Les intérêts simples cours

Cours de mathématiques financières : les intérêts simples. (Sciences Économiques et Gestion)

1. Définition et calcul pratique (Les intérêts simples cours)

Définition

Dans le cas de l’intérêt simple, le capital reste invariable pendant toute la durée du prêt. L’emprunteur doit verser, à la fin de chaque période, l’intérêt dû.

Remarque

Les intérêts sont versés à la fin de chacune des périodes de prêt.
Le capital initial reste invariable. Les intérêts payés sont égaux de période en période.
Le montant des intérêts est proportionnel à la durée du prêt.

Calcul pratique

Si nous désignons par :

C : le capital placé ;

t : le taux d’intérêt annuel pour 100 dh ;

n : la période de placement (en années) ;

I : intérêt rapporté par le capital C

On sait que : $\textbf{I}~=~\frac{\textbf{C}\times \textbf{t}\times \textbf{n}}{\textbf{100}}$

La formule de calucl devient :

Si la durée est en jours : $\textbf{I}~=~\frac{\textbf{C}\times \textbf{i}\times \textbf{j}}{\textbf{360}}$

Si la durée est en mois : $\textbf{I}~=~\frac{\textbf{C}\times \textbf{i}\times \textbf{m}}{\textbf{12}}$

Si la durée est en année : $\textbf{I}~=~\textbf{C}\times \textbf{i}\times \textbf{n}$

2. Méthode des nombres et des diviseurs fixes

Si la durée est exprimée en jours

l’intérêt est $\textbf{I}~=~\frac{\textbf{C}\times \textbf{t}\times \textbf{j}}{\textbf{36~000}}$

Séparons les termes fixes des termes variables et divisons par (t)

$\textbf{I}~=~\frac{\textbf{C}\times \textbf{t}\times \textbf{j/t}}{\textbf{36~000/t}}$ ce qui nous donne :

$\textbf{I}~=~\frac{\textbf{C}\times \textbf{j}}{\textbf{36~000}/\textbf{t}}$

Cj = N est le nombre

36 000/t = D est le diviseur fixe

La formule devient $\textbf{I}~=~\frac{\textbf{N}}{\textbf{D}}$

Cette formule est intéressante lorsqu’il s’agit de calculer l’intérêt globale produit par plusieurs capitaux au meme taux pendant des durées différentes.

3. La valeur définitive ou la valeur acquise

La valeur définitive du capital (C) après (n) périodes de placement est la somme du capital et des intérêts gagnés ;

Si nous désignons par (VD) la valeur définitive alors

$\textbf{VD}~=~\textbf{C}+\textbf{I}=\textbf{C}+\frac{\textbf{C}\times \textbf{t}\times \textbf{n}}{\textbf{100}}=\textbf{C}+\textbf{Cin}$

$\textbf{VD}=\textbf{C}(\textbf{1}+\frac{\textbf{tn}}{\textbf{100}})$ si n est en année

4. Taux moyen de plusieurs placements

Soient trois sommes d’argent placées à des taux variables et pendant des durées différentes :

Capital	Taux	Durée
C₁	t₁	j₁
C₂	t₂	j₂
C₃	t₃	j₃

L’intérêt global procuré par ces trois placements est :

$\textbf{I}_{\textbf{G}}~=~\frac{\textbf{C}_{\textbf{1}}\textbf{t}_{\textbf{1}}\textbf{j}_{\textbf{1}}+\textbf{C}_{\textbf{2}}\textbf{t}_{\textbf{2}}\textbf{j}_{\textbf{2}}+\textbf{C}_{\textbf{3}}\textbf{t}_{\textbf{3}}\textbf{j}_{\textbf{3}}}{\textbf{36~000}}~(1)$

Définition

Le taux moyen de ces trois placements est un taux unique noté t_m, qui applique à l’ensemble de ces trois placements donne le même intérêt global.

