Les suites numériques 1 bac cours

Les suites numériques 1 bac cours

Les suites numériques 1 bac cours. (1ère année bac/ première s)

Suite numérique (Les suites numériques 1 bac cours)

Définition d’une suite numérique (Les suites numériques 1 bac cours)
Définition 1

Une suite numérique est une ,, succession ,, de nombre réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite.

A un rang donné n, on associe un nombre réel un.

(un) : → 

n →  un

un est appelé le terme général de la suite (un).

Remarque 2

Il arrive qu’une suite ne soit pas définie sur tout , on dit alors que la suite est définie à partir du rang.

Exemple 3

Soit (un)n la suite numérique définie par :

un = 2n−1/n+1

Calculons les trois premiers termes de la suite (un)n :

u0 = −1, u1 = 1/2 et u2 = 1

Définir une suite (Les suites numériques 1 bac cours)
De façon explicité
Définition 4

Une suite (un)n est définie de façon explicite si le terme général un s’exprime en fonction de n.

un = ƒ(n) , ∀n

Exemple 5

Soit la suite numérique (un)n telle que :

un = 3n +5

par exemple : u10 = 3 × 10 + 5 = 35.

Par récurrence
Définition 6

Lorsque le terme général un dépend du ou des terme(s) précèdent(s), on définit alors la suite par une relation de récurrence et d’un ou des premier(s) terme(s).

  • La suite est dite récurrente à un terme si un ne dépend que du terme précèdent. Cette suite est alors définie par :

{u0 et un+1 = ƒ(un)

  • La suite est dite récurrente à deux termes si un dépend des deux termes qui le précèdent.

Cette suite est alors définie par :

{u0 , u1 et un+2 = ƒ(un, un+1)

La fonction ƒ ainsi définie s’appelle la fonction associée à la suite (un)n .

Exemple 7
  • On donne la suite (un)n définie par :

{u0 = 2 et un+1 = 3un − 2

Déterminer u1, u2, u3 et u4.

u1 = 3u0 − 2 = 3 × 2 − 2 = 4

u2 = 3u1 − 2 = 3 × 4 − 2 = 10

u3 = 3u2 − 2 = 3 × 10 − 2 = 28

u4 = 3u3 − 2 = 3 × 28 − 2 = 82

  • On donne la suite (vn)n définie par :

{v0 = 2 , v1 = 1 et vn+2 = vn+1 + vn

Déterminer v2, v3 et v4.

v2 = v1 + v0 = 2 + 1 = 3

v3 = v2 + v1 = 3 + 1 = 4

v4 = v3 + v2 = 4 + 3 = 7

Sens de variations

Définition 8

Soit (un)n une suite numérique.

∎ On dit que (un)n est croissante si pour tout n, un+1un.

∎ On dit que (un)n est décroissante si pour tout n, un+1un.

∎ On dit que (un)n est constante ou stationnaire si pour tout n, un+1 = un.

∎ On dit que (un)n est monotone si la suite (un)n est croissante ou décroissante.

Dans la pratique pour déterminer la variations d’une suite, on déterminera le signe de un+1 − un.

  • Si cette différence est positive, pour tout n, la suite sera croissante.
  • Si la différence est négative, pour tout n, la suite sera décroissante.

Si (un)n est strictement positive, étudier la position de un+1/un par rapport à 1.

  • Si ce rapport est supérieur à 1 pour tout n, la suite sera croissante.
  • Si le rapport est inférieur à 1 pour tout n, la suite sera décroissante.
Exemple 9
  • On considère la suite numérique (un)n définie par : un = 5n−3/2n+7 .

Soit n.

un+1 − un = 5(n+1)−3/2(n+1)+7 − 5n−3/2n+7

= 5n+5−3/2n+2+7 − 5n−3/2n+7

= 5n+2/2n+9 − 5n−3/2n+7

= (5n+2)(2n+7)−(5n−3)(2n+9)/(2n+9)(2n+7)

= 41/(2n+9)(2n+7)

comme 41/(2n+9)(2n+7) ≻ 0 pour tout n. Ceci signifie que la suite (un)n est strictement croissante.

  • On considère la suite numérique (vn)n définie par : vn = 23n/32n.

Tous les termes de la suite sont strictement positifs.

Soit n.

vn+1/vn = 23(n+1)/32(n+1)/23n/32n

= 23(n+1)/32(n+1) × 32n/23n

= 23n × 23/32n×32 × 32n/23n

= 8/9

comme 8/9 < 1 pour tout n ∈ ℕ. Ceci signifie que la suite (vn)n est strictement décroissante.

Suites majorées, suites minorées, suites bornées

Définition 10
  • La suite (un)n est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout entier n , unM.
  • La suite (un)n est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout entier n, unm.
  • La suite (un)n est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Remarque 11
  • Les suites de terme général cos n ou (−1)n sont bornées.
  • La suite de terme général n2 est minorée par 0.
Exemple 12

Soit (un)n la suite numérique définie par :

(∀n) , un = 2+cos n/3−sin√n

Soit n.

