Les applications 1 bac sm exercices corrigés

Les applications 1 bac sm exercices corrigés. (1ère année bac sm/ Bac+1)

Exercice 1 (Les applications 1 bac sm exercices corrigés)

1. Résoudre dans ℝ l’équation : x⁴ − 3x² − 4 = 0.
2. On considère l’application :

ƒ : ℝ → ℝ

x →  x⁴ − 3x² − 10

a) Déterminer ƒ⁻¹({−6}). Que peut-on en déduire ?

b) Déterminer ƒ (ℝ) . L’application ƒ est-elle surjective ? Justifier.

Exercice 2

On considère l’application :

ƒ : ℝ → ℝ

x →  x³ + x + 2

1. Montrer que l’application ƒ est injective.
2. 1. Calculer ƒ (−1).
   2. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation : ƒ(x) = 0, x ∈ ℝ.

Exercice 3 (Les applications 1 bac sm exercices corrigés)

On considère l’application :

ƒ : [1, +∞[ → ℝ    

x → 1/x 

1. a) Montrer que pour tout x et x′ de [1, +∞[ :

x.x′ ⇒  x = x′ = 1

b) En déduire que ƒ est injective.

2. a) Vérifier que : (∀x ∈ [1, +∞[) , ƒ(x) ≥ 2.

b) L’application ƒ est-elle surjective ?

3. Déterminer un intervalle J de ℝ pour lequel ƒ réalise une bijection de [1, +∞[ sur J.

Exercice 4

1. Soient q₁ ∈ ℕ ∖ {0, 1} et q₂ ∈ ℕ ∖ {0, 1}.

Montrer que :

−1/2 ≤ 1/q₁ − 1/q₂ ≤ 1/2

2. Soit ƒ : ℤ × ℕ ∖ {0, 1} → ℚ l’application définie par :

ƒ (p, q) = p + 1/q

a) Montrer que ƒ est injective.

b) ƒ est-elle surjective ?

Exercice 5

On considère l’application :

ƒ : ℝ ∖ {−1} → ℝ

x →  x²+2x/x²+2x+1

1. 1. Montrer que : (∀x ∈ ℝ ∖ {−1}) , ƒ(x) < 1.
   2. En déduire que ƒ n’est pas surjective.
2. 1. Montrer que : (∀x ∈ ℝ ∖ {−1}) , ƒ(−x −2) = ƒ(x).
   2. L’application ƒ est-elle injective ?
3. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle  ]−1, +∞[.
   1. Montrer que g réalise une bijection de ]−1, +∞[ sur l’intervalle ]−∞, 1[.
   2. Déterminer g⁻¹(x) pour tout x ∈ ]−∞, 1[.

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Devoir surveillé sur les applications

Exercice 1

1. Montrer que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.
2. On considère l’application suivante :

ƒ : [−1, 0] → [1, 2]  

x → 2√x+1 − x

a) Vérifier que : (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ(x) = 2 − (√x+1 − 1)².

b) Montrer que l’application ƒ est bijective et donner sa bijection réciproque ƒ⁻¹.

Exercice 2

On considère l’application :

ƒ : ℝ → ℝ

x →  2x/x²+1

1. 1. Vérifier que : (∀x ∈ ℝ*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
   2. L’application ƒ est-elle injective ? Justifier- votre réponse.
2. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ∣ƒ(x)∣ ≤ 1. L’application ƒ est-elle surjective ?

Exercice 3

1. Montrer que : (∀x ∈ [0, 1]) , 0 ≤ √x/√x+√1−x ≤ 1.
2. On considère l’application :

ƒ : [0, 1] → [0, 1]  

x → √x/√x+√1−x

Montrer que ƒ est bijective et expliciter ƒ⁻¹ sa bijection réciproque.

Exercice 4

Soit ƒ l’application définie de ℝ dans ℝ*₊ .

ƒ(x) = 1/x²−2x+2

1. Montrer que ƒ n’est pas injective.
2. Montrer que : ƒ(ℝ) = ]0, 1].
3. L’application ƒ est-elle surjective ? Justifier.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

1. Montrons que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.

Soit x ∈ [−1, 0].

1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2

⇔ x + 1 ≤ 2√x+1 ≤ x + 2

⇔ (x + 1)² ≤ (2√x+1)²≤ (x + 2)² 

⇔ (x + 1)² − 4(x + 1) ≤ 0 et 0 ≤ (x + 2)² − (2√x+1)²

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x² + 4x + 4 − 4x − 4

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x²

Comme (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x² pour tout x de [−1, 0] . Alors :

(∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.

2. On considère l’application suivante :

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Vous pouvez aussi consulter :

• Les applications cours 1 bac sm
• Les ensembles exercices corrigés 1 bac sm