Si $\textbf{I}_{\textbf{G}}~=~\frac{\textbf{C}_{\textbf{1}}\textbf{t}_{\textbf{m}}\textbf{j}_{\textbf{1}}+\textbf{C}_{\textbf{2}}\textbf{t}_{\textbf{m}}\textbf{j}_{\textbf{2}}+\textbf{C}_{\textbf{3}}\textbf{t}_{\textbf{m}}\textbf{j}_{\textbf{3}}}{\textbf{36~000}}~(2)$

(1) et (2) sont identiques alors :

$\sum_{k=1}^{3}\textbf{C}_{\textbf{k}}\textbf{t}_{\textbf{k}}\textbf{j}_{\textbf{k}}~=~\sum_{k=1}^{3}\textbf{C}_{\textbf{k}}\textbf{t}_{\textbf{m}}\textbf{j}_{\textbf{k}}~~\Leftrightarrow \textbf{t}_{\textbf{m}}=\frac{\sum_{k=1}^{3}\textbf{C}_{\textbf{k}}\textbf{t}_{\textbf{k}}\textbf{j}_{\textbf{k}}}{\sum_{k=1}^{3}\textbf{C}_{\textbf{k}}\textbf{t}_{\textbf{m}}\textbf{j}_{\textbf{k}}}$

Formule générale :

$\textbf{t}_{\textbf{m}}=\frac{\sum_{\textbf{k=1}}^{\textbf{p}}\textbf{C}_{\textbf{k}}\textbf{t}_{\textbf{k}}\textbf{j}_{\textbf{k}}}{\sum_{\textbf{k=1}}^{\textbf{p}}\textbf{C}_{\textbf{k}}\textbf{j}_{\textbf{k}}}$ Il s’agit de la moyenne arithmétique des taux pondérée par les nombres N_k

5. Intérêt précompté et taux effectif de palcement

Il existe deux manières de paiement des intérêts :

Par un versement unique lors du remboursement final du pret (paiement des intérêts le jour du remboursement du prêt par exemple) on dit que l’intérêt est postcompté.

Par avance au moment du versement du capital (les bons de caisse par exemple), c’est-à-dire paiement des intérêts le jour de la conclusion du contrat de prêt.

Ces deux modes de calcul ne sont pas équivalents du point de vue financier. Le taux effectif dans le deuxième cas est un peu plus élevé.

Définition

On appelle taux effectif de placement le taux d’intérêt simple avec réglement des intérêts lors du remboursement du prêt.

On calcule le taux effectif du placement à chaque fois que les intérêts sont précomptés et que l’intérêt est calculé sur la base de la valeur nominale. Dans ce cas le placement est effectué à un taux effectif différent du taux d’intérêt annoncé qui correspond habituellement à des intérêts versés à la fin du contrat.

Exemple

Un bon d’une valeur nominale de 5 000 dh échéant dans 2 ans se vend à 4 000 dh. Calculer le taux d’intérêt nominal et le taux effectif de ce placement.

Le taux nominal est le taux conventionnel ou encore le taux annoncé. Soit t ce taux annoncé alors :

$\frac{\textbf{5~000}\times \textbf{t}\times \textbf{2}}{\textbf{100}}~=~\textbf{1000~dh}$ ⇒ t=10% donc le taux est de 10%.

Or le rendement annuel réalisé sur ce placement est le taux effectif de placement que l’on note (t_e), tel que :

$\textbf{5~000}=\textbf{4~000}(\textbf{1}+\frac{\textbf{t}_{\textbf{e}}}{\textbf{100}}\times \textbf{2})$

$\textbf{5~000}=\textbf{4~000}+\textbf{80t}_{\textbf{e}}$

t_e = 12,5% ou i_e = 0,125

Autrement dit, on verse immédiatement l’intérêt de ce capital, pour 2 ans, à 10% soit (5000 × 10 × 2)/100 = 1000 dh et les 5000 dh seront rendus à l’acheteur deux après. Tout se passe donc comme si le capital investi de 5000 − 1000 = 4000 dh avait produit en 2 ans un intérêt de 1000 dh.

