par La dérivation 1 bac cours. (1ère année bac s.exp/ 1ère s)
Dérivabilité d’une fonction en un point (La dérivation 1 bac)
Nombre dérivé
Définition 1
Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un élément en I.
On dit que ƒ est dérivable en x0 s’il existe un réel l tel que : limx→x0 ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = l. Le nombre l est appelé le nombre dérivé de la fonction ƒ en x0. Il est noté ƒ′(x0).
Remarque 2
En posant h = x − x0, et sous réserve d’existence, on a également limh→0 ƒ(x0 + h)−ƒ(x0)/h = ƒ′(x0).
Exemple 3
Étudions la dérivabilité de la fonction ƒ : x → 2x2 en x0 = 1.
On a
limx→1 ƒ(x)−ƒ(1)/x−1 = limx→1 2x2−2/x−1 = limx→1 2(x2−1)/x−1 = limx→1 2(x − 1)(x + 1)/x−1 = limx→1 2(x + 1) = 4.
Donc la fonction ƒ est dérivable en x0 = 1 et on a ƒ′(1) = 4.
Tangente à la courbe d’une fonction en un point (La dérivation 1 bac)
Approche
Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I, et soit x0 ∈ I. Notons M0 le point de coordonnées (x0, ƒ(x0)) et M le point de coordonnées (x, ƒ(x)) pour x ∈ I. Le taux d’accroissement ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 correspond au coefficient directeur de la droite (MM0). Ainsi :
∎ Si ƒ est dérivable en x0, alors ce coefficient directeur tend vers ƒ′(x0) lorsque x tend vers x0. Par ailleurs, la droite (MM0) tend vers une position limite qui est la tangente à la courbe représentative de ƒ au point x0. Le nombre dérivé ƒ′(x0) est alors le coefficient directeur de la tangente à la courbe ƒ au point M0.
Propriété 4
Soit ƒ une fonction dérivable en un point x0.
Une équation de la tangente (T) à la courbe de la fonction ƒ au point A(x0, ƒ(x0)) est : y = ƒ′(x0)(x − x0) + ƒ(x0).
Exemple 5
Déterminons une équation de la tangente (T) à la courbe de la fonction ƒ : x → 2x2 au point A(1, ƒ(1)).
On a ƒ(1) = 2 et ƒ′(1) = 4 (d’après l’exemple précédent). Donc, une équation de la tangente (T) est : y = 4(x − 1) + 2 c-à-d (T) : y = 4x − 2.
Remarque 6
∎ La tangente en A(a, ƒ(a)) est parallèle à (Ox) si et seulement si ƒ′(a) = 0.
Dérivabilité à droite – Dérivabilité à gauche (La dérivation 1 bac)
Définitions
Définition 7
∎ Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle du type [x0, x0 + r[ où r ∈ ]0, +∞[.
On dit que ƒ est dérivable à droite de x0 s’il existe un réel l tel que : limx→x0+ ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = l. Le nombre l est appelé le nombre dérivé de la fonction ƒ à droite en x0. Il est noté ƒ′d (x0).
∎ Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle du type ]x0 − r, x0] où r ∈ ]0, +∞[.
On dit que ƒ est dérivable à gauche de x0 s’il existe un réel l′ tel que : limx→x0− ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = l′. Le nombre l′ est appelé le nombre dérivé de la fonction ƒ à gauche en x0. Il est noté ƒ′g (x0).
Définition 8
Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle de la forme [a, α[ (a < α).
On dit que ƒ est dérivable à droite en a, s’il existe un réel l tel que : limx→a x>a ƒ(a + h)−ƒ(a)/h = l.
La réel l est appelé le nombre dérivé de la fonction ƒ à droite en a, et on le note par ƒ′d(a).
Et on écrit ƒ′d(a) = ƒ(a + h)−ƒ(a)/h = l;
Exemple 9
Soit ƒ une fonction définie sur ℝ par ƒ : x → ∣x2 − 1∣.
Étudier la dérivabilité de ƒ à droite et à gauche en x0 = 1.
∎ La dérivabilité à droite en x0 = 1 :
On a limx→1+ ƒ(x)−ƒ(1)/x−1 = limx→1+ ∣x2 − 1∣/x−1.
