Les applications 1 bac sm exercices corrigés

Les applications 1 bac sm exercices corrigés

Les applications 1 bac sm exercices corrigés. (1ère année bac sm/ Bac+1)

Exercice 1
  1. Résoudre dans l’équation : x4 − 3x2 − 4 = 0.
  2. On considère l’application :

ƒ : → 

x →  x4 − 3x2 − 10

a) Déterminer ƒ−1({−6}). Que peut-on en déduire ?

b) Déterminer ƒ () . L’application ƒ est-elle surjective ? Justifier.

Exercice 2

On considère l’application :

ƒ : → 

x →  x3 + x + 2

  1. Montrer que l’application ƒ est injective.
    1. Calculer ƒ (−1).
    2. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation : ƒ(x) = 0, x.
Exercice 3

On considère l’application :

ƒ : [1, +∞[ →    

x1/x 

  1. a) Montrer que pour tout x et x′ de [1, +∞[ :

x.x′ ⇒  x = x′ = 1

b) En déduire que ƒ est injective.

2. a) Vérifier que : (∀x ∈ [1, +∞[) , ƒ(x) ≥ 2.

b) L’application ƒ est-elle surjective ?

3. Déterminer un intervalle J de pour lequel ƒ réalise une bijection de [1, +∞[ sur J.

Exercice 4
  1. Soient q1 ∖ {0, 1} et q2 ∖ {0, 1}.

Montrer que :

−1/21/q1 − 1/q21/2

2. Soit ƒ : × ∖ {0, 1} →  l’application définie par :

ƒ (p, q) = p + 1/q

a) Montrer que ƒ est injective.

b) ƒ est-elle surjective ?

Exercice 5

On considère l’application :

ƒ : ∖ {−1} →

x →  x2+2x/x2+2x+1

    1. Montrer que : (∀x ∖ {−1}) , ƒ(x) < 1.
    2. En déduire que ƒ n’est pas surjective.
    1. Montrer que : (∀x ∖ {−1}) , ƒ(−x −2) = ƒ(x).
    2. L’application ƒ est-elle injective ?
  1. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle  ]−1, +∞[.
    1. Montrer que g réalise une bijection de ]−1, +∞[ sur l’intervalle ]−∞, 1[.
    2. Déterminer g−1(x) pour tout x ∈ ]−∞, 1[.
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Devoir surveillé sur les applications

Exercice 1
  1. Montrer que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 12√x+1 − x 2.
  2. On considère l’application suivante :

ƒ : [−1, 0] → [1, 2]  

x2√x+1 − x

a) Vérifier que : (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ(x) = 2 − (√x+1 − 1)2.

b) Montrer que l’application ƒ est bijective et donner sa bijection réciproque ƒ−1.

Exercice 2

On considère l’application :

ƒ : → 

x →  2x/x2+1

    1. Vérifier que : (∀x*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
    2. L’application ƒ est-elle injective ? Justifier- votre réponse.
  1. Montrer que : (∀x) , ∣ƒ(x)∣ ≤ 1. L’application ƒ est-elle surjective ?
Exercice 3
  1. Montrer que : (∀x ∈ [0, 1]) , 0√x/√x+√1−x1.
  2. On considère l’application :

ƒ : [0, 1] → [0, 1]  

x√x/√x+√1−x

Montrer que ƒ est bijective et expliciter ƒ−1 sa bijection réciproque.

Exercice 4

Soit ƒ l’application définie de dans *+ .

ƒ(x) = 1/x2−2x+2

  1. Montrer que ƒ n’est pas injective.
  2. Montrer que : ƒ() = ]0, 1].
  3. L’application ƒ est-elle surjective ? Justifier.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
  1. Montrons que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 12√x+1 − x 2.

Soit x ∈ [−1, 0].

12√x+1 − x2

⇔ x + 12√x+1x + 2

⇔ (x + 1)2 ≤ (2√x+1)2≤ (x + 2)2 

⇔ (x + 1)2 − 4(x + 1) ≤ 0 et 0 ≤ (x + 2)2 (2√x+1)2

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0x2 + 4x + 4 − 4x − 4

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0x2

Comme (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0x2 pour tout x de [−1, 0] . Alors :

(∀x ∈ [−1, 0]) , 12√x+1 − x 2.

2. On considère l’application suivante :

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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