Si (t_e) est le taux effectif de placement alors :

$\frac{\textbf{4~000}\times \textbf{t}_{\textbf{e}}\times \textbf{2}}{\textbf{100}}~=~\textbf{1000}$

t_e = 12,5%

Utilisation de l’intérêt simple

L’intérêt simple est utilisé dans :

Les opérations à court terme.

Les prêts entre banques ou intermédiaires financiers.

Les comptes courants, les carnets de dépôts.

Les prêts à la consommation accordés par les institutions financières et les escomptes des effets de commerce.

6. Application aux comptes courants et d’intérêts

Définition

Le compte courant est ouvert chez un organisme financier (une banque par exemple). Les fonds sont versés à vue et sont directement exigibles. Le titulaire d’un compte courant peut à tout moment effectuer des versements, des retraits ou des transferts. Le compte courant et d’intérêts est compte courant sur lequel les sommes produisent des intérêts créditeurs ou débiteurs selon le sens de l’opération à partir d’une date dite : date de valeur.

La date de valeur est une date qui diffère la plupart du temps de la date d’opération. C’est la date où l’opération est prise en compte. Dans la plupart des cas, les sommes retirées d’un compte le sont à une date de valeur antérieure à celle de l’opération et les versements le sont à une date souvent postérieure à celle du dépôt ceci joue à l’avantage des intermédiaires financiers.

Il existe plusieurs méthodes pour tenir de tels comptes. Les calculs sont assez fastidieux. L’utilisation de l’outil informatique a rendu caduque la plupart de ces méthodes. Toutefois, la méthode hambourgeoise est la seule encore utilisée par les banques.

Méthode hambourgeoise

Elle permet de connaître l’état et le sens du compte à chaque date. Elle est la seule applicable avec des taux différentiels (le taux débiteur est en général supérieur au taux créditeur). On parle de taux réciproques s’ils sont égaux.

Principe et organisation du travail

A chaque opération est associée une date de valeur.
- Date d’opération : date effective de réalisation de l’opération.
- Date de valeur : date à partir de laquelle on calcule l’intérêt.
- Date de valeur est égale à la date de l’opération majorée ou minorée d’un ou de plusieurs jours (jours de banque) suivant que l’opération est créditrice ou débitrice.

Les opérations sont classées par date de valeur croissante.

2. Les intérêts sont calculés sur le solde du compte, à chaque fois que celui-ci change de valeur.

3. La durée de placement du solde est le nombre de jours séparant sa date de valeur de la date de valeur suivante.

4. A la fin de la période de placement (le trimestre par exemple) on détermine le solde du compte après avoir intégré dans le calcul le solde des intérêts débiteurs et créditeurs et les différentes commissions prélevées pour la tenue de tels comptes.

5. Dans le cas de la réouverture du compte, on retient comme première date de valeur, la date d’arrêté du solde précédent.

6. On peut utiliser pour le calcul soit directement la méthode hambourgeoise soit la méthode des nombres et des diviseurs fixes appliquée à la méthode hambougeoise.

Cas particuliers

Dans certains cas (livret d’épargne et compte sur carnet) les dates de valeurs sont imposées : le premier et le 16 du mois. Les banques appliquent un taux d’intérêt simple pendant le nombre de quinzaines entières civile de placement ainsi :

Pour un dépôt : la date de valeur est le premier ou le 16 du mois qui suit la date de l’opération.
Pour un retrait, la date de valeur est la fin ou le 15 du mois qui précède la date d’opération.

Si q est le nombre de quinzaines, l’intérêt produit un montant C placé pendant q quinzaines entières est :

$\textbf{I}=\frac{\textbf{Ctq}}{\textbf{2~400}}$ ou $\textbf{I}=\frac{\textbf{Ciq}}{\textbf{24}}$

Vous pouvez aussi consulter :