Logique et raisonnement exercices corrigés 1 bac

Logique et raisonnement exercices corrigés 1 bac. (première s/ 1ère année bac)

Exercice 1 (Logique et raisonnement exercices corrigés 1 bac)

Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des assertions suivantes :

1. ∀x ∈ [−1, 0], −3x² + 5x + 2 < 0.
2. (∃x ∈ ℝ) , (∀x ∈ ℝ) , x − 2y < 0.
3. (∃x ∈ ℝ) , (∀x ∈ ℝ) , x < y².
4. (∀x ∈ ℝ) , (∃y ∈ ℝ) , x + y ≻ 0.

Exercice 2

1. Montrer que : ∀(x, y) ∈ ([1, +∞[)², x ≠ y ⇒ (x − 1)√x+1 ≠ (y − 1)√y+1.
2. Montrer que : ∀(x, y) ∈ ℝ², (x + √x²+1)(y+√y²+1) = 1 ⇔  x + y = 0.
3. Montrer que : ∀(a, b, c) ∈ ℝ³, a² + b² = c² ⇒ ∣a∣ ≤ ∣c∣ et ∣b∣ ≤ ∣c∣.
4. Montrer que : ∀x ∈ ℝ*, ∣1 + 1/x∣ ≤ √2√x²+1/x² .
5. Montrer que : ∀x ∈ ℝ*, √∣x∣/2 + √1/2∣x∣ ≤ √∣x∣+1/∣x∣.

Exercice 3  

1. Soit n ∈ ℕ*. Montrer que si n est un carré parfait, alors 2n ne peut pas être un carré parfait.
2. Soit n ∈ ℕ. Montrer que : 3 divise n² ⇔ 3 divise n.
3. Montrer que : √3 ∉ ℚ.
4. Soit n ∈ ℕ. Montrer que : √4n²+5n+3 ∉ ℕ.
5. Montrer que : ∀(a, b, c, d) ∈ ℚ⁴. n + √2m = p + √2q ⇔ (n = p et m = q).

Exercice 4 (Logique et raisonnement exercices corrigés 1 bac)

1. Résoudre dans ℝ l’équation suivante (E) : ∣2x² − x − 6∣ − ∣x + 1∣ − 1 = 0.
2. Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes (I) et (I′) :

(I) : √x²+1 − 2x + 1 ≤ 0 ; (I′) : √x−1 ≥ x − 7

Exercice 5

1. Montrer que : (∀n ≥ 5) , n² < 2ⁿ.
2. Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , ∑ⁿ_k=1 k² = n(n+1)(2n+1)/6.
3. Montrer que : (∀a ∈ ℝ* ∖ {−1}) , (∀n ∈ ℕ) , ∑²ⁿ_k=0 (−1)^ka^k = a²ⁿ⁺¹+1/a+1 .
4. Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , 11 divise 3²ⁿ + 2⁶ⁿ⁻⁵.

Exercice 6

1. Montrer que : (∀n ∈ ℕ*) , n(n − 1)(n − 2) × … × 3 × 2 × 1 ≥ 2ⁿ⁻¹.
2. On pose : (∀n ∈ ℕ) , S_n = 1 + 2 + 2² + … + 2ⁿ.

Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , S_n = 2ⁿ⁺¹ − 1.

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Correction de la série d’exercices sur la logique et raisonnement

Exercice 1

∎ La proposition P₁ est vraie (par exemple 7 ∈ ℕ et 7² > 7).

∎ La proposition P₂ est vraie, il suffit de prendre x = 0 et on trouve ∣0∣ ≤ 0.

∎ On a 0 ∈ ℝ⁺ mais 0 + √0 = 0 < 2, alors la proposition P₃ est fausse.

∎ On a − 1 ∈ ℝ* mais − 1+ 1/−1 < 2, alors la proposition P₄ est fausse.

∎ Puisque les solutions de l’équation x² = 9 sont −3 et 3 et comme −3 ∈ ℚ et 3 ∈ ℚ, alors la proposition P₅ est vraie.

