Limite d’une fonction numérique 1 bac

Limite d’une fonction numérique 1 bac cours. (1ère année bac)

Limite infinie d’une fonction numérique en +∞ ou en −∞. (Limite d’une fonction numérique 1 bac)

Activité d’introduction (Limite d’une fonction numérique 1 bac)

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = x².

1. Recopier et compléter le tableau suivant :
2. Que remarque-t-on pour les valeurs de ƒ(x) quant x prend des valeurs positives de plus en plus grandes ?

On constate de plus x devient grand. Plus ƒ(x) prend des valeurs de plus en plus grandes. On dit que  »ƒ(x) tend vers +∞, lorsque x tend vers +∞. On dit que  » la limite de ƒ(x) quand x tend vers +∞ est égale à +∞  » et on note :

lim_x→+∞ ƒ(x) = +∞ 

Définition 1 

Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme [a, +∞[ où a ∈ ℝ. Si ƒ(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞, on écrit : lim_x→+∞ ƒ(x) = +∞.

Limites usuelles

∎ lim_x→+∞ x = +∞, lim_x→+∞ x² = +∞, lim_x→+∞ x³ = +∞, lim_x→+∞ √x = +∞.

∎ lim_x→−∞ x = −∞, lim_x→−∞ x² = +∞, lim_x→−∞ x³ = −∞, (∀n ∈ ℕ*) lim_x→+∞ xⁿ = +∞.

∎ Si n est pair et n ≠ 0, alors lim_x→−∞ x = +∞

∎ Si n est impair, alors lim_x→−∞ xⁿ = −∞.

Exemple 2

Calculer : lim_x→+∞ x⁷ , lim_x→+∞ x⁸ , lim_x→−∞ x⁵ , lim_x→−∞ x⁹ , lim_x→−∞ x⁶.

Limite finie d’une fonction en +∞ ou en −∞ (Limite d’une fonction numérique 1 bac)

Activité d’introduction

La figure au-dessous représente la courbe de la fonction ƒ dans un plan muni d’un repère orthonormé ( O , i , j ).

En utilisant la courbe de la fonction ƒ, que peut-on conclure quand x prend des valeurs de plus en plus grandes.

∎ La courbe de ƒ se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = l′ quand x tend vers +∞.

∎ La courbe de ƒ se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = l quand x tend vers −∞.

Définition 3

∎ Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme [a, +∞[ (où a ∈ ℝ), et soit l un réel. Si ƒ(x) tend vers le nombre l quand x tend vers +∞, alors on note lim_x→+∞ ƒ(x) = l.

∎ Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme ]−∞, b] (où b ∈ ℝ), et soit l un réel. Si ƒ(x) tend vers le nombre l′ quand x tend vers −∞, alors on note lim_x→−∞ ƒ(x) = l′.

Limites usuelles

lim_n→+∞ 1/x = 0, lim_x→−∞ 1/x = 0, (∀n ∈ ℕ*) lim_n→+∞ 1/xⁿ = 0, (∀n ∈ ℕ*) lim_x→−∞ 1/xⁿ = 0

Propriété 4 (Admis)

Soit ƒ une fonction numérique et l un réel.

∎ Si ƒ admet une limite l en +∞ (ou en −∞), alors cette limite est unique.

∎ lim_x→+∞ ƒ(x) = l ⇔ lim_x→+∞ (ƒ(x) − l) = 0

∎ lim_x→−∞ ƒ(x) = l ⇔ lim_x→−∞ (ƒ(x) − l) = 0

Exemple 5

Montrer que : lim_x→−∞ −2x³+x/x³ = −2.

On pose : ƒ(x) = −2x³+x/x³ où x ∈ ℝ*.

Soit x ∈ ℝ*. On a : ƒ(x) − (−2) = −2x³+x/x³ + 2 = −2x³+x+2x³/x³ = x/x³ = 1/x². Donc

lim_x→−∞ (ƒ(x) − (−2)) = lim_x→−∞ 1/x² = 0

d’où lim_x→−∞ ƒ(x) = −2.

