par Les suites numériques 1 bac cours. (1ère année bac/ première s)
Suite numérique (Les suites numériques 1 bac cours)
Définition d’une suite numérique (Les suites numériques 1 bac cours)
Définition 1
Une suite numérique est une ,, succession ,, de nombre réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite.
A un rang donné n, on associe un nombre réel un.
(un) : ℕ → ℝ
n → un
un est appelé le terme général de la suite (un).
Remarque 2
Il arrive qu’une suite ne soit pas définie sur tout ℕ, on dit alors que la suite est définie à partir du rang.
Exemple 3
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
un = 2n−1/n+1
Calculons les trois premiers termes de la suite (un)n∈ℕ :
u0 = −1, u1 = 1/2 et u2 = 1
Définir une suite (Les suites numériques 1 bac cours)
De façon explicité
Définition 4
Une suite (un)n∈ℕ est définie de façon explicite si le terme général un s’exprime en fonction de n.
un = ƒ(n) , ∀n ∈ ℕ
Exemple 5
Soit la suite numérique (un)n∈ℕ telle que :
un = 3n +5
par exemple : u10 = 3 × 10 + 5 = 35.
Par récurrence
Définition 6
Lorsque le terme général un dépend du ou des terme(s) précèdent(s), on définit alors la suite par une relation de récurrence et d’un ou des premier(s) terme(s).
- La suite est dite récurrente à un terme si un ne dépend que du terme précèdent. Cette suite est alors définie par :
{u0 et un+1 = ƒ(un)
- La suite est dite récurrente à deux termes si un dépend des deux termes qui le précèdent.
Cette suite est alors définie par :
{u0 , u1 et un+2 = ƒ(un, un+1)
La fonction ƒ ainsi définie s’appelle la fonction associée à la suite (un)n∈ℕ .
Exemple 7
- On donne la suite (un)n∈ℕ définie par :
{u0 = 2 et un+1 = 3un − 2
Déterminer u1, u2, u3 et u4.
u1 = 3u0 − 2 = 3 × 2 − 2 = 4
u2 = 3u1 − 2 = 3 × 4 − 2 = 10
u3 = 3u2 − 2 = 3 × 10 − 2 = 28
u4 = 3u3 − 2 = 3 × 28 − 2 = 82
- On donne la suite (vn)n∈ℕ définie par :
{v0 = 2 , v1 = 1 et vn+2 = vn+1 + vn
Déterminer v2, v3 et v4.
v2 = v1 + v0 = 2 + 1 = 3
v3 = v2 + v1 = 3 + 1 = 4
v4 = v3 + v2 = 4 + 3 = 7
Sens de variations (Les suites numériques 1 bac cours)
Définition 8
Soit (un)n∈ℕ une suite numérique.
∎ On dit que (un)n∈ℕ est croissante si pour tout n ∈ ℕ, un+1 ≥ un.
∎ On dit que (un)n∈ℕ est décroissante si pour tout n ∈ ℕ, un+1 ≤ un.
∎ On dit que (un)n∈ℕ est constante ou stationnaire si pour tout n ∈ ℕ, un+1 = un.
∎ On dit que (un)n∈ℕ est monotone si la suite (un)n∈ℕ est croissante ou décroissante.
Dans la pratique pour déterminer la variations d’une suite, on déterminera le signe de un+1 − un.
- Si cette différence est positive, pour tout n ∈ ℕ, la suite sera croissante.
- Si la différence est négative, pour tout n ∈ ℕ, la suite sera décroissante.
Si (un)n∈ℕ est strictement positive, étudier la position de un+1/un par rapport à 1.
- Si ce rapport est supérieur à 1 pour tout n ∈ ℕ, la suite sera croissante.
- Si le rapport est inférieur à 1 pour tout n ∈ ℕ, la suite sera décroissante.
Exemple 9
- On considère la suite numérique (un)n∈ℕ définie par : un = 5n−3/2n+7 .
Soit n ∈ ℕ.
un+1 − un = 5(n+1)−3/2(n+1)+7 − 5n−3/2n+7
= 5n+5−3/2n+2+7 − 5n−3/2n+7
= 5n+2/2n+9 − 5n−3/2n+7
= (5n+2)(2n+7)−(5n−3)(2n+9)/(2n+9)(2n+7)
= 41/(2n+9)(2n+7)
comme 41/(2n+9)(2n+7) ≻ 0 pour tout n ∈ ℕ. Ceci signifie que la suite (un)n∈ℕ est strictement croissante.
- On considère la suite numérique (vn)n∈ℕ définie par : vn = 23n/32n.
Tous les termes de la suite sont strictement positifs.
Soit n ∈ ℕ.
vn+1/vn = 23(n+1)/32(n+1)/23n/32n
= 23(n+1)/32(n+1) × 32n/23n
= 23n × 23/32n×32 × 32n/23n
= 8/9
comme 8/9 < 1 pour tout n ∈ ℕ. Ceci signifie que la suite (vn)n∈ℕ est strictement décroissante.
Suites majorées, suites minorées, suites bornées
Définition 10
- La suite (un)n∈ℕ est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout entier n ∈ ℕ, un ≤ M.
- La suite (un)n∈ℕ est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout entier n ∈ ℕ, un ≥ m.
