Devoir surveillé sur la logique et les fonctions numériques N2. (1ère année bac/ 1ère s)
Exercice 1
- On considère la proposition suivante : P : (∀x ∈ ℝ) , 2x2 + 4x + 2 ≠ 0.
Déterminer la négation de la proposition P, puis déduire la valeur de vérité de P.
2. Montrer que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2, a2/a+b ≥ 3a−b/4.
3. Montrer que : (∀x ∈ [0, +∞[) , √2x+2 − √x = 1 ⇔ x = 1.
4. Montrer que : ∀(x, y) ∈ ℝ2, −13x ≠ 3y ⇒ −6x + 4y ≠ 7(x + y).
5. Résoudre dans ℝ l’équation suivante (E) : 3 − 2∣x − 4∣ = 2x + 5.
6. Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , 2n ≥ n + 1.
Exercice 2
Soit ƒ et g les fonctions définies : g(x) = −x2 + 2x + 1 et ƒ(x) = √x−1.
- Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions ƒ et g.
- Représenter dans le même repère orthonormé ( O , i , j ) les courbes (Cƒ) et (Cg).
- Déterminer graphiquement ƒ([1, 2]) et ƒ([2, +∞[).
- Résoudre graphiquement l’inéquation : ƒ(x) ≥ g(x)
- Soit h la fonction définie par : h(x) = −x + 2 + 2√x−1.
- Vérifier que : Dh : [1, +∞[.
- Vérifier que : (∀x ∈ [1, +∞[), h(x) = 2 − (√x−1 − 1)2.
- Déduire que h est majorée par 2 sur [1, +∞[, est-ce que 2 est le maximum de h ?
- Montrer que : (∀x ∈ [1, +∞[) , h(x) = (g ο ƒ)(x) , puis déduire la monotonie de h sur chacun des intervalles [1, 2] et [2, +∞[.
- Dresser le tableau de variations de h sur [1, +∞[.
- Montrer que : (∀x ∈ [1, 2]) , 1 ≤ h(x) ≤ 2
Exercice 3
Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = x + 9/x.
- Déterminer Dƒ, puis montrer que la fonction ƒ est impaire.
- Montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−9/xy , où x, y ∈ Dƒ et x ≠ y.
- En déduire la monotonie de ƒ sur ]0, 3] et sur [3, +∞[.
- Dresser le tableau de variation de ƒ.
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Correction du devoir surveillé sur la logique et les fonctions N2
Exercice 1
- On considère la proposition P telle que : P : (∀x ∈ ℝ) , 2x2 + 4x + 2 ≠ 0.
On a P− : (∃x ∈ ℝ) , 2x2 + 4x + 2 = 0.
Déduisons la vérité de la proposition P :
On a
2x2 + 4x + 2 = 0 ⇔ 2(x2 + 2x + 1) = 0 ⇔ 2(x + 1)2 = 0 ⇔(x + 1)2 = 0 ⇔ x = − 1
donc l’équation 2x2 + 4x + 2 = 0 admet unique solution dans ℝ est − 1. Ceci signifie que la proposition P− est vraie, par conséquent P est fausse.
2. Montrons que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2 , a2/a+b ≥ 3a−b/4
Soit (a, b) ∈ (]0, +∞[)2, on a
a2/a+b ≥ 3a−b/4
⇔ a2/a+b − 3a−b/4 ≥ 0
⇔ 4a2−(3a − b)(a + b)/4(a + b) ≥ 0
⇔ 4a2−(3a2 + 3ab − ba − b2)/4(a + b) ≥ 0
⇔ 4a2−3a2−2ab+b2/4(a + b) ≥ 0
⇔ a2−2ab+b2/4(a + b) ≥ 0
⇔ (a − b)2/4(a + b) ≥ 0
et comme (a − b)2/4(a + b) ≥ 0 est une proposition vraie donc
∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2 , a2/a+b ≥ 3a−b/4
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