Les suites numériques 1 bac exercices corrigés

Les suites numériques 1 bac exercices corrigés.(première s/ 1ère année bac)

Exercice 1

Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u_n)_n∈ℕ dans chacun des cas suivants :

u_n = ∑ⁿ_k=0 3^k−5^2k/π^k+1 et u_n = ∐ⁿ_k=1 2^k.π^3−k

Exercice 2

On considère la suite numérique (u_n)_n∈ℕ définie par :

u₀ = 0 et u_n+1 = 5u_n+4/u_n+2 , pour tout n ∈ ℕ.

1. Calculer u₁ et u₂.
2. Montrer que : ∀n ∈ ℕ, 0 ≤ u_n < 4.
3. Étudier le monotonie de la suite (u_n)_n∈ℕ.
4. On considère la suite numérique (v_n)_n∈ℕ définie par :

v_n = u_n−4/u_n+1 , pour tout n ∈ ℕ

a) Montrer que (v_n)_n∈ℕ est une suite géométrique, on déterminera son raison.

b) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.

5. Pour tout n ∈ ℕ, on pose : S_n = ∑ⁿ_k=0 1/u_k+1.

Déterminer l’expression de S_n en fonction de n.

Exercice 3

On considère les suites numériques (u_n)_n∈ℕ et (v_n)_n∈ℕ définies par :

u₀ = 2, u₁ = 4/9 et u_n+2 = 1/27(12u_n+1−u_n) et v_n = u_n − 1/3ⁿ, pour tout n ∈ ℕ.

1. Montrer que :

∀n ∈ ℕ, u_n+1 = 1/9u_n + 2/3ⁿ⁺²

2. Montrer que (v_n)_n∈ℕ est une suite géométrique, puis exprimer u_n en fonction de n.

3. Exprimer en fonction de n la somme S_n = ∑ⁿ_k=0 u_k.

Exercice 4

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

u₀ = 1 et u_n+1 = 2u_n+1 + n + 1, pour tout n ∈ ℕ.

1. Calculer u₁ et u₂.
2. Montrer par récurrence que :

∀n ∈ ℕ*, u_n = 2ⁿ(1 + ∑ⁿ_k=1 k/2^k)

3. Montrer par récurrence que :

∀n ∈ ℕ*, ∑ⁿ_k=1 k/2^k = 2 − n+2/2ⁿ

4. En déduire que :

∀n ∈ ℕ, u_n = 3 × 2ⁿ − n − 2

Exercice 5

Soit (u_n)_n∈ℕ* la suite numérique définie par :

u_n = ∑ⁿ_k=1 1/k√k

1. Calculer u₁ et u₂.
2. Étudier la monotonie de la suite (u_n)_n∈ℕ* .
3. Montrer que :

∀p ∈ ℕ*∖ {1} , 1/√p−1 − 1/√p ≥ 1/2p√p

4. En déduire que :

∀n ∈ ℕ*, 1 ≤ u_n ≤ 3 − 2/n

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Correction de la série d’exercices sur les suites numériques

Exercice 2

On considère la suite numérique (u_n)_n∈ℕ définie par :

u₀ = 0 et u_n+1 = 5u_n+4/u_n+2 , pour tout n ∈ ℕ

1. On a : u₁ = 5u₀+4/u₀+2 = 0+4/0+2 = 2 et u₂ = 5u₁+4/u₁+2 = 5×2+4/2+2 = 7/2.
2. Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , 0 ≤ u_n < 4.

• Pour n = 0, on a : u₀ = 0 donc : 0 ≤ u₀ < 4. L’encadrement est vrai.

• Soit n ∈ ℕ. Supposons que : 0 ≤ u_n < 4 et on montre que : 0 ≤ u_n+1 < 4.

Comme 0 ≤ u_n < 4, alors : 5u_n+4/u_n+2 ≥ 0, c’est-à-dire : u_n+1 ≥ 0. (1)

D’autre part, on a :

u_n+1 − 4 = 5u_n+4/u_n+2 − 4

= 5u_n+4−4u_n−8/u_n+2

= u_n−4/u_n+2

Comme 0 ≤ u_n < 4, alors : u_n−4/u_n+2 < 0, c’est-à-dire : u_n+1 < 4. (2)

D’après (1) et (2) , on conclut que : 0 ≤ u_n+1 < 4.

• D’après le principe de récurrence, on en déduit que :

(∀n ∈ ℕ) , 0 ≤ u_n < 4

3. Le sens de variations de la suite (u_n)_n∈ℕ .

Soit n ∈ ℕ.

u_n+1 − u_n = 5u_n+4/u_n+2 − u_n

= 5u_n+4−u_n²−2u_n/u_n+2

= −u_n²+3u_n+4/u_n+2

= −(u_n + 1)(u_n − 4)/u_n+2

Comme 0 ≤ u_n < 4 alors −(u_n + 1)(u_n − 4)/u_n+2 ≻ 0, donc u_n+1 − u_n ≻ 0. Ceci signifie que la suite (u_n)_n∈ℕ est strictement croissante.

4. On considère la suite numérique (v_n)_n∈ℕ définie par : v_n = u_n−4/u_n+1 pour n ∈ ℕ.

a) Montrons que la suite (v_n)_n∈ℕ est géométrique.

