Logique et raisonnement exercices corrigés 1 bac

Logique et raisonnement exercices corrigés 1 bac

Logique et raisonnement exercices corrigés 1 bac. (première s/ 1ère année bac)

Exercice 1

Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des assertions suivantes :

  1. x ∈ [−1, 0], −3x2 + 5x + 2 < 0.
  2. (∃x) , (∀x) , x − 2y < 0.
  3. (∃x ) , (∀x) , x < y2.
  4. (∀x) , (∃y) , x + y 0.
Exercice 2
  1. Montrer que : ∀(x, y) ∈ ([1, +∞[)2, x ≠ y ⇒ (x − 1)√x+1 ≠ (y − 1)√y+1.
  2. Montrer que : ∀(x, y) ∈ 2, (x + √x2+1)(y+√y2+1) = 1 ⇔  x + y = 0.
  3. Montrer que : ∀(a, b, c) ∈ 3, a2 + b2 = c2 ⇒ ∣a∣ ≤ ∣c∣ et ∣b∣ ≤ ∣c∣.
  4. Montrer que : ∀x*, ∣1 + 1/x∣ ≤ √2√x2+1/x2 .
  5. Montrer que : ∀x*, √∣x∣/2 + √1/2x∣ ≤ √∣x∣+1/∣x∣.
Exercice 3  
  1. Soit n*. Montrer que si n est un carré parfait, alors 2n ne peut pas être un carré parfait.
  2. Soit n. Montrer que : 3 divise n2 ⇔ 3 divise n.
  3. Montrer que : √3.
  4. Soit n. Montrer que : √4n2+5n+3.
  5. Montrer que : ∀(a, b, c, d) ∈ 4. n + √2m = p + √2q ⇔ (n = p et m = q).
Exercice 4
  1. Résoudre dans l’équation suivante (E) : ∣2x2 − x − 6∣ − ∣x + 1− 1 = 0.
  2. Résoudre dans les inéquations suivantes (I) et (I′) :

(I) : √x2+1 − 2x + 10 ; (I′) : √x−1 x − 7

Exercice 5
  1. Montrer que : (∀n5) , n2 < 2n.
  2. Montrer que : (∀n ) , ∑nk=1 k2 = n(n+1)(2n+1)/6.
  3. Montrer que : (∀a* ∖ {−1}) , (∀n) , ∑2nk=0 (−1)kak = a2n+1+1/a+1 .
  4. Montrer que : (∀n ) , 11 divise 32n + 26n−5.
Exercice 6
  1. Montrer que : (∀n*) , n(n − 1)(n − 2) × … × 3 × 2 × 12n−1.
  2. On pose : (∀n ) , Sn = 1 + 2 + 22 + … + 2n.

Montrer que : (∀n) , Sn = 2n+1 − 1.

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Devoir surveillé sur la logique et raisonnement

Exercice 1
  1. Soient a, b, x et y des réels non nuls.

Montrer que :

ax + by = 11/x2+y2 a2 + b2

2. Montrer que :

∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2, a2 = b + 1√a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1

3. Soient a, b et c des réels.

a) Vérifier que : (a + b)2(a − b)2 = 4ab.

b) Montrer que :

ab∣ ≻ c2/2 ⇒ ∣a−b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c

4. Montrer que :

∀(x, y) ∈ 2*, y ≠ −3/4xx−y/x+y 7

5. n et m deux entiers naturels tels que n est impair et m est pair. Montrer que : n/m.

Exercice 2
  1. Montrer que :

∀(a, b) ∈ ([0, +∞[)2 , √a+1 − √b+1 < √a − √b ⇔  ab

2. Montrer que :

∀(x, y) ∈ 2, √x2+1 + √y2+1 = 2 ⇔  x = y = 0

3. Soient a et b deux réels non nuls.

a) Montrer que :

(a + 1/a) = (b + 1/b) ⇔ (a = b ou a = 1/b)

b) Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E) : x2 + 1/x2 = 17/4.

