Les suites numériques 1 bac exercices corrigés.(première s/ 1ère année bac)
Exercice 1
Calculer en fonction de n le terme général de la suite (un)n∈ℕ dans chacun des cas suivants :
un = ∑nk=0 3k−52k/πk+1 et un = ∐nk=1 2k.π3−k
Exercice 2
On considère la suite numérique (un)n∈ℕ définie par :
u0 = 0 et un+1 = 5un+4/un+2 , pour tout n ∈ ℕ.
- Calculer u1 et u2.
- Montrer que : ∀n ∈ ℕ, 0 ≤ un < 4.
- Étudier le monotonie de la suite (un)n∈ℕ.
- On considère la suite numérique (vn)n∈ℕ définie par :
vn = un−4/un+1 , pour tout n ∈ ℕ
a) Montrer que (vn)n∈ℕ est une suite géométrique, on déterminera son raison.
b) Exprimer vn puis un en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.
5. Pour tout n ∈ ℕ, on pose : Sn = ∑nk=0 1/uk+1.
Déterminer l’expression de Sn en fonction de n.
Exercice 3
On considère les suites numériques (un)n∈ℕ et (vn)n∈ℕ définies par :
u0 = 2, u1 = 4/9 et un+2 = 1/27(12un+1−un) et vn = un − 1/3n, pour tout n ∈ ℕ.
- Montrer que :
∀n ∈ ℕ, un+1 = 1/9un + 2/3n+2
2. Montrer que (vn)n∈ℕ est une suite géométrique, puis exprimer un en fonction de n.
3. Exprimer en fonction de n la somme Sn = ∑nk=0 uk.
Exercice 4
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
u0 = 1 et un+1 = 2un+1 + n + 1, pour tout n ∈ ℕ.
- Calculer u1 et u2.
- Montrer par récurrence que :
∀n ∈ ℕ*, un = 2n(1 + ∑nk=1 k/2k)
3. Montrer par récurrence que :
∀n ∈ ℕ*, ∑nk=1 k/2k = 2 − n+2/2n
4. En déduire que :
∀n ∈ ℕ, un = 3 × 2n − n − 2
Exercice 5
Soit (un)n∈ℕ* la suite numérique définie par :
un = ∑nk=1 1/k√k
- Calculer u1 et u2.
- Étudier la monotonie de la suite (un)n∈ℕ* .
- Montrer que :
∀p ∈ ℕ*∖ {1} , 1/√p−1 − 1/√p ≥ 1/2p√p
4. En déduire que :
∀n ∈ ℕ*, 1 ≤ un ≤ 3 − 2/n
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Correction de la série d’exercices sur les suites numériques
Exercice 2
On considère la suite numérique (un)n∈ℕ définie par :
u0 = 0 et un+1 = 5un+4/un+2 , pour tout n ∈ ℕ
- On a : u1 = 5u0+4/u0+2 = 0+4/0+2 = 2 et u2 = 5u1+4/u1+2 = 5×2+4/2+2 = 7/2.
- Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , 0 ≤ un < 4.
- Pour n = 0, on a : u0 = 0 donc : 0 ≤ u0 < 4. L’encadrement est vrai.
- Soit n ∈ ℕ. Supposons que : 0 ≤ un < 4 et on montre que : 0 ≤ un+1 < 4.
Comme 0 ≤ un < 4, alors : 5un+4/un+2 ≥ 0, c’est-à-dire : un+1 ≥ 0. (1)
D’autre part, on a :
un+1 − 4 = 5un+4/un+2 − 4
= 5un+4−4un−8/un+2
= un−4/un+2
Comme 0 ≤ un < 4, alors : un−4/un+2 < 0, c’est-à-dire : un+1 < 4. (2)
D’après (1) et (2) , on conclut que : 0 ≤ un+1 < 4.
- D’après le principe de récurrence, on en déduit que :
(∀n ∈ ℕ) , 0 ≤ un < 4
3. Le sens de variations de la suite (un)n∈ℕ .
Soit n ∈ ℕ.
un+1 − un = 5un+4/un+2 − un
= 5un+4−un2−2un/un+2
= −un2+3un+4/un+2
= −(un + 1)(un − 4)/un+2
Comme 0 ≤ un < 4 alors −(un + 1)(un − 4)/un+2 ≻ 0, donc un+1 − un ≻ 0. Ceci signifie que la suite (un)n∈ℕ est strictement croissante.
4. On considère la suite numérique (vn)n∈ℕ définie par : vn = un−4/un+1 pour n ∈ ℕ.
a) Montrons que la suite (vn)n∈ℕ est géométrique.
