Les intérêts composés cours

Les intérêts composés cours

Cours de mathématiques financières : les intérêts composés. (Sciences Économiques)

1. Définition

Un capital est placé à intérêts composés, lorsque à la fin de chaque période de placement, l’intérêt simple de cette période est ajouté au capital initial pour produire un intérêt simple à son tour pendant la période suivante. On dit que l’intérêt est capitalisé en fin de période.

2. Valeur acquise à intérêts composés

2.1 Le temps de placement est un nombre entier de périodes

Désignons par C0 le capital initial, par n le nombre de périodes, par i le taux par dirham et par période et par Cn le capital définitif acquis à la fin de la nème période.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs acquises en fin de période.

PériodesCapital placé en début de périodeIntérêts payés à la fin de chaque périodeValeur acquise en fin de période
1

2
C0

C1 = C0(1+i)
C0i

C0(1+i)i
C1 = C0 + C0i = C0(1+i)

C2 = C0(1+i) + C0(1+i)i
C2 = C0(1+i)[1+i]
C2 = C0(1+i)2
.
.
.
nCn−1 = C0(1+i)n−1C0(1+i)n−1 iCn = C0(1+i)n−1 + C0(1+i)n−1i
Cn = C0(1+i)n−1 [1+i]
Cn = C0(1+i)n

La formule générale de la valeur acquise à intérêts composés est :

Cn = C0(1+i)n

2.2 Taux équivalents

Soit deux placements définis respectivement par leur taux i1 et i2 et par leurs périodes p1 et p2 les placements sont effectués à taux équivalents s’ils aboutissent, pour un même capital, à la même valeur acquise. Ce qui nous donne :

C(1+i1)p1 = C(1+i2)p2

3. Valeur actuelle à intérêts composés

La valeur actuelle, au taux i par période, d’une somme Cn payable dans n périodes est la somme C0 qui placée actuellement, à intérêts composés, pendant n périodes au taux i donnerait la valeur Cn.

En d’autres termes, la valeur actuelle est la somme qu’il faut placer maintenant à intérêts composés pour obtenir Cn après n périodes de placements.

C0 = Cn(1+i)−n

4. Évaluation d’un capital à une date donnée

Un capital Cp payable à l’époque p peut être facilement évalué à n’importe quelle autre date.

Connaissant C0, on peut calculer :

  • à l’époque n : Cn = C0(1+i)n
  • à l’époque p : Cp = C0(1+i)p
  • à l’époque −n : C−n = C0(1+i)−n

On peut évaluer à l’époque p, par exemple un capital dont on connaît la valeur à l’époque n.

On sait que : Cn = C0(1+i)n

et C0 = Cn(1+i)−n

et Cp = C0(1+i)p

Remplaçons C0 par sa valeur et recalculons Cp.

Cp = Cn(1+i)−n(1+i)p

Cp = Cn(1+i)−n+p

Cp = Cn(1+i)−(n−p)

5. Exemples et utilisation des tables financières

  1. Une somme de 120 000 dh est placée pour 7 ans au taux annuel 9%.

Quelle valeur récupére-t-on à la fin de ce placement ?

La valeur acquise par ce capital est :

C7 = 120 000(1,09)7 = 120 000 × 1,828039→ Table financière 1

C7 = 219 364,68

2. Une personne souhaite disposer dans 4 ans d’une somme de 200 000 dh. Elle place à cet effet, en une seul fois, aujourd’hui, une somme dont-on demande le montant.

Taux d’intérêts composés 7,5% l’année.

La valeur actuelle C0 de cette somme est

C0 = 200 000(1,075)−4 = 200 000 × 0,748 800→ Table financière 2

C0 = 149 760 dh

3. Une somme de 125 000 dh a été placée pour 3 ans à un taux semestriel is. A la fin du placement, cette somme est devenu 153 636,92 dh

Déterminer le taux semestriel de ce placement.

En 3 ans, il y a 3 × 2 = 6 semestres.

Si is et le taux semestriel inconnu, alors :

1250 000 (1 + is)6 = 153 656,92

(1 + is)6 = 1,229 255

is = (1,229 255)1/6 − 1

is = 0,0349999 soit ts = 3,5%

Donc le placement a été effectué à un taux semestriel de 3,5%.

Vous pouvez aussi consulter :

Ayoub Matioui

Economiste de formation et professeur d'économie ; avec l'aide de mon équipe, nous aidons les étudiants et élèves en difficulté concernant la compréhension des cours entretenus en classes. Aussi, nous mettons en place une stratégie d'orientation pour les étudiants souhaitant développer leurs connaissances acquises et voulant se projeter dans le monde de la communication et de l'information.

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