Exercice 3
  1. Soit n. On pose : un = (1 + 1)2 × (1 + 1/3)2 × (1 + 1/5)2 × … × (1 + 1/2n+1)2.
    1. Montrer que : ∀n, un+1 = un(1 + 1/2n+3)2.
    2. Montrer que : ∀n, un 2n +3.
  2. Montrer que : (∀n) , 6 divise n(n + 1)(n + 2) .
Exercice 4

Résoudre dans 2 le système suivant :

{ x3 + x2 − 2 = 0 et x2 + xy − y + y2 = 0

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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
  1. Soient (a, b, x, y) ∈ 4*.

On suppose que ax + by = 1, et on montre que : 1/x2+y2 a2 + b2 .

1/x2+y2 − (a2 + b2) = 1−(x2+y2)(a2+b2)/x2+y2

= 1−(a2x2 + b2x2 + a2y2 + y2b2)/x2+y2

= 1−(a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2)/x2+y2

= 1−((ax + by)2 − 2axby + a2y2 + b2x2)/x2+y2

= 1−(1 − 2axby + a2y2+ b2x2)/x2+y2

= 1−1+2axby−a2y2−b2x2/x2+y2

= (a2y2 − 2aybx + b2x2)/x2+y2

= −(ay − bx)2/x2+y2

Donc 1/x2+y2 (a2 + b2) ≤ 0, c’est-à-dire : 1/x2+y2a2 + b2. D’où

ax + by = 11/x2+y2 a2 + b2 .

2. Soit (a, b) ∈ (]0, +∞[)2.

a2 = b + 1

√a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1.

Donc

∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2.  a2 = b + 1√a−√b+√a+√b/√2(a+1) = 1.

3. a) Soient (a, b, c) ∈ 3.

(a + b)2 (a − b)2 = a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2

= 4ab

b) Soient (a, b, c) ∈ 3.

L’assertion : ∣ab∣ ≻ c2/2 ⇒ ∣a − b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c, est équivalente à :

a − b∣ ≤ c et ∣a + b∣ ≤ c ⇒ ∣ab∣ ≤ c2/2 .

On suppose que ∣a − b∣ ≤ c et ∣a + b∣ ≤ c et on montre que : ∣ab∣ ≤ c2/2 .

On a 4ab = (a + b)2(a − b)2 , donc

4ab∣ = ∣(a + b)2 − (a − b)2∣ ≤ ∣a + b2 +a − b2

et comme ∣a + b2c2 et ∣a − b2c2 , alors

∣4ab∣ ≤ 2c2

par suite

ab∣ ≤ c2/2.

Par contraposition ceci équivalent à :

ab∣ ≻ c2/2 ⇒ ∣a−b∣ ≻ c ou ∣a + b∣ ≻ c

4. Soit (x, y) ∈ 2*

L’assertion : y ≠ −3/4x x−y/x+y ≠ 7, est équivalent à :

x−y/x+y = 7 ⇒ y = −3/4x

On a

x−y/x+y = 7

⇒  x − y = 7(x + y)

− y − 7y = −x + 7x

−8y = 6x

y = −6x/8

y = −3/4x

Par contraposition ceci équivalent à :

∀(x, y) ∈ 2*, y ≠ −3/4xx−y/x+y 7

5. Soient n et m deux entiers naturels tels que n est impair et m est pair.

On suppose par l’absurde que : n/m. Donc

p, n/m = p

Alors n = p.m, ce qui est contradictoire puisque n est impair et m.p est pair. Donc

n/m

Exercice 2
  1. Soient (a, b) ∈ ([0, +∞[)2 .
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Devoir maison logique et raisonnement

Exercice 1 (Les deux questions sont indépendantes)
  1. On considère les deux assertions :

P : (∀x+) , x2√x − 1 et Q : (∀y)(∃x) , xy ≠ x.

a) Donner la négation de P et Q.

b) Montrer que P est vraie et Q est fausse.

