Les suites numériques 1 bac exercices corrigés

Les suites numériques 1 bac exercices corrigés

Les suites numériques 1 bac exercices corrigés.(première s/ 1ère année bac)

Exercice 1

Calculer en fonction de n le terme général de la suite (un)n dans chacun des cas suivants :

un = nk=0 3k−52kk+1 et un = nk=1 2k3−k

Exercice 2

On considère la suite numérique (un)n définie par :

u0 = 0 et un+1 = 5un+4/un+2 , pour tout n .

  1. Calculer u1 et u2.
  2. Montrer que : ∀n, 0un < 4.
  3. Étudier le monotonie de la suite (un)n.
  4. On considère la suite numérique (vn)n définie par :

vn = un−4/un+1 , pour tout n

a) Montrer que (vn)n est une suite géométrique, on déterminera son raison.

b) Exprimer vn puis un en fonction de n pour tout n.

5. Pour tout n, on pose : Sn = ∑nk=0 1/uk+1.

Déterminer l’expression de Sn en fonction de n.

Exercice 3

On considère les suites numériques (un)n et (vn)n définies par :

u0 = 2, u1 = 4/9 et un+2 = 1/27(12un+1−un) et vn = un − 1/3n, pour tout n.

  1. Montrer que :

n , un+1 = 1/9un + 2/3n+2

2. Montrer que (vn)n est une suite géométrique, puis exprimer un en fonction de n.

3. Exprimer en fonction de n la somme Sn = ∑nk=0 uk.

Exercice 4

Soit (un)n la suite numérique définie par :

u0 = 1 et un+1 = 2un+1 + n + 1, pour tout n.

  1. Calculer u1 et u2.
  2. Montrer par récurrence que :

n*, un = 2n(1 + ∑nk=1 k/2k)

3. Montrer par récurrence que :

n*, nk=1 k/2k = 2 − n+2/2n

4. En déduire que :

n, un = 3 × 2n − n − 2

Exercice 5

Soit (un)n* la suite numérique définie par :

un = ∑nk=1 1/k√k

  1. Calculer u1 et u2.
  2. Étudier la monotonie de la suite (un)n* .
  3. Montrer que :

p*∖ {1} , 1/√p−1 − 1/√p1/2p√p

4. En déduire que :

n *, 1un3 − 2/n

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Correction de la série d’exercices sur les suites numériques
Exercice 2

On considère la suite numérique (un)n définie par :

u0 = 0 et un+1 = 5un+4/un+2 , pour tout n

  1. On a : u1 = 5u0+4/u0+2 = 0+4/0+2 = 2 et u2 = 5u1+4/u1+2 = 5×2+4/2+2 = 7/2.
  2. Montrons que : (∀n) , 0un < 4.
  • Pour n = 0, on a : u0 = 0 donc : 0u0 < 4. L’encadrement est vrai.
  • Soit n. Supposons que : 0un < 4 et on montre que : 0un+1 < 4.

Comme 0un < 4, alors : 5un+4/un+20, c’est-à-dire : un+10. (1)

D’autre part, on a :

un+1 − 4 = 5un+4/un+2 − 4

= 5un+4−4un−8/un+2

= un−4/un+2

Comme 0un < 4, alors : un−4/un+2 < 0, c’est-à-dire : un+1 < 4. (2)

D’après (1) et (2) , on conclut que : 0un+1 < 4.

  • D’après le principe de récurrence, on en déduit que :

(∀n) , 0un < 4

3. Le sens de variations de la suite (un)n .

Soit n .

un+1 − un = 5un+4/un+2 − un

= 5un+4−un2−2un/un+2

= −un2+3un+4/un+2

= −(un + 1)(un − 4)/un+2

Comme 0un < 4 alors −(un + 1)(un − 4)/un+20, donc un+1 − un 0. Ceci signifie que la suite (un)n est strictement croissante.

4. On considère la suite numérique (vn)n définie par : vn = un−4/un+1 pour n.

a) Montrons que la suite (vn)n est géométrique.

Soit n.

un+1 = un+1−4/un+1+1

= 5un+4/un+2−4/ 5un+4/un+2+1

= 5un+4−4un−8/un+2/5un+4+4un+8/un+2

= 5un+4−4un−8/5un+4+un+2

= un−4/6(un+1)

= 1/6vn

Donc

(∀n ) , vn+1 = 1/6vn

Ceci signifie que la suite (vn)n est géométrique sa raison q = 1/6 et de premier terme v0 = u0−4/u0+1 = −4.

b) On sait que la suite (vn)n est géométrique sa raison q = 1/6 et de premier terme v0 = −4, alors pour tout n :

vn = v0 × qn

d’où

(∀n) , vn = −4/6n

∎ L’expression de un en fonction de n.