Soit n ∈ ℕ.

u_n+1 = u_n+1−4/u_n+1+1

= 5u_n+4/u_n+2−4/ 5u_n+4/u_n+2+1

= 5u_n+4−4u_n−8/u_n+2/5u_n+4+4u_n+8/u_n+2

= 5u_n+4−4u_n−8/5u_n+4+u_n+2

= u_n−4/6(u_n+1)

= 1/6v_n

Donc

(∀n ∈ ℕ) , v_n+1 = 1/6v_n

Ceci signifie que la suite (v_n)_n∈ℕ est géométrique sa raison q = 1/6 et de premier terme v₀ = u₀−4/u₀+1 = −4.

b) On sait que la suite (v_n)_n∈ℕ est géométrique sa raison q = 1/6 et de premier terme v₀ = −4, alors pour tout n ∈ ℕ :

v_n = v₀ × qⁿ

d’où

(∀n ∈ ℕ) , v_n = −4/6ⁿ

∎ L’expression de u_n en fonction de n.

Soit n ∈ ℕ.

v_n = u_n−4/u_n+1 ⇔ v_n(u_n + 1) = u_n − 4, (u_n + 1 ≠ 0)

⇔ v_nu_n + v_n = u_n − 4

⇔ u_n(v_n − 1) = −v_n − 4

⇔  u_n = v_n+4/1−v_n   

⇔ u_n = (−4/6ⁿ)+4/1−(−4/6ⁿ) = −4+6ⁿ×4/6ⁿ/6ⁿ+4/6ⁿ = 4(−1 + 6ⁿ)/6ⁿ+4

Donc

(∀n ∈ ℕ) , u_n = 4(6ⁿ − 1)/6ⁿ+4

5. Pout tout n ∈ ℕ, on pose : S_n = ∑ⁿ_k=0 1/u_k+1

Exercice 3

On considère les suites numériques (u_n)_n∈ℕ et (v_n)_n∈ℕ définies par :

u₀ = 2, u₁ = 4/9 et u_n+2 = 1/27(12u_n+1 − u_n) et v_n = u_n − 1/3ⁿ

1. Montrons que : (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 = 1/9u_n + 2/3ⁿ⁺².

∎ Pour n = 0, on a : u₁ = 4/9 et 1/9u₀ + 2/3² = 2/9 + 2/9 = 4/9, donc : u₁ = 1/9u₀ + 2/3² l’égalité est vraie.

∎ Soit n ∈ ℕ. Supposons que : u_n+1 = 1/9u_n + 2/3ⁿ⁺² et on montre que : u_n+2 = 1/9u_n+1 + 2/3ⁿ⁺³

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Devoir surveillé sur les suites numériques 1 bac

Exercice 1

Soit (a_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

{a₀ = 1, a₁ = 2 (∀n∈ℕ) , a_n+2 = 3a_n+1.a_n/2a_n+1+a_n

Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : b_n = 1/a_n+1 − 1/a_n

1. 1. Montrer que la suite (b_n)_n∈ℕ est géométrique en précisant sa raison et le premier terme.
   2. En déduire b_n en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.
2. Pour tout n ∈ ℕ*, on pose : S_n = Σⁿ⁻¹_k=0 b_k.

Calculer S_n par deux manières différentes, puis en déduire que

(∀n ∈ ℕ) , a_n = 10/7+3(−2/3)ⁿ

Exercice 2

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

{u₀ = 1, u₁ = 2 (∀n ∈ ℕ) , u_n+2 = 2u_n+1 − u_n − 3

Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : v_n = u_n+1 − u_n.

1. 1. Montrer que la suite (v_n)_n∈ℕ est arithmétique en précisant sa raison et le premier terme.
   2. En déduire v_n en fonction de n pour tout n ∈ ℕ.
2. Pour tout n ∈ ℕ*, on pose : S_n = Σⁿ⁻¹_k=0 v_k.

Calculer S_n par deux manières différentes, puis en déduire que

(∀n ∈ ℕ) , u_n = −3n²+5n+4/2

Exercice 3

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

u₀ = a et (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 = u_n²/1−2u_n² où a ∈ ]0, 1/4[

1. Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , 0 < u_n< 1/4.
2. Montrer que la suite (u_n)_n∈ℕ est strictement décroissante.
3. Montrer que : (∀n ∈ ℕ) , u_n+1 < 2/7u_n.
4. En déduire que : (∀n ∈ ℕ*) , u_n < (2/7)ⁿ a.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

Soit (a_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

{a₀ = 1, a₁ = 2 (∀n∈ℕ) , a_n+2 = 3a_n+1.a_n/2a_n+1+a_n

Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : b_n = 1/a_n+1 − 1/a_n

1. 1. Montrons que la suite (b_n)_n∈ℕ est géométrique :

Exercice 2

Soit (u_n)_n∈ℕ la suite numérique définie par :

{ u₀ = 2 et u₁ = 3 (∀n ∈ ℕ) , u_n+2 = 2u_n+1 − u_n− 3

Et pour tout n ∈ ℕ, on pose : v_n = u_n+1 − u_n.

1. a) Montrons que la suite (v_n)_n∈ℕ est arithmétique.

Soit n ∈ ℕ.

v_n+1 − v_n = u_n+2 − u_n+1 − (u_n+1 − u_n)

= u_n+2 − u_n+1 − u_n+1 + u_n

= u_n+2 − 2u_n+1 + u_n

= 2u_n+1 − u_n − 3 − 2u_n+1 + u_n

= − 3

Donc

(∀n ∈ ℕ) , v_n+1 − v_n = − 3

Ceci signifie que la suite (v_n)_n∈ℕ est arithmétique de raison − 3. Son premier terme v₀ = u₁ − u₀ = 1.

b) La suite (v_n)_n∈ℕ est arithmétique de premier terme v₀ = 1 et de raison r = − 3. On sait que pour tout entier naturel n,

v_n = v₀ + nr

donc

(∀n ∈ ℕ) , v_n = −3n + 1

2. Pour tout n ∈ ℕ*, on pose : S_n = ∑ⁿ⁻¹_k=0 v_k.

Calculons S_n par deux manières différentes.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Limites d’une fonction exercices corrigés
• La dérivation 1ère s exercices