2. Donner la négation des assertions suivantes :

R : (∀x )(∃k) , kx < x + 1 et F : ∀(α, β) ∈ 2, (α − β > 1 ⇒ ∃n , α < n < β)

Exercice 2 (Les questions sont indépendantes)
  1. Montrer que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2, a2 = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a + 1) = 1.
  2. Montrer par la contraposée que : (∀n) , n2/3 ⇒ n/3.
  3. Soit x +, montrer que : √x/x2−x+1 4/3√x.
  4. Soit n, montrer que : √4n2+5n+3.
Exercice 3 (Les questions sont indépendantes)
  1. Résoudre dans l’inéquation : (I) : √x−1x − 7.
  2. Montrer que : (∀x) , x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 3/4 > 0. (Étudier : x 0, 0 < x < 1 et x1).
  3. Montrer que : (n *) , 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1)2.
Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

ƒ(x) = √(∣x− 2)∣x∣ , { ƒ(x) = 3x+1/√x+2 , si x 1 et ƒ(x) = x2/2x−1 , si x > 1 et ƒ(x) = x−1/x2+x+m , (m est un paramètre)

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Correction du devoir maison

Exercice 1
  1. On considère les deux assertions :

P : (∀x+) , x2√x − 1 et Q : (∀y)(∃x) , xy ≠ x.

a) La négation de P et Q.

∴ La négation de P est : P: (∃x +), x < 2√x − 1.

∴ La négation de Q est : Q: (∃y)(∀x) , xy = x.

b) Montrons que P est vraie et Q est fausse.

∴ Soit x+.

On a

x2√x − 1 √x2 − 2√x + 10 ⇔ (√x − 1)20

comme l’assertion (√x − 1)20 est vraie pour tout x+, ce qui signifie que l’assertion P est vraie.

∴ Si y = 1, on obtient l’égalité : x = x qui est vraie pour tout x, alors l’assertion Q est vraie, par suite l’assertion Q est fausse.

2. La négation des assertions R et F.

∴ La négation de l’assertion R est : R : (∃x )(∀k), k > x ou x x + 1.

∴ La négation de l’assertion F est : F : ∃(α, β) ∈ 2, α − β > 1 et (∀n, αn ou nβ).

Exercice 2
  1. Montrons que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2, a2 = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a + 1) = 1.
  2. Montrons par la contraposée que : (∀n) , n2/3n/3.

Soit n.

L’assertion : n2/3 n/3 est équivalente : n/3 n2/3 .

On suppose que n/3. On va distinguer deux cas lorsque n = 3k + 1 ou n = 3k + 2 tel que k .

∴ Si n = 3k + 1, alors

n2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1

On pose p = 3k2 + 2k . On obtient : n2 = 3p + 1. Donc ceci signifie que 3 ne divise pas n2. (c’est-à-dire : n2/3).

∴ Si n = 3k + 2, alors

n2 = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k + 1) + 1

On pose p′ = 3k2 + 4k + 1 . On obtient : n2 = 3p′ + 1. Donc ceci signifie que 3 ne divise pas n2. (c’est-à-dire : n2/3 ).

On conclut que dans tous les deux cas n2/3. Ceci signifie que : n/3n2/3. Donc par contraposition ceci est équivalente à :

(∀n) , n2/3n/3.

3. Soit x +, montrer que : √x/x2−x+14/3√x.

4. Soit n. Montrons que : √4n2+5n+3.

On suppose par l’absurde que √4n2+5n+3. Alors

m, √4n2+5n+3 = m

Donc

4n2 + 5n + 3 = m2

On a : (2n + 1)2 < 4n2 + 5n + 3 et 4n2 + 5n + 3 < (2n + 2)2. C’est-à-dire

(2n + 1)2 < 4n2 + 5n + 3 < (2n + 2)2

donc

(2n + 1) < √4n2+5n+3 < (2n + 2)

d’où

(2n + 1) < m < (2n + 2).

C’est une contradiction car on peut pas avoir un entier strictement compris entre deux entiers consécutifs (2n + 1) et (2n + 2).

Ceci signifie que

(∀n) , √4n2+5n+3 .

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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