 3 − 2x − 4 = 2x + 5

(E2) : ∣2x2 − x − 6∣ − ∣x + 1− 1 = 0

(E3) : √3x+4 = x

(E4) : 2x4 − x2 − 6 = 0

(E5) : x2 + x− 2 = 0

(E6) : x − 3√x + 2 = 0

(E7) : 3/x2 − 2/x + 3/25 = 0

Exercice 6 (Équations inéquations et systèmes exercices corrigés pdf)

Résoudre dans les inéquations suivantes :

(I1) : 2x + 1 − 4x − 3∣ < 2x − 4

(I2) : ∣x2 + 3x + 2∣ + ∣x2 − 3x + 2∣ < 12

(I3) : √x−1 x − 7

(I4) : x2−6x+9/3x2+10x−80

(I5) : √x2+1 − 2x + 10

Exercice 7

Résoudre dans l’équation :

(E) : x2 − 2(1 +m)x + 4 = 0 , (m est un paramètre réel).

Exercice 8

Résoudre dans 2 les deux équations puis représenter l’ensemble des solutions dans un repère orthonormé (O, i , j).

(E1) : 4x + y + 3 = 0

(E2) : 2x − 7y + 3 = −x − 4y + 6

Exercice 9

Résoudre dans 2 les systèmes suivants.

(S1) : { 2x + y = 4 et 5x − 2y = 1 , (S2) : { −x + 2y − 8 = 0 et −3x + y + 1 = 0

Exercice 10

Résoudre dans 2 les systèmes suivants :

(S1) : { 3/x + 2/y = 9 et 5/x − 1/y = 2 , (S2) : { 3x + 2∣ + 4y − 5= −9 et 2x + 2∣ − ∣y − 5= − 6

Exercice 11

  1. Résoudre dans 2 le système suivant :

(S1) : { 2x + 5y = 7 et 3x − 4y = − 1

2. Déduire dans 2 l’ensemble des solutions du système suivant :

(S) : { 2√x−3 + 52y − 3= 7 et 3√x−3 − 42y − 3 = −1

Exercice 12

Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m les solutions du système suivant :

(S) : { mx + 4y = m + 2 et x + my = 2

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Correction de la série 

Exercice 1

∎ On résout dans l’équation (E1) : √3(x + 2) = 1 − √2x

Soit x.

√3(x + 2) = 1 − √2x

⇔ √3x + 2√3 = 1 − √2x

⇔ √3x + √2x = 1 − 2√3

 x(√3 + √2) = 1 − 2√3

⇔ x = 1−2√3/√3+√2 = (1−2√3)(√3−√2)/(√3+√2)(√3−√2) = (1 − 2√3)(√3 − √2)

donc l’ensemble des solutions de l’équation (E1) est :

S = {(1 − 2√3)(√3 − √2)}

∎ Résolvons dans l’équation (E2) : x−1/x+2 = x−5/x−2.

On cherche l’ensemble de définition de l’équation (E2).

D(E2) = { x/ x + 2 ≠ 0 et x − 2 ≠ 0

= { x/ x ≠ −2 et x ≠ 2

= ∖ {−2, 2

Soit x ∖ {−2, 2}

x−1/x+2 = x−5/x−2

⇔ x−1/x+2 − x−5/x−2 = 0

⇔ (x − 1)(x − 2)−(x − 5)(x + 2)/(x + 2)(x − 2) = 0

⇔ (x − 1)(x − 2) − (x − 5)(x + 2) = 0

 12 = 0 (impossible)

donc l’ensemble des solutions de l’équation (E2) est

S = Ø

∎ On résout dans l’équation (E3) : ∣x − 1∣ = ∣x + 3∣.

Soit x.

x − 1∣ = ∣x + 3

 x − 1 = x + 3 ou x − 1 = − (x + 3)

⇔ x − x = 3 + 1 ou x − 1 = −x − 3

 − 1 = 4Impossible ou 2x = − 2

⇔ x = − 1

donc l’ensemble des solutions de l’équation (E3) est

S = {−1

∎ On résout dans l’équation (E4) : ∣−x + 7− 2 = 0

Soit x.

−x + 7− 2 = 0

⇔ ∣−x + 7= 2

⇔ − x + 7 = 2 ou −x + 7 = − 2

 −x = 2 − 7 ou −x = −2 − 7

 x = 5 ou x = 9

donc l’ensemble des solutions de l’équation (E4) est

S = {5, 9

∎ Résolvons dans l’équation (E5) : (x − 1)(2 + x)/x2−1 = 0.