Exemple 6

La figure suivante représente la courbe d’une fonction définie sur ℝ*.

1. Déterminer par lecture graphique , lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
2. Sachant que (C_ƒ) est la courbe de la fonction { ƒ(x) = 2x+1/x; x > 0 et ƒ(x) = 1/x²; x < 0

Retrouver les résultats de 1^ére question.

Limite finie et infinie d’une fonction en un point (Limite d’une fonction numérique 1 bac)

Limite finie d’une fonction en un point

Définition 7

Soit a et l deux nombres réels. Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme ]a − α, a + α[ où α ∈ ]0, +∞[. Si ƒ(x) tend vers l quand x tend vers a, alors on note :

lim_x→a ƒ(x) = l

Propriété 8 (Admis)

Soit ƒ une fonction numérique, a et l deux réel. Si ƒ admet une limite l en a, alors cette limite est unique.

Exemple 9 (Limite usuelles).

lim_x→0 x = 0, lim_x→0 x² = 0 , lim_x→0 x³ = 0

Exemple 10

Montrer que : lim_x→0 (x³ − √5/2) = − √5/2.

Soit x ∈ ℝ. On a : (x³ − √5/2) − (−√5/2) = x³, et comme lim_x→0 x³ = 0 donc

lim_x→0 (x³ − √5/2) = − √5/2.

Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un point

Définition 11

Soit ƒ une fonction numérique. Soit a et l deux nombres réels.

∎ Si ƒ(x) tend vers l quand x tend vers a à droite (c’est-à-dire x > 0), alors on note : lim_{x→a x > a} ƒ(x) = l ou lim_x→a⁺ ƒ(x).

∎ Si ƒ(x) tend vers l quand x tend vers a à gauche (c’est-à-dire x < 0), alors on note : lim_{x→a x < a} ƒ(x) = l ou lim_x→a⁻ ƒ(x).

Exemple 12

La figure suivante représente la courbe d’une fonction définie sur ℝ*.

Déterminer par lecture graphique, lim_x→0⁺ ƒ(x) et lim_x→0⁻ ƒ(x).

Limites usuelles

∎ (∀n ∈ ℕ*) , lim_x→0⁺ 1/xⁿ = +∞ , lim_x→0⁺ √x = 0 , lim_x→0⁺ 1/√x = +∞

∎ Si n est un nombre pair non nul, alors lim_x→0⁻ 1/xⁿ = +∞.

∎ Si n est un nombre impair, alors lim_x→0⁻ 1/xⁿ = −∞.

Théorème 13

Soit ƒ une fonction numérique.

lim_x→a ƒ(x) = l ⇔ (lim_x→a⁺ ƒ(x) = l = lim_x→a⁻ ƒ(x)).

Opérations sur les limites

On admet sans démonstration toutes les opérations suivantes.

Dans tout ce qui suit, a est un nombre réel ou +∞ ou −∞, l et l′ sont des réels.

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Limite d’une fonction numérique résumé 1 bac

Fonctions élémentaires

Limite en +∞ et −∞

Limite en 0

Exemple 1

Calculer la limite suivante : lim_x→−2 2x−1/x+2.

On détermine le signe de l’expression : x + 2

Comme : lim_x→−2 2x − 1 = −5. Donc, on déduit :

lim_{x→−2x≻−2} 2x−1/x+2 = −∞ et lim_{x→−2x≺−2} 2x−1/x+2 = +∞

Opérations sur les limites et formes indéterminée

Somme de fonctions

Produit de fonctions

Quotient de fonctions

Polynômes et fonctions rationnelles

Fonction polynôme

Règle 2

Un polynôme a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus haut degré.