- La suite (un)n∈ℕ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Remarque 11
- Les suites de terme général cos n ou (−1)n sont bornées.
- La suite de terme général n2 est minorée par 0.
Exemple 12
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
(∀n ∈ ℕ) , un = 2+cos n/3−sin√n
Soit n ∈ ℕ.
On a
− 1 ≤ cos n ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2 + cos n ≤ 3
et
− 1 ≤ sin√n ≤ 1 ⇔ 2 ≤ 3−sin√n ≤ 4 ⇔ 1/4 ≤ 1/3−sin√n ≤ 1/2
donc
1/4 ≤ 2+cos n/3−sin√n ≤ 3/2
d’où
(∀n ∈ ℕ) , 1/4 ≤ un ≤ 3/2
ceci signifie que la suite (un)n∈ℕ est bornée.
Suites arithmétiques
Définition des suites arithmétiques
Définition 13
Soit (un)n∈ℕ une suite numérique.
- La suite (un)n∈ℕ est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que pour tout entier n ∈ ℕ, un+1 = un + r.
- Le nombre r s’appelle alors la raison de la suite arithmétique (un)n∈ℕ.
Comment reconnait-on une suite arithmétique ?
Propriété 14
Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante. On a alors :
(∀n ∈ ℕ) , un+1 − un = r
Exemple 15
Montrer que la suite (un)n∈ℕ définie par : un = 2n +3 est arithmétique.
On calcule la différence entre deux termes consécutifs quelconques :
un+1 − un = 2(n + 1) + 3 − (2n + 3)
= 2
donc
(∀n ∈ ℕ) , un+1 − un = 2
Ceci signifie que la suite (un)n∈ℕ est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = 3.
Expression du terme général en fonction de n
Une suite arithmétique est définie par une relation de récurrence :
(∀n ∈ ℕ) , un+1 = un + r
On exprime directement un en fonction de n.
Théorème 16
Soit (un)n∈ℕ une suite arithmétique de raison r.
∎
(∀n ∈ ℕ) , un = u0 + nr
∎
∀(n, p) ∈ ℕ2, un = up + (n − p)r
Démonstration 17
∎ Soit (un)n∈ℕ une suite arithmétique de raison r.
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un = u0 + nr .
- u0 + 0 × r = u0 et donc l’égalité est vraie quand n = 0.
- Soit n ∈ ℕ. Supposons que un = u0 + nr et montrons que un+1 = u0 + (n + 1)r.
un+1 = un + r (d’après la définition de la suite arithmétique)
= u0 + nr + r
= u0 + (n + 1)r
- D’après le principe de récurrence on déduit que
(∀n ∈ ℕ) , un = u0 + nr
∎ Soient n et p deux entiers naturels. un = u0 + nr et up = u0 + pr. Donc
un − up = (u0 + nr) − (u0 + pr) = nr − pr = (n − p)r
donc
un = up + (n − p)r
Exemple 18
Considérons la suite arithmétique (un)n∈ℕ tel que : u5 = 7 et u9 = 19.
- Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un)n∈ℕ .
- Exprimer un en fonction de n.
- On exprime u9 en fonction de u5, on a alors :
u9 = u5 + (9 − 5)r ⇔ 19 = 7 + 4r ⇔ 12 = 4r ⇔ r = 12/4 = 3.
On peut alors trouver u0.
u5 = u0 + 3 × 5 ⇔ u0 = 7 − 15 = − 8
- un en fonction de n :
un = 3n − 8
Exercice d’application 19 .
Soit (un)n∈ℕ la suite définie par :
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Devoir surveillé sur les suites numériques 1 bac
Exercice 1
Soit (an)n∈ℕ la suite numérique définie par :
{a0 = 1, a1 = 2 (∀n∈ℕ) , an+2 = 3an+1.an/2an+1+an
Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : bn = 1/an+1 − 1/an
- Montrer que la suite (bn)n∈ℕ est géométrique en précisant sa raison et le premier terme.
- En déduire bn en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.
Calculer Sn par deux manières différentes, puis en déduire que
(∀n ∈ ℕ) , an = 10/7+3(−2/3)n
Exercice 2
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
{u0 = 1, u1 = 2 (∀n ∈ ℕ) , un+2 = 2un+1 − un − 3
Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : vn = un+1 − un.
- Montrer que la suite (vn)n∈ℕ est arithmétique en précisant sa raison et le premier terme.
- En déduire vn en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.
Calculer Sn par deux manières différentes, puis en déduire que
(∀n ∈ ℕ) , un = −3n2+5n+4/2
Exercice 3
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
u0 = a et (∀n ∈ ℕ) , un+1 = un2/1−2un2 où a ∈ ]0, 1/4[
- Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < un< 1/4.
- Montrer que la suite (un)n∈ℕ est strictement décroissante.
- Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , un+1 < 2/7un.
- En déduire que : (∀n ∈ ℕ*) , un < (2/7)n a.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
Soit (an)n∈ℕ la suite numérique définie par :
{a0 = 1, a1 = 2 (∀n∈ℕ) , an+2 = 3an+1.an/2an+1+an
Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : bn = 1/an+1 − 1/an
- 1. Montrons que la suite (bn)n∈ℕ est géométrique :
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