Devoir surveillé sur la logique et raisonnement 1 bac

Devoir surveillé sur la logique et raisonnement 1 bac

Devoir surveillé sur la logique et raisonnement 1 bac. (Première s/ 1ère année bac)

Exercice 1
  1. Soient a, b, x et y des réels non nuls.

Montrer que :

ax + by = 11/x2+y2 a2 + b2

2. Montrer que :

∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2, a2 = b + 1√a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1

3. Soient a, b et c des réels.

a) Vérifier que : (a + b)2(a − b)2 = 4ab.

b) Montrer que :

ab∣ ≻ c2/2 ⇒ ∣a−b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c

4. Montrer que :

∀(x, y) ∈ 2*, y ≠ −3/4xx−y/x+y 7

5. n et m deux entiers naturels tels que n est impair et m est pair. Montrer que : n/m.

Exercice 2
  1. Montrer que :

∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)2 , √a+1 − √b+1 < √a − √b ⇔  ab

2. Montrer que :

∀(x, y) ∈ 2, √x2+1 + √y2+1 = 2 ⇔  x = y = 0

3. Soient a et b deux réels non nuls.

a) Montrer que :

(a + 1/a) = (b + 1/b) ⇔ (a = b ou a = 1/b)

b) Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E) : x2 + 1/x2 = 17/4.

Exercice 3
  1. Soit n. On pose : un = (1 + 1)2 × (1 + 1/3)2 × (1 + 1/5)2 × … × (1 + 1/2n+1)2.
    1. Montrer que : ∀n, un+1 = un(1 + 1/2n+3)2.
    2. Montrer que : ∀n, un 2n +3.
  2. Montrer que : (∀n) , 6 divise n(n + 1)(n + 2) .
Exercice 4

Résoudre dans 2 le système suivant :

{ x3 + x2 − 2 = 0 et x2 + xy − y + y2 = 0

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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
  1. Soient (a, b, x, y) ∈ 4*.

On suppose que ax + by = 1, et on montre que : 1/x2+y2 a2 + b2 .

1/x2+y2 − (a2 + b2) = 1−(x2+y2)(a2+b2)/x2+y2

= 1−(a2x2 + b2x2 + a2y2 + y2b2)/x2+y2

= 1−(a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2)/x2+y2

= 1−((ax + by)2 − 2axby + a2y2 + b2x2)/x2+y2

= 1−(1 − 2axby + a2y2+ b2x2)/x2+y2

= 1−1+2axby−a2y2−b2x2/x2+y2

= (a2y2 − 2aybx + b2x2)/x2+y2

= −(ay − bx)2/x2+y2

Donc 1/x2+y2 (a2 + b2) ≤ 0, c’est-à-dire : 1/x2+y2a2 + b2. D’où

ax + by = 11/x2+y2 a2 + b2 .

2. Soit (a, b) ∈ (]0, +∞[)2.

a2 = b + 1

√a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1.

Donc

∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2.  a2 = b + 1√a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1.

3. a) Soient (a, b, c) ∈ 3.

(a + b)2 (a − b)2 = a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2

= 4ab

b) Soient (a, b, c) ∈ 3.

L’assertion : ∣ab∣ ≻ c2/2 ⇒ ∣a − b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c, est équivalente à :

a − b∣ ≤ c et ∣a + b∣ ≤ c ⇒ ∣ab∣ ≤ c2/2 .

On suppose que ∣a − b∣ ≤ c et ∣a + b∣ ≤ c et on montre que : ∣ab∣ ≤ c2/2 .

On a 4ab = (a + b)2(a − b)2 , donc

4ab∣ = ∣(a + b)2 − (a − b)2∣ ≤ ∣a + b2 +a − b2

et comme ∣a + b2c2 et ∣a − b2c2 , alors

∣4ab∣ ≤ 2c2

par suite

ab∣ ≤ c2/2.

Par contraposition ceci équivalent à :

ab∣ ≻ c2/2 ⇒ ∣a−b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c

4. Soit (x, y) ∈ 2*

L’assertion : y ≠ −3/4x x−y/x+y ≠ 7, est équivalent à :

x−y/x+y = 7 ⇒ y = −3/4x

On a

x−y/x+y = 7

⇒  x − y = 7(x + y)

− y − 7y = −x + 7x

−8y = 6x

y = −6x/8

y = −3/4x

Par contraposition ceci équivalent à :

∀(x, y) ∈ 2*, y ≠ −3/4xx−y/x+y 7

5. Soient n et m deux entiers naturels tels que n est impair et m est pair.

On suppose par l’absurde que : n/m. Donc

p, n/m = p

Alors n = p.m, ce qui est contradictoire puisque n est impair et m.p est pair. Donc

n/m

Exercice 2
  1. Soient (a, b) ∈ ([0, +∞[)2 .
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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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