Devoir surveillé sur la logique et les fonctions N2

Devoir surveillé sur la logique et les fonctions N2

Devoir surveillé sur la logique et les fonctions numériques N2. (1ère année bac/ 1ère s)

Exercice 1

  1. On considère la proposition suivante : P : (∀x) , 2x2 + 4x + 2 ≠ 0.

Déterminer la négation de la proposition P, puis déduire la valeur de vérité de P.

2. Montrer que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2, a2/a+b 3a−b/4.

3. Montrer que : (∀x ∈ [0, +∞[) , √2x+2 − √x = 1 x = 1.

4. Montrer que : ∀(x, y) ∈ 2, −13x ≠ 3y−6x + 4y ≠ 7(x + y).

5. Résoudre dans l’équation suivante (E) : 3 − 2x − 4= 2x + 5.

6. Montrer que : (∀n) , 2n n + 1.

Exercice 2

Soit ƒ et g les fonctions définies : g(x) = −x2 + 2x + 1 et ƒ(x) = √x−1.

  1. Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions ƒ et g.
  2. Représenter dans le même repère orthonormé ( O , i , j ) les courbes (Cƒ) et (Cg).
  3. Déterminer graphiquement ƒ([1, 2]) et ƒ([2, +∞[).
  4. Résoudre graphiquement l’inéquation : ƒ(x) ≥ g(x)
  5. Soit h la fonction définie par : h(x) = −x + 2 + 2√x−1.
    • Vérifier que : Dh : [1, +∞[.
    • Vérifier que : (∀x ∈ [1, +∞[), h(x) = 2 − (√x−1 − 1)2.
    • Déduire que h est majorée par 2 sur [1, +∞[, est-ce que 2 est le maximum de h ?
    • Montrer que : (∀x ∈ [1, +∞[) , h(x) = (g ο ƒ)(x) , puis déduire la monotonie de h sur chacun des intervalles [1, 2] et [2, +∞[.
    • Dresser le tableau de variations de h sur [1, +∞[.
    • Montrer que : (∀x ∈ [1, 2]) , 1 h(x) ≤ 2

Exercice 3

Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = x + 9/x.

  1. Déterminer Dƒ, puis montrer que la fonction ƒ est impaire.
  2. Montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−9/xy , où x, yDƒ et x ≠ y.
  3. En déduire la monotonie de ƒ sur ]0, 3] et sur [3, +∞[.
  4. Dresser le tableau de variation de ƒ.

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Correction du devoir surveillé sur la logique et les fonctions N2

Exercice 1

  1. On considère la proposition P telle que : P : (∀x) , 2x2 + 4x + 2 ≠ 0.

On a P : (∃x ) , 2x2 + 4x + 2 = 0.

Déduisons la vérité de la proposition P :

On a

2x2 + 4x + 2 = 02(x2 + 2x + 1) = 0 2(x + 1)2 = 0 ⇔(x + 1)2 = 0x = − 1

donc l’équation 2x2 + 4x + 2 = 0 admet unique solution dans est − 1. Ceci signifie que la proposition P est vraie, par conséquent P est fausse.

2. Montrons que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2 , a2/a+b3a−b/4

Soit (a, b) ∈ (]0, +∞[)2, on a

a2/a+b 3a−b/4

a2/a+b − 3a−b/40

4a2−(3a − b)(a + b)/4(a + b) ≥ 0

4a2(3a2 + 3ab − ba − b2)/4(a + b) ≥ 0

4a2−3a2−2ab+b2/4(a + b) ≥ 0

a2−2ab+b2/4(a + b) ≥ 0

⇔ (a − b)2/4(a + b) ≥ 0

et comme (a − b)2/4(a + b) ≥ 0 est une proposition vraie donc

∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2 , a2/a+b 3a−b/4

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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