Soit n.

vn = un−4/un+1 ⇔ vn(un + 1) = un − 4, (un + 1 ≠ 0)

vnun + vn = un − 4

un(vn − 1) = −vn − 4

⇔  un = vn+4/1−vn   

un = (−4/6n)+4/1−(−4/6n) = −4+6n×4/6n/6n+4/6n = 4(−1 + 6n)/6n+4

Donc

(∀n) , un = 4(6n − 1)/6n+4

5. Pout tout n, on pose : Sn = ∑nk=0 1/uk+1

Exercice 3

On considère les suites numériques (un)n et (vn)n définies par :

u0 = 2, u1 = 4/9 et un+2 = 1/27(12un+1 − un) et vn = un − 1/3n

  1. Montrons que : (∀n) , un+1 = 1/9un + 2/3n+2.

∎ Pour n = 0, on a : u1 = 4/9 et 1/9u0 + 2/32 = 2/9 + 2/9 = 4/9, donc : u1 = 1/9u0 + 2/32 l’égalité est vraie.

∎ Soit n. Supposons que : un+1 = 1/9un + 2/3n+2 et on montre que : un+2 = 1/9un+1 + 2/3n+3

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Devoir surveillé sur les suites numériques 1 bac

Exercice 1

Soit (an)n la suite numérique définie par :

{a0 = 1, a1 = 2 (∀n) , an+2 = 3an+1.an/2an+1+an

Et pour tout n, on pose : bn = 1/an+1 − 1/an

    1. Montrer que la suite (bn)n est géométrique en précisant sa raison et le premier terme.
    2. En déduire bn en fonction de n pour tout n.
  1. Pour tout n*, on pose : Sn = Σn−1k=0 bk.

Calculer Sn par deux manières différentes, puis en déduire que

(∀n) , an = 10/7+3(−2/3)n

Exercice 2

Soit (un)n la suite numérique définie par :

{u0 = 1, u1 = 2 (∀n) , un+2 = 2un+1 − un − 3

Et pour tout n, on pose : vn = un+1 − un.

    1. Montrer que la suite (vn)n est arithmétique en précisant sa raison et le premier terme.
    2. En déduire vn en fonction de n pour tout n.
  1. Pour tout n*, on pose : Sn = Σn−1k=0 vk.

Calculer Sn par deux manières différentes, puis en déduire que

(∀n) , un = −3n2+5n+4/2

Exercice 3

Soit (un)n la suite numérique définie par :

u0 = a et (∀n ) , un+1 = un2/1−2un2 a ∈ ]0, 1/4[

  1. Montrer que : (∀n ) , 0 < un< 1/4.
  2. Montrer que la suite (un)n est strictement décroissante.
  3. Montrer que : (∀n) , un+1 < 2/7un.
  4. En déduire que : (∀n*) , un < (2/7)n a.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1

Soit (an)n la suite numérique définie par :

{a0 = 1, a1 = 2 (∀n) , an+2 = 3an+1.an/2an+1+an

Et pour tout n , on pose : bn = 1/an+1 − 1/an

  1. 1. Montrons que la suite (bn)n est géométrique :
Exercice 2

Soit (un)n la suite numérique définie par :

{ u0 = 2 et u1 = 3 (∀n ) , un+2 = 2un+1 − un− 3

Et pour tout n , on pose : vn = un+1 − un.

  1. a) Montrons que la suite (vn)n est arithmétique.

Soit n.

vn+1 − vn = un+2 − un+1(un+1 − un)

= un+2 − un+1 − un+1 + un

= un+2 − 2un+1 + un

= 2un+1 − un − 3 − 2un+1 + un

= − 3

Donc

(∀n) , vn+1 − vn = − 3

Ceci signifie que la suite (vn)n est arithmétique de raison − 3. Son premier terme v0 = u1 − u0 = 1.

b) La suite (vn)n est arithmétique de premier terme v0 = 1 et de raison r = − 3. On sait que pour tout entier naturel n,

vn = v0 + nr

donc

(∀n) , vn = −3n + 1

2. Pour tout n*, on pose : Sn =n−1k=0 vk.

Calculons Sn par deux manières différentes.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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