∎ Soit x ∈ ℤ, existe-t-il y dans ℤ tel que : x − y = 3 ?

on a : x − y = 3 alors y = x − 3 ∈ ℤ. Donc la proposition P₆ est vraie.

∎ Soit x ∈ ℝ, existe-t-il y dans ]−∞, 1[ tel que : 3x²y − x + y = 0 ?

On a

3x²y − x + y = 0

⇔ y(3x² + 1) = x

⇔ y = x/3x²+1

il reste à montrer que y < 1

On a

y − 1 = x/3x²+1 − 1

= x−3x²−1/3x²+1

= − (3x²−x+1/3x²+1)

on a (∀x ∈ ℝ) , 3x² − x + 1 > 0 (car ∆ = − 11 et a > 0 (a = 3)) et 3x² + 1 > 0 donc y − 1 < 0 c’est-à-dire y < 1, par suite la proposition P₇ est vraie.

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Devoir surveillé sur la logique et raisonnement 1 bac

Exercice 1

1. Soient a, b, x et y des réels non nuls.

Montrer que :

ax + by = 1 ⇒ 1/x²+y² ≤ a² + b²

2. Montrer que :

∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)², a² = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1

3. Soient a, b et c des réels.

a) Vérifier que : (a + b)² − (a − b)² = 4ab.

b) Montrer que :

∣ab∣ ≻ c²/2 ⇒ ∣a−b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c

4. Montrer que :

∀(x, y) ∈ ℝ²_*, y ≠ −3/4x ⇒ x−y/x+y ≠ 7

5. n et m deux entiers naturels tels que n est impair et m est pair. Montrer que : n/m ∉ ℕ.

Exercice 2

1. Montrer que :

∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)² , √a+1 − √b+1 < √a − √b ⇔  a ≻ b

2. Montrer que :

∀(x, y) ∈ ℝ², √x²+1 + √y²+1 = 2 ⇔  x = y = 0

3. Soient a et b deux réels non nuls.

a) Montrer que :

(a + 1/a) = (b + 1/b) ⇔ (a = b ou a = 1/b)

b) Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E) : x² + 1/x² = 17/4.

Exercice 3

1. Soit n ∈ ℕ. On pose : u_n = (1 + 1)² × (1 + 1/3)² × (1 + 1/5)² × … × (1 + 1/2n+1)².
   1. Montrer que : ∀n ∈ ℕ, u_n+1 = u_n(1 + 1/2n+3)².
   2. Montrer que : ∀n ∈ ℕ, u_n ≻ 2n +3.
2. Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , 6 divise n(n + 1)(n + 2) .

Exercice 4

Résoudre dans ℝ² le système suivant :

{ x³ + x² − 2 = 0 et x² + xy − y + y² = 0

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

1. Soient (a, b, x, y) ∈ ℝ⁴_*.

On suppose que ax + by = 1, et on montre que : 1/x²+y² ≤ a² + b² .

1/x²+y² − (a² + b²) = 1−(x²+y²)(a²+b²)/x²+y²

= 1−(a²x² + b²x² + a²y² + y²b²)/x²+y²

= 1−(a²x² + b²y² + a²y² + b²x²)/x²+y²

= 1−((ax + by)² − 2axby + a²y² + b²x²)/x²+y²

= 1−(1 − 2axby + a²y²+ b²x²)/x²+y²

= 1−1+2axby−a²y²−b²x²/x²+y²

= −(a²y² − 2aybx + b²x²)/x²+y²

= −(ay − bx)²/x²+y²

Donc 1/x²+y² − (a² + b²) ≤ 0, c’est-à-dire : 1/x²+y² ≤ a² + b². D’où

ax + by = 1 ⇒ 1/x²+y² ≤ a² + b² .

2. Soit (a, b) ∈ (]0, +∞[)².

a² = b + 1

⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1.

Donc

∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)².  a² = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1.

3. a) Soient (a, b, c) ∈ ℝ³.

