Le produit scalaire exercices corrigés

Le produit scalaire exercices corrigés

Le produit scalaire exercices corrigés.(tronc commun scientifique)

Exercice 1 (le produit scalaire exercices corrigés)

Soit ABCD un parallélogramme de centre I, tel que : AC = 10, BI = 2√3 et AIB = π/6.

    1. Calculer : IA.IB.
    2. Déduire que : AB = √7.
  1. Montrer que : BA2 + BC2 = 74, puis déduire que : AB.AC = 20.
  2. On considère le point E tel que : AE = 5/8AD.

Montrer que : IE.AC = 1/8(AC2 −5AB.AC), puis déduire que les droites (AC) et (IE) sont perpendiculaires.

Exercice 2 (le produit scalaire exercices corrigés)

ABC est un triangle isocèle en A tel que : cos A = 3/4 et AB.AC = 6.

  1. Montrer que : AB = 2√2 et BC = 2.
  2. Soit I le milieu de [AB] et le point F tel que : AF = −2BC.
    1. Calculer AF en fonction de AB et AC.
    2. Montrer que le triangle AIF est droit en I.
  3. Montrer que : IF = √14.
  4. Montrer en utilisant le théorème de la médiane, que : BF = 4.
Exercice 3 (le produit scalaire exercices corrigés)

ABCD est un carré tel que : AB = 1. E et F deux points tels que : BF = 1/3AB et DE = 3/4DC.

  1. Montrer que : DE.DF = 1.
  2. Montrer que les droites (AE) et (DF) sont orthogonales.
    1. Calculer AE.AF.
    2. Calculer chacune des distances AE et AF.
    3. Déduire : cos(EAF).
  3. Calculer la distance EF.
Exercice 4

ABC est un triangle tel que : AB = a , AC = 3a , cos A = 2/3 et O milieu de [BC] (a*+).

  1. Calculer : AB.AC.
  2. En déduire que : BA.BC = −a2 et que : BC = a√6.
  3. Calculer : AO.
  4. Soit E un point tel que : BE = 2/9CA.

a) Montrer que : 9AE = 9AB − 2AC.

b) Montrer que le triangle ACE est rectangle en A.

Exercice 5

Soient A et B deux points du plan tels que : AB = 6.

  1. Montrer que tout point M du plan, MA.MB = MI2 − 1/4AB2 tel que I est le milieu du segment [AB].
  2. En déduire l’ensemble des points M du plan dans les cas suivants :

E1 = {M ∈ (P)/ MA.MB = −9} , E2 = {M ∈ (P)/ MA.MB = 7}

E3 = {M ∈ (P)/ MA.MB = −12} et E4 = {M ∈ (P)/ MA.MB = 0}.

Exercice 6

ABC est un triangle équilatéral tel que : AB = a (a*+) et I est le milieu de [BC] et O est le milieu de [AI].

  1. Calculer en fonction de a le produit scalaire CI.OC et la distance AI.
  2. Démontrer que pour tout point M du plan (P) on a : 2MA2 + MB2 + MC2 = 4MO2 + 5/4a2.
  3. Déduire l’ensemble des points M du plan dans le cas suivant :

F = {M ∈ (P)/ 2MA2 + MB2 + MC2 = 2a2}

Cliquer ici pour télécharger Le produit scalaire exercices corrigés

Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique

Exercice 1 ( le produit scalaire)

Dans la figure ci-dessous EFG est un triangle équilatéral de coté a, (a*+) et EGH est un triangle rectangle en E tel que : EH = 2a et K est le milieu de [EH].

  1. Montrer que : (EF , EH) ≡ 5π/2 [] .
  2. Montrer que : EF.EG = a2/2 et que : EF.EH = −a2√3.
  3. Montrer que : GH2 = 5a2 et que : FH2 = (5 + 2√3)a2 .
  4. Calculer : GF.GH
  5. On pose : ( GF,GH ) ≡ θ []. Montrer que : cosθ = (1−2√3)√5/10
  6. Calculer : GK.
Exercice 2 (le calcul trigonométrique)
  1. Résoudre dans ]0, π] l’inéquation suivante (I) : 2cos2 x − cos x0.
  2. Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x.sin x
    1. Montrer que pour tout x de : A(π/2 − x) = A(x) et que : A(π + x) = A(x).
    2. Montrer que pour tout x de tel que : x ≠ π/2 + avec k. A(x) = tanx/1+tan2 x
    3. Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4 .
Exercice 3 (transformation dans le plan)

Soit IAB un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID= 1/3IB.

On considère h l’homothétie qui transforme A en C et B en D.

  1. Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie.
  2. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
    1. Déterminer l’image de la droite (BC) par h.
    2. Montrer que : h(C) = E.
Exercice 4

IAB est un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB.

On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.

  1. Déterminer le rapport de l’homothétie h.
  2. Montrer que : h(D) = B.
  3. La droite qui passe par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) Montrer que : h(E) = C.