Soit n ∈ ℕ.
un+1 = un+1−4/un+1+1
= 5un+4/un+2−4/ 5un+4/un+2+1
= 5un+4−4un−8/un+2/5un+4+4un+8/un+2
= 5un+4−4un−8/5un+4+un+2
= un−4/6(un+1)
= 1/6vn
Donc
(∀n ∈ ℕ) , vn+1 = 1/6vn
Ceci signifie que la suite (vn)n∈ℕ est géométrique sa raison q = 1/6 et de premier terme v0 = u0−4/u0+1 = −4.
b) On sait que la suite (vn)n∈ℕ est géométrique sa raison q = 1/6 et de premier terme v0 = −4, alors pour tout n ∈ ℕ :
vn = v0 × qn
d’où
(∀n ∈ ℕ) , vn = −4/6n
∎ L’expression de un en fonction de n.
Soit n ∈ ℕ.
vn = un−4/un+1 ⇔ vn(un + 1) = un − 4, (un + 1 ≠ 0)
⇔ vnun + vn = un − 4
⇔ un(vn − 1) = −vn − 4
⇔ un = vn+4/1−vn
⇔ un = (−4/6n)+4/1−(−4/6n) = −4+6n×4/6n/6n+4/6n = 4(−1 + 6n)/6n+4
Donc
(∀n ∈ ℕ) , un = 4(6n − 1)/6n+4
5. Pout tout n ∈ ℕ, on pose : Sn = ∑nk=0 1/uk+1
Exercice 3
On considère les suites numériques (un)n∈ℕ et (vn)n∈ℕ définies par :
u0 = 2, u1 = 4/9 et un+2 = 1/27(12un+1 − un) et vn = un − 1/3n
- Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , un+1 = 1/9un + 2/3n+2.
∎ Pour n = 0, on a : u1 = 4/9 et 1/9u0 + 2/32 = 2/9 + 2/9 = 4/9, donc : u1 = 1/9u0 + 2/32 l’égalité est vraie.
∎ Soit n ∈ ℕ. Supposons que : un+1 = 1/9un + 2/3n+2 et on montre que : un+2 = 1/9un+1 + 2/3n+3
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Devoir surveillé sur les suites numériques 1 bac
Exercice 1
Soit (an)n∈ℕ la suite numérique définie par :
{a0 = 1, a1 = 2 (∀n∈ℕ) , an+2 = 3an+1.an/2an+1+an
Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : bn = 1/an+1 − 1/an
- Montrer que la suite (bn)n∈ℕ est géométrique en précisant sa raison et le premier terme.
- En déduire bn en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.
- Pour tout n ∈ ℕ*, on pose : Sn = Σn−1k=0 bk.
Calculer Sn par deux manières différentes, puis en déduire que
(∀n ∈ ℕ) , an = 10/7+3(−2/3)n
Exercice 2
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
{u0 = 1, u1 = 2 (∀n ∈ ℕ) , un+2 = 2un+1 − un − 3
Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : vn = un+1 − un.
- Montrer que la suite (vn)n∈ℕ est arithmétique en précisant sa raison et le premier terme.
- En déduire vn en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.
- Pour tout n ∈ ℕ*, on pose : Sn = Σn−1k=0 vk.
Calculer Sn par deux manières différentes, puis en déduire que
(∀n ∈ ℕ) , un = −3n2+5n+4/2
Exercice 3
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
u0 = a et (∀n ∈ ℕ) , un+1 = un2/1−2un2 où a ∈ ]0, 1/4[
- Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < un< 1/4.
- Montrer que la suite (un)n∈ℕ est strictement décroissante.
- Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , un+1 < 2/7un.
- En déduire que : (∀n ∈ ℕ*) , un < (2/7)n a.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
Soit (an)n∈ℕ la suite numérique définie par :
{a0 = 1, a1 = 2 (∀n∈ℕ) , an+2 = 3an+1.an/2an+1+an
Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : bn = 1/an+1 − 1/an
- 1. Montrons que la suite (bn)n∈ℕ est géométrique :
Exercice 2
Soit (un)n∈ℕ la suite numérique définie par :
{ u0 = 2 et u1 = 3 (∀n ∈ ℕ) , un+2 = 2un+1 − un− 3
Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : vn = un+1 − un.
- a) Montrons que la suite (vn)n∈ℕ est arithmétique.
Soit n ∈ ℕ.
vn+1 − vn = un+2 − un+1 − (un+1 − un)
= un+2 − un+1 − un+1 + un
= un+2 − 2un+1 + un
= 2un+1 − un − 3 − 2un+1 + un
= − 3
Donc
(∀n ∈ ℕ) , vn+1 − vn = − 3
Ceci signifie que la suite (vn)n∈ℕ est arithmétique de raison − 3. Son premier terme v0 = u1 − u0 = 1.
b) La suite (vn)n∈ℕ est arithmétique de premier terme v0 = 1 et de raison r = − 3. On sait que pour tout entier naturel n,
vn = v0 + nr
donc
(∀n ∈ ℕ) , vn = −3n + 1
2. Pour tout n ∈ ℕ*, on pose : Sn = ∑n−1k=0 vk.
Calculons Sn par deux manières différentes.
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