(a + b)² − (a − b)² = a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b²

= 4ab

b) Soient (a, b, c) ∈ ℝ³.

L’assertion : ∣ab∣ ≻ c²/2 ⇒ ∣a − b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c, est équivalente à :

∣a − b∣ ≤ c et ∣a + b∣ ≤ c ⇒ ∣ab∣ ≤ c²/2 .

On suppose que ∣a − b∣ ≤ c et ∣a + b∣ ≤ c et on montre que : ∣ab∣ ≤ c²/2 .

On a 4ab = (a + b)² − (a − b)² , donc

∣4ab∣ = ∣(a + b)² − (a − b)²∣ ≤ ∣a + b∣² + ∣a − b∣²

et comme ∣a + b∣² ≤ c² et ∣a − b∣² ≤ c² , alors

∣4ab∣ ≤ 2c²

par suite

∣ab∣ ≤ c²/2.

Par contraposition ceci équivalent à :

∣ab∣ ≻ c²/2 ⇒ ∣a−b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c

4. Soit (x, y) ∈ ℝ²_*

L’assertion : y ≠ −3/4x ⇒ x−y/x+y ≠ 7, est équivalent à :

x−y/x+y = 7 ⇒ y = −3/4x

On a

x−y/x+y = 7

⇒  x − y = 7(x + y)

⇒ − y − 7y = −x + 7x

⇒ −8y = 6x

⇒ y = −6x/8

⇒ y = −3/4x

Par contraposition ceci équivalent à :

∀(x, y) ∈ ℝ²_*, y ≠ −3/4x ⇒ x−y/x+y ≠ 7

5. Soient n et m deux entiers naturels tels que n est impair et m est pair.

On suppose par l’absurde que : n/m ∈ ℕ. Donc

∃p ∈ ℕ, n/m = p

Alors n = p.m, ce qui est contradictoire puisque n est impair et m.p est pair. Donc

n/m ∉ ℕ

Exercice 2

1. Soient (a, b) ∈ ([0, +∞[)² .

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Devoir maison logique et raisonnement

Exercice 1 (Les deux questions sont indépendantes)

1. On considère les deux assertions :

P : (∀x ∈ ℝ⁺) , x ≥ 2√x − 1 et Q : (∀y ∈ ℝ)(∃x ∈ ℝ) , xy ≠ x.

a) Donner la négation de P et Q.

b) Montrer que P est vraie et Q est fausse.

2. Donner la négation des assertions suivantes :

R : (∀x ∈ ℝ)(∃k ∈ ℤ) , k ≤ x < x + 1 et F : ∀(α, β) ∈ ℝ², (α − β > 1 ⇒ ∃n ∈ ℤ, α < n < β)

Exercice 2 (Les questions sont indépendantes)

1. Montrer que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)², a² = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a + 1) = 1.
2. Montrer par la contraposée que : (∀n ∈ ℕ) , n²/3 ∈ ℕ ⇒ n/3 ∈ ℕ.
3. Soit x ∈ ℝ⁺, montrer que : √x/x²−x+1 ≤ 4/3√x.
4. Soit n ∈ ℕ, montrer que : √4n²+5n+3 ∉ ℕ.

Exercice 3 (Les questions sont indépendantes)

1. Résoudre dans ℝ l’inéquation : (I) : √x−1 ≥ x − 7.
2. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , x⁶ − x⁵ + x⁴ − x³ + x² − x + 3/4 > 0. (Étudier : x ≤ 0, 0 < x < 1 et x ≥ 1).
3. Montrer que : (n ∈ ℕ*) , 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1)².

Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

ƒ(x) = √(∣x∣ − 2)∣x∣ , { ƒ(x) = 3x+1/√x+2 , si x ≤ 1 et ƒ(x) = x²/2x−1 , si x > 1 et ƒ(x) = x−1/x²+x+m , (m est un paramètre)

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Correction du devoir maison

Exercice 1

1. On considère les deux assertions :

P : (∀x ∈ ℝ⁺) , x ≥ 2√x − 1 et Q : (∀y ∈ ℝ)(∃x ∈ ℝ) , xy ≠ x.

a) La négation de P et Q.