4. Déduire l’image du triangle ECD par l’homothétie h.

Cliquer ici pour télécharger Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique exercices corrigés tronc commun pdf

Correction devoir maison

Exercice 1 (produit scalaire)

On considère la figure suivante :

  1. Montrons que : (EF , EH) ≡ 5π/6 []

On utilise la relation de Chasles, on obtient :

( EF , EH ) ≡ ( EF , EG ) + ( EG , EH )

π/3 + π/2 []

≡ 5π/6 []

2. Montrons que : EF.EG = a2/2.

EF.EG = EF.EG. cos(FEG)

= a × a × cos (π/3)

= a × a × 1/2 (car : FEG = π/3)

= a2/2

  • Montrons que : EF.EH = −a2√3

EF.EH = EF.EH. cos (FEH)

= a × 2a × cos (5π/6)

= 2a2 cos (π − π/6)

= −2a2 cos π/6

= −2a2 × √3/2

= −a2√3

3. Montrons que : GH2 = 5a2

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle HEG.

GH2 = EG2 + EH2

= a2 + 4a2

= 5a2

  • Montrons que : FH2 = (5 + 2√3)a2

On applique le théorème d’Al-Kashi dans le triangle FEH. On obtient :

FH2 = EF2 + EH2 − 2EF.EH. cos (FEH)

= a2 + 4a2 − 2 × a × 2a. cos (5π/6)

= 5a2 + 4a2 cos (π/6)

= 5a2 + 2√3a2

= (5 + 2√3)a2

4. Calculons : GF.GH

On a

FH = FG + GH

Donc

FH2 = FG2 + GH2 + 2FG.GH

⇔ −2FG.GH = −FH2 + FG2 + GH2

 GF.GH = −FH2+FG2+GH2/2

⇔ GF.GH = −(5 + 2√3)a2+a2+5a2/2

⇔ GF.GH = a2(1−2√3)/2

5. On pose : ( GF , GH ) ≡ θ [], montrons que : cos θ = (1 − 2√3)√5/10

On applique le théorème d’Al-Kashi dans le triangle FGH. On obtient :

FH2 = FG2 + GH2 − 2FG.GH. cos ( GF , GH )

⇔ cos θ = FG2+GH2−FH2/2FG.GH , car : ( GF , GH ) ≡ θ []

⇔ cos θ = a2+5a2(5 + 2√3)a2/2a.√5a

⇔ cos θ = 1−2√3/2√5 = (1 − 2√3)√5/10

6. Calculons GK :

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle GEK.

GK2 = CE2 + EK2

= a2 + a2

= 2a2

Donc : GK = √2a

Exercice 2 (Trigonométrie)
  1. On résout dans ]0, π] l’inéquation (I) : 2cos2x − cos x 0.

On commence par résoudre dans ]0, π] l’équation (E) : 2cos2x − cos x = 0.

2cos2x − cos x = 0 ⇔  cos x(2cos x − 1) = 0

⇔ cos x = 0 ou cos x = 1/2

⇔ cos x = 0 ou cos x = cos π/3

⇔ x = π/2 + kπ ou { x = π/3 + 2kπ /k ou x = −π/3 + 2kπ /k

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle ]0, π] .

0π/3 + 2kπ π

 0 1/3 + 2k 1

⇔ −1/3 2k2/3

⇔ −1/6 k1/3

comme k, alors k = 0.

Donc : x = π/3.

0 −π/3 + 2kππ

⇔ 0 −1/3 + 2k 1

 1/3 2k1 + 1/3

 1/3 2k 4/3

⇔ 1/6 k 2/3

Alors n’existe pas k.

Donc les solutions de (E) dans ]0, π] sont : π/3 et π/2.

On déduit le tableau de signe suivant :

Donc :

S = ]π/3, π/2[

2. Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x. sin x

a) Montrons que : A(π/2 − x) = A(x) et A(π + x) = A(x).

A(π/2 − x) = cos(π/2 − x) . sin(π/2 − x) = sin x. cos x = A(x)

et

A(π + x) = cos(π + x). sin(π + x) = cos x. sin x = A(x)

b) Soit x tel que xπ/2 + kπ avec k. Montrons que : A(x) = tanx/1+tan2x.

tanx/1+tan2x = sinx/cosx/1+sin2x/cos2x = sinx/cosx/1/cos2x = cos x. sin x = A(x)

c) On résout dans ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4

L’équation existe si et seulement si x ≠ π/2 + kπ avec k.

A(x) = √3/4 ⇔  √3/4 ⇔ tanx/1+tan2x = √3/4

⇔ −√3tan2x + 4tan x − √3 = 0

On pose tan x = X, on obtient :

−√3X2 + 4X − √3 = 0

Calculons ∆ :

∆ = b2 − 4ac

= 42 − 4 × (−√3) × (−√3) = 4

L’équation admet deux solutions réelles distinctes X1 et X2 :

X1 = −4+√4/−2√3 = √3/3 et X2 = −4−√4/2×(−√3) = √3

et comme tan x = X, on obtient :

tan x = √3/3 ou tan x = √3

 x = π/6 + kπ ou x = π/3 + kπ / k

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle ]−π, π] .

− ππ/6 + kππ

⇔ −1 1/6 + k 1

−1 − 1/6k1 − 1/6

⇔ −7/6 k 5/6

comme k, alors : k = − 1 ou k = 0.

  • Si k = 0, alors : x = π/6
  • Si