par Cours de mathématiques financières : les intérêts composés. (Sciences Économiques)
1. Définition
Un capital est placé à intérêts composés, lorsque à la fin de chaque période de placement, l’intérêt simple de cette période est ajouté au capital initial pour produire un intérêt simple à son tour pendant la période suivante. On dit que l’intérêt est capitalisé en fin de période.
2. Valeur acquise à intérêts composés
2.1 Le temps de placement est un nombre entier de périodes
Désignons par C0 le capital initial, par n le nombre de périodes, par i le taux par dirham et par période et par Cn le capital définitif acquis à la fin de la nème période.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs acquises en fin de période.
| Périodes | Capital placé en début de période | Intérêts payés à la fin de chaque période | Valeur acquise en fin de période |
|---|---|---|---|
| 1 2 | C0 C1 = C0(1+i) | C0i C0(1+i)i | C1 = C0 + C0i = C0(1+i) C2 = C0(1+i) + C0(1+i)i C2 = C0(1+i)[1+i] C2 = C0(1+i)2 |
| . . . | |||
| n | Cn−1 = C0(1+i)n−1 | C0(1+i)n−1 i | Cn = C0(1+i)n−1 + C0(1+i)n−1i Cn = C0(1+i)n−1 [1+i] Cn = C0(1+i)n |
La formule générale de la valeur acquise à intérêts composés est :
Cn = C0(1+i)n
2.2 Taux équivalents
Soit deux placements définis respectivement par leur taux i1 et i2 et par leurs périodes p1 et p2 les placements sont effectués à taux équivalents s’ils aboutissent, pour un même capital, à la même valeur acquise. Ce qui nous donne :
C(1+i1)p1 = C(1+i2)p2
3. Valeur actuelle à intérêts composés
La valeur actuelle, au taux i par période, d’une somme Cn payable dans n périodes est la somme C0 qui placée actuellement, à intérêts composés, pendant n périodes au taux i donnerait la valeur Cn.
En d’autres termes, la valeur actuelle est la somme qu’il faut placer maintenant à intérêts composés pour obtenir Cn après n périodes de placements.
C0 = Cn(1+i)−n
4. Évaluation d’un capital à une date donnée
Un capital Cp payable à l’époque p peut être facilement évalué à n’importe quelle autre date.
Connaissant C0, on peut calculer :
- à l’époque n : Cn = C0(1+i)n
- à l’époque p : Cp = C0(1+i)p
- à l’époque −n : C−n = C0(1+i)−n
On peut évaluer à l’époque p, par exemple un capital dont on connaît la valeur à l’époque n.
On sait que : Cn = C0(1+i)n
et C0 = Cn(1+i)−n
et Cp = C0(1+i)p
Remplaçons C0 par sa valeur et recalculons Cp.
Cp = Cn(1+i)−n(1+i)p
Cp = Cn(1+i)−n+p
Cp = Cn(1+i)−(n−p)
5. Exemples et utilisation des tables financières
- Une somme de 120 000 dh est placée pour 7 ans au taux annuel 9%.
Quelle valeur récupére-t-on à la fin de ce placement ?
La valeur acquise par ce capital est :
C7 = 120 000(1,09)7 = 120 000 × 1,828039→ Table financière 1
C7 = 219 364,68
2. Une personne souhaite disposer dans 4 ans d’une somme de 200 000 dh. Elle place à cet effet, en une seul fois, aujourd’hui, une somme dont-on demande le montant.
Taux d’intérêts composés 7,5% l’année.
La valeur actuelle C0 de cette somme est
C0 = 200 000(1,075)−4 = 200 000 × 0,748 800→ Table financière 2
C0 = 149 760 dh
3. Une somme de 125 000 dh a été placée pour 3 ans à un taux semestriel is. A la fin du placement, cette somme est devenu 153 636,92 dh
Déterminer le taux semestriel de ce placement.
En 3 ans, il y a 3 × 2 = 6 semestres.
Si is et le taux semestriel inconnu, alors :
1250 000 (1 + is)6 = 153 656,92
(1 + is)6 = 1,229 255
is = (1,229 255)1/6 − 1
is = 0,0349999 soit ts = 3,5%
Donc le placement a été effectué à un taux semestriel de 3,5%.
Vous pouvez aussi consulter :
super utile
étudiant à l’université de Lomé du Togo