On a
x2 − 1 = 0 ⇔ x = 1 ou x = − 1
pour tout x ∈ ]1, +∞[. ∣x2 − 1∣ = x2 − 1 donc limx→1+ ƒ(x)−ƒ(1)/x−1 = limx→1+ x + 1 = 2. D’où ƒ est dérivable à droite en 1, et on a ƒ′d(1) = 2.
∎ La dérivabilité à gauche en x0 = 1 :
On a limx→1− ƒ(x)−ƒ(1)/x−1 = limx→1− ∣x2 − 1∣/x−1.
On a pour tout x ∈ [0, 1[. ∣x2 − 1∣ = − (x2 − 1) donc limx→1 ƒ(x)−ƒ(1)/x−1 = limx→1 − (x + 1) = −2.
D’où ƒ est dérivable à gauche en 1, et on a ƒ′g(1) = 2.
Propriété 10
Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un élément de I.
ƒ est dérivable en x0 si et seulement si ƒ est dérivable à droite en x0, ƒ est dérivable à gauche en a et ƒ′d(x0) = ƒ′g(x0).
Exemple 11
Soit ƒ est définie sur ℝ par ƒ : x → ∣x2 − 1∣.
Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ en x0 = 1.
La fonction ƒ est dérivable à droite et à gauche en x0 = 1, et comme ƒ′d(1) = 2 et ƒ′g(1) = −2 alors ƒ′d(a) ≠ ƒ′g(a) donc la fonction ƒ n’est pas dérivable en x0 = 1.
Exemple 12
La fonction ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = ∣x∣.
On a limx→0+ ƒ(x)−ƒ(0)/x−0 = limx→0+ ∣x∣/x = limx→0+ x/x = 1. Donc la fonction ƒ est dérivable à droite en x0 = 0 et ƒ′d (0) = 1.
On a limx→0− ƒ(x)−ƒ(0)/x−0 = limx→0− ∣x∣/x = limx→0+ −x/x = −1. Donc la fonction ƒ est dérivable à gauche en x0 = 0 et ƒ′g (0) = −1.
Comme ƒ′g (0) ≠ ƒ′d (0), donc ƒ n’est pas dérivable en 0.
Remarque 13
Si ƒ est dérivable en x0 alors ƒ′(x0) = ƒ′d (x0) = ƒ′g(x0).
Interprétation graphique du nombre dérivé à gauche et à droite (demi-tangente)
Propriété 14
∎ Si ƒ est dérivable à gauche en x0 alors la courbe (Cƒ) admet une demi-tangente à gauche de x0 de coefficient directeur ƒ′g(x0) et son équation réduite est : { y = ƒ′g(x0)(x − x0) + ƒ(x0) et x ≤ x0.
∎ Si ƒ est dérivable à droite en x0 alors la courbe (Cƒ) admet une demi-tangente à droite de x0 de coefficient directeur ƒ′d(x0) et son quation réduite est : { y = ƒ′d(x0)(x − x0) + ƒ(x0) et x ≥ x0.
Exemple 15
Soit ƒ une fonction déinie par : { ƒ(x) = (x + 3)3 + 2 si x ≥ −2 et ƒ(x) = −(x + 3)2 + 4 si x < −2
Étudier la dérivabilité de ƒ à droite et à gauche en x0 = −2, puis interpréter graphiquement les résultats obtenus.
∎ La dérivabilité à gauche en x0 = −2 :
On a :
limx→−2− ƒ(x)−ƒ(−2)/x+2 = limx→−2− −(x + 3)2+4−3/x+2
= limx→−2− −(x + 3)2+1/x+2
= limx→−2− −((x + 3)2 − 1)/x+2
= limx→−2− −(x + 2)(x + 4)/x+2
= limx→−2− − (x + 4) = −2
Donc la fonction ƒ est dérivable à gauche en x0 = −1 et ƒ′g(−2) = −2.
On peut interpéter ce résultat graphiquement comme suit :
La courbe représentative de ƒ admet une demi-tangente à gauche au point M(−2, 3) définie par (Tg) : { y = −2x − 1 et x ≤ −2
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