On cherche l’ensemble de définition de l’équation (E5).

D(E5) = { x/ x2 − 1 ≠ 0

= {x/ (x − 1)(x + 1) ≠ 0}

= {x / x − 1 ≠ 0 et x + 1 ≠ 0}

= {x/ x ≠ 1 et x ≠ −1}

= ∖ {−1, 1

Soit x ∖ {−1, 1}

(x − 1)(2 + x)/x2−1 = 0

⇔ (x − 1)(2 + x) = 0

⇔ (x − 1) = 0 ou (2 + x) = 0

⇔ x = 1 ou x = −2

comme 1 ∖ {−1, 1} alors l’ensemble des solutions de l’équation (E5) est

S = {−2}

∎ On résout dans l’équation (E6) : m3x + 1 = 3 + x

Soit x

m3x + 1 = 3 + x ⇔ x(m3 − 1) = 3 − 1 ⇔ x(m − 1)(m2 + m + 1) = 2

Résolvons l’équation : (E′) : (m − 1)(m2 + m + 1) = 0

(m − 1)(m2 + m + 1) = 0 m − 1 = 0 ou m2 + m + 1 = 0 ⇔ m = 1 ou m2 + m + 1 = 0

comme ∆ = − 3 < 0 alors l’équation m2 + m + 1 = 0 n’admet aucune solution réelle (∀m, m2 + m + 1 ≠ 0). Donc l’équation (E′) admet unique solution 1.

∎ Si m = 1 alors l’équation (E6) devient 0 = 2. Donc l’équation (E6) n’admet aucune solution, d’où S = Ø.

∎ Si m ≠ 1 alors l’équation (E6) admet unique solution 2/(m − 1)(m2 + m + 1). Donc

S = {2/(m − 1)(m2 + m + 1)} .

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Équations inéquations et systèmes exercices corrigés (Série N°2)

Exercice 1

Soit le polynôme P(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6.

  1. Montrer que P(x) est divisible par (x − 1).
    1. Déterminer les nombres a et b tels que : P(x) = (x − 1)(x2 + ax + b), pour tout x.
    2. Écrire le polynôme P(x) sous la forme des polynômes de premier degré.
    1. Résoudre dans l’inéquation : P(x) ≥ 0.
    2. Déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation : (I) : 6 − 2x√x(5 − x).

Exercice 2

Soit le polynôme P(x) = x3 − 9x2 + 11x + 21.

  1. Calculer P(−1).
  2. Déterminer le quotient de la division euclidienne du polynôme P(x) par (x + 1).
  3. Résoudre dans l’inéquation : P(x) > 0.

Exercice 3

Soit le polynôme P(x) = 2x3 + x2 − 22x + 24.

    1. Montrer que le polynôme P(x) est divisible par (x − 3/2).
    2. Déduire que P(x) s’écrit sous la forme des polynômes de premier degré.
  1. Résoudre dans l’inéquation : P(x) > 0.
  2. Résoudre dans l’équation : 2x3 + x2 − 22x + 24 = 0.
  3. Résoudre dans l’inéquation (I) : 2x3 + x2 − 22x+ 240.

Exercice 4

On considère l’équation (E) : x3 − 15x2 + 62x − 72 = 0 , x .

  1. Montrer que l’équation (E) est équivalente au système { x = X + 5 et X, X3 − 13X − 12 = 0
  2. Donner une solution évidente de l’équation : X3 − 13X − 12 = 0, X.
  3. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout X : X3 − 13X − 12 = (X + 1)(aX2 + bX + c).
    1. Résoudre dans l’équation X3 − 13X − 12 = 0.
    2. Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).

Exercice 5

On considère le trinôme T(x) = −4x2 + 4x + 5.

  1. a) Déterminer la forme canonique du trinôme T(x).

b) Montrer que : T(x) ≤ 6, pour tout x.

2. a) Vérifier que le trinôme T(x) admet deux racines distinctes α et β sans les calculer.

b) Calculer la valeur de chacun des nombres suivants : α × β, α + β, α2 + β2 et α3 + β3.

3. a) Résoudre dans l’équation T(x) = 0.

b) En déduire l’ensemble des solutions dans de l’inéquation T(x) ≥ 0.

Exercice 6

  1. a) Résoudre dans l’équation (E) : x2 + 2x − 8 = 0.

b) Résoudre dans l’inéquation (I) : 2x2+x−10/x2−4 3/2.