On a

− 1 ≤ cos n1 12 + cos n3

et

− 1 ≤ sin√n1 ⇔ 23−sin√n4 ⇔  1/4 1/3−sin√n1/2

donc

1/42+cos n/3−sin√n 3/2

d’où

(∀n) , 1/4 un3/2

ceci signifie que la suite (un)n est bornée.

Suites arithmétiques

Définition des suites arithmétiques
Définition 13

Soit (un)n une suite numérique.

  • La suite (un)n est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que pour tout entier n, un+1 = un + r.
  • Le nombre r s’appelle alors la raison de la suite arithmétique (un)n.
Comment reconnait-on une suite arithmétique ?
Propriété 14

Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante. On a alors :

(∀n) , un+1 − un = r

Exemple 15

Montrer que la suite (un)n définie par : un = 2n +3 est arithmétique.

On calcule la différence entre deux termes consécutifs quelconques :

un+1 − un = 2(n + 1) + 3 − (2n + 3)

= 2

donc

(∀n) , un+1 − un = 2

Ceci signifie que la suite (un)n est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = 3.

Expression du terme général en fonction de n

Une suite arithmétique est définie par une relation de récurrence :

(∀n) , un+1 = un + r

On exprime directement un en fonction de n.

Théorème 16

Soit (un)n une suite arithmétique de raison r.

(∀n) , un = u0 + nr

∀(n, p) ∈ 2, un = up + (n − p)r

Démonstration 17

∎ Soit (un)n une suite arithmétique de raison r.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un = u0 + nr .

  • u0 + 0 × r = u0 et donc l’égalité est vraie quand n = 0.
  • Soit n. Supposons que un = u0 + nr et montrons que un+1 = u0 + (n + 1)r.

un+1 = un + r (d’après la définition de la suite arithmétique)

= u0 + nr + r

= u0 + (n + 1)r

  • D’après le principe de récurrence on déduit que

(∀n) , un = u0 + nr

∎ Soient n et p deux entiers naturels. un = u0 + nr et up = u0 + pr. Donc

un − up = (u0 + nr) − (u0 + pr) = nr − pr = (n − p)r

donc

un = up + (n − p)r

Exemple 18

Considérons la suite arithmétique (un)n tel que : u5 = 7 et u9 = 19.

  1. Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un)n .
  2. Exprimer un en fonction de n.
  • On exprime u9 en fonction de u5, on a alors :

u9 = u5 + (9 − 5)r ⇔  19 = 7 + 4r ⇔  12 = 4r ⇔  r = 12/4 = 3.

On peut alors trouver u0.

u5 = u0 + 3 × 5 ⇔  u0 = 7 − 15 = − 8

  • un en fonction de n :

un = 3n − 8

Exercice d’application 19 .

Soit (un)n la suite définie par :

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Devoir surveillé sur les suites numériques 1 bac

Exercice 1

Soit (an)n la suite numérique définie par :

{a0 = 1, a1 = 2 (∀n) , an+2 = 3an+1.an/2an+1+an

Et pour tout n, on pose : bn = 1/an+1 − 1/an

    1. Montrer que la suite (bn)n est géométrique en précisant sa raison et le premier terme.
    2. En déduire bn en fonction de n pour tout n.
  1. Pour tout n*, on pose : Sn = Σn−1k=0 bk.

Calculer Sn par deux manières différentes, puis en déduire que

(∀n) , an = 10/7+3(−2/3)n

Exercice 2

Soit (un)n la suite numérique définie par :

{u0 = 1, u1 = 2 (∀n) , un+2 = 2un+1 − un − 3

Et pour tout n, on pose : vn = un+1 − un.

    1. Montrer que la suite (vn)n est arithmétique en précisant sa raison et le premier terme.
    2. En déduire vn en fonction de n pour tout n.
  1. Pour tout n*, on pose : Sn = Σn−1k=0 vk.

Calculer Sn par deux manières différentes, puis en déduire que

(∀n) , un = −3n2+5n+4/2

Exercice 3

Soit (un)n la suite numérique définie par :

u0 = a et (∀n ) , un+1 = un2/1−2un2 a ∈ ]0, 1/4[

  1. Montrer que : (∀n ) , 0 < un< 1/4.
  2. Montrer que la suite (un)n est strictement décroissante.
  3. Montrer que : (∀n) , un+1 < 2/7un.
  4. En déduire que : (∀n*) , un < (2/7)n a.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1

Soit (an)n la suite numérique définie par :

{a0 = 1, a1 = 2 (∀n) , an+2 = 3an+1.an/2an+1+an

Et pour tout n , on pose : bn = 1/an+1 − 1/an

  1. 1. Montrons que la suite (bn)n est géométrique :
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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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