Si P(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, alors lim_x→+∞ P(x) = lim_x→+∞ a_nxⁿ et lim_x→−∞ P(x) = lim_x→−∞ a_nxⁿ

Exemple 3

• lim_x→+∞ x⁴ − 2x³ + x² + x − 1 = lim_x→+∞ x⁴ = +∞ et lim_x→−∞ x⁴ − 2x³ + x² + x − 1 = lim_x→−∞ x⁴ = +∞
• lim_x→+∞ −3x² − 2x − 1 = lim_x→+∞ −3x² = −∞ et lim_x→−∞ −3x² − 2x − 1 = lim_x→−∞ −3x² = −∞

Fonction rationnelle

Règle 4

Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.

ƒ(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀/b_mx^m + b_m−1x^m−1 + … + b₁x + b₀ , alors :

lim_x→+∞ ƒ(x) = lim_x→+∞ a_nxⁿ/b_mx^m et lim_x→−∞ ƒ(x) = lim_x→−∞ a_nxⁿ/b_mx^m

Exemple 5

• lim_x→+∞ 3x−x²/x³+1 = lim_x→+∞ −x²/x³ = lim_x→+∞ −1/x = 0.
• lim_x→−∞ (1−√2)x³+x²+1/2x²+1 = lim_x→−∞ (1−√2)x³/2x² = lim_x→−∞ 1−√2/2 x = +∞, car : 1−√2 ≺ 0.

Limite d’une fonction irrationnelle

Règle 6

• Si lim_x→+∞ ƒ(x) = l ≥ 0, alors : lim_x→+∞ √ƒ(x) = √l
• Si lim_x→+∞ ƒ(x) = +∞, alors : lim_x→+∞ √ƒ(x) = +∞

Exemple 7

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ √x²+x+3 , lim_x→−∞ √x²+x+3 + 2x

• On a : lim_x→+∞ x² + x + 3 = lim_x→+∞ x² = +∞. Donc : lim_x→+∞ √x²+x+3 = +∞.



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Devoir surveillé sur les limites d’une fonction

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

lim_x→0 x+sin²x/1−cosx , lim_x→π/3 sin(3x)/1−2cosx , lim_x→π/3 √3cosx−sinx/sin3x et lim_x→−π/3 cosx/1+sinx

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ √x²+3x+mx (m ∈ ℝ) , lim_x→+∞ √x²ⁿ⁺¹/x−1 −2x (n ∈ ℕ*)

Exercice 3

On considère la fonction numérique ƒ définie par :

{ƒ(x) = √x− √1+x²/2+x ; x ≥ 0 et ƒ(x) = cosx−√2+sinx/x ; x ≺ 0

1. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x).
2. Calculer lim_x→0⁺ƒ(x) et lim_x→0⁻ƒ(x). Que peut-on conclure ?
   1. Montrer que : (∀x ∈ ]−∞, 0[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 1+√3/∣x∣
   2. Déduire lim_x→−∞ ƒ(x).

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

{ƒ(x) = √x−1/2−√3+x si x ≻ 1 et ƒ(x) = √1−x/2x²+x−3 si x ≺ 1

1. Montrer que : D_ƒ = ]−∞, −3/2[⋃]−3/2, 1[⋃]1, +∞[
2. Calculer : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
3. Calculer : lim_x→1⁺ ƒ(x) et lim_x→1⁻ ƒ(x). Que peut-on conclure ?
4. Étudier la limite de la fonction ƒ au point x₁ = −3/2.

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Correction du devoir surveillé N1

Exercice 1

Calculons les limites suivantes :

• lim_x→0 x+sin²x/1−cosx = 0/0 (F.I)

lim_x→0 x+sin²x/1−cosx = lim_x→0 x²(1/x + sin²x/x²)/(1−cos²x/x²)×x²

= lim_x→0 1/x+(sinx/x)²/1−cos²x/x²

comme : lim_x→0 (sinx/x)² = 1 et lim_x→0 1−cosx/x² = 1/2, alors :

lim_x→0⁺ x+sin²x/1−cosx = +∞ et lim_x→0⁻ x+sin²x/1−cosx = −∞

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Vous pouvez aussi consulter :

• Limites d’une fonction exercices corrigés
• Calcul trigonométrique cours