2. On considère le polynôme P(x) = x3 + (√2 − 1)x2 − (2 + √2)x − 2√2.

a) Déterminer un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x + 1)Q(x).

b) Résoudre dans l’équation P(x) = 0.

c) Résoudre dans l’inéquation : ∣x3 + (√2 − 1)x2 − (2 + √2)∣x − 2√2 < 0.

Exercice 7

On considère l’équation (E) : x2 − 6x − 3 = 0.

  1. On pose a = 1 − √3 et b = 1+√3/√3. Montrer que : a/b = 3 − 2√3, puis (a/b)2 − 6(a/b) − 3 = 0.
  2. Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E) sans calculer ∆.

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Devoir surveillé équations, inéquations et systèmes

Devoir surveillé N1 S2 (Durée 1H40)

Exercice 01

Résoudre dans l’inéquation suivante :

(I) : −6x2+x+15/−4x2+4x−1 ≥ 0

Exercice 02

    1. Résoudre dans l’ensemble l’équation : 2x2 + 4x − 6 = 0.
    2. Déduire les solutions d’équation : 2x + 4√x − 6 = 0. (Indication : on pourra poser √x = t)
  1. On considère le polynôme : P(x) = 2x3 + 8x2 + 2x − 12.
    1. Vérifier que le nombre −2 est une racine du P(x). Que peut-on conclure ?
    2. Factoriser P(x) sous la forme des trois binômes.
    3. Résoudre dans l’ensemble l’équation : P(x) = 0, puis déduire le tableau de signe du P(x).
    4. Résoudre dans les solutions d’inéquation : P(x) ≤ 0.
    5. Déduire les solutions d’équation : (E) : 2x3 + 8x2 + 2x − 12 = 0

Exercice 03

Soit (C) un cercle trigonométrique de centre O et de repère orthonormé direct associé (O, OI, OJ). On considère deux points A et B d’abscisses curvilignes respectives 267π/6 et −267π/3.

  1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points A et B puis les représenter sur le cercle trigonométrique.
  2. Calculer cos x sachant que tan x = 1/3 et x 11π/2.

Exercice 04 (Questions indépendantes)

  1. Résoudre dans l’ensemble 2 l’équation (E) : 2x − y − 3 = 0.
  2. Résoudre dans l’ensemble 2 le système suivant (S) : {2x2 + y2 = 11 et 2x2 + 3y2 = 10
    1. Résoudre dans l’équation (E) : 3/x2 − 2/x + 3/25 = 0.
    2. Déduire l’ensemble des solutions d’inéquation (I) : 3/x2 − 2/x + 3/25 ≤ 0.
  3. Résoudre graphiquement le système suivant (S) : {x − 2y ≤ 7 et x + y ≤ 3

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Devoir de surveillé N2 S2 (Durée 1H40)

Exercice 01

    1. Résoudre dans l’ensemble 3 l’équation suivante (E) : x + y − 1 = 0.
    2. Déterminer le réel x tel que le couple (x, 1) est solution de l’équation (E).
  1. Résoudre dans 2 le système suivant :

(S) : {2/x + 1/y = 1 et 3/x + 1/y = 5

Exercice 02

    1. Résoudre dans l’ensemble l’équation (E) : x2 + 2x − 8 = 0.
    2. Résoudre dans l’ensemble l’inéquation :

(I) : 2x2+x−10/x2−4 ≤ 3/2

2. On considère le polynôme P(x) définit par : P(x) = x3 + (√2 − 1)x2(2 + √2)x − 2√2

a) Déterminer un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x + 1)Q(x).

b) Résoudre dans l’équation : P(x) = 0.

c) Résoudre dans l’inéquation : ∣x3 + (√2 − 1)x2(2 + √2)∣x− 2√2 0

Exercice 03

On considère le polynôme P(x) définit par : P(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6

  1. Déterminer les réels a et b tels que : P(x) = (x − 1)(x2 + ax + b) pour tout x de .
  2. Écrire P(x) sous la forme des binômes.
    1. Résoudre dans l’inéquation : P(x) ≥ 0.
    2. Déduire les solutions d’inéquation : 6 − 2x √x(5 − x)

Exercice 04

On considère l’équation : (E) : x2 − 6x − 3 = 0.

  1. On pose : a = 1 − √3 et b = 1+√3/√3. Montrer que : a/b = 3−2√3 puis (a/b)2 −6(a/b) − 3 = 0.
  2. Déduire les solutions de l’équation (E) sans utiliser le discriminant ∆.

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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