∴ La négation de P est : P⁻: (∃x ∈ ℝ⁺), x < 2√x − 1.

∴ La négation de Q est : Q⁻: (∃y ∈ ℝ)(∀x ∈ ℝ) , xy = x.

b) Montrons que P est vraie et Q est fausse.

∴ Soit x ∈ ℝ⁺.

On a

x ≥ 2√x − 1 ⇔ √x² − 2√x + 1 ≥ 0 ⇔ (√x − 1)² ≥ 0

comme l’assertion (√x − 1)² ≥ 0 est vraie pour tout x ∈ ℝ⁺, ce qui signifie que l’assertion P est vraie.

∴ Si y = 1, on obtient l’égalité : x = x qui est vraie pour tout x ∈ ℝ, alors l’assertion Q⁻ est vraie, par suite l’assertion Q est fausse.

2. La négation des assertions R et F.

∴ La négation de l’assertion R est : R⁻ : (∃x ∈ ℝ)(∀k ∈ ℤ), k > x ou x ≥ x + 1.

∴ La négation de l’assertion F est : F⁻ : ∃(α, β) ∈ ℝ², α − β > 1 et (∀n ∈ ℤ, α ≥ n ou n ≥ β).

Exercice 2

1. Montrons que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)², a² = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a + 1) = 1.
2. Montrons par la contraposée que : (∀n ∈ ℕ) , n²/3 ∈ ℕ ⇒ n/3 ∈ ℕ.

Soit n ∈ ℕ.

L’assertion : n²/3 ∈ ℕ ⇒ n/3 ∈ ℕ est équivalente : n/3 ∉ ℕ ⇒ n²/3 ∉ ℕ.

On suppose que n/3 ∉ ℕ. On va distinguer deux cas lorsque n = 3k + 1 ou n = 3k + 2 tel que k ∈ ℕ.

∴ Si n = 3k + 1, alors

n² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1

On pose p = 3k² + 2k ∈ ℕ. On obtient : n² = 3p + 1. Donc ceci signifie que 3 ne divise pas n². (c’est-à-dire : n²/3 ∉ ℕ).

∴ Si n = 3k + 2, alors

n² = (3k + 2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1

On pose p′ = 3k² + 4k + 1 ∈ ℕ. On obtient : n² = 3p′ + 1. Donc ceci signifie que 3 ne divise pas n². (c’est-à-dire : n²/3 ∉ ℕ).

On conclut que dans tous les deux cas n²/3 ∉ ℕ. Ceci signifie que : n/3 ∉ ℕ ⇒ n²/3 ∉ ℕ. Donc par contraposition ceci est équivalente à :

(∀n ∈ ℕ) , n²/3 ∈ ℕ ⇒ n/3 ∈ ℕ.

3. Soit x ∈ ℝ⁺, montrer que : √x/x²−x+1 ≤ 4/3√x.

4. Soit n ∈ ℕ. Montrons que : √4n²+5n+3 ∉ ℕ.

On suppose par l’absurde que √4n²+5n+3 ∈ ℕ. Alors

∃m ∈ ℕ, √4n²+5n+3 = m

Donc

4n² + 5n + 3 = m²

On a : (2n + 1)² < 4n² + 5n + 3 et 4n² + 5n + 3 < (2n + 2)². C’est-à-dire

(2n + 1)² < 4n² + 5n + 3 < (2n + 2)²

donc

(2n + 1) < √4n²+5n+3 < (2n + 2)

d’où

(2n + 1) < m < (2n + 2).

C’est une contradiction car on peut pas avoir un entier strictement compris entre deux entiers consécutifs (2n + 1) et (2n + 2).

Ceci signifie que

(∀n ∈ ℕ) , √4n²+5n+3 ∉ ℕ.

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• Logique et raisonnement 1 bac cours
• Les suites numériques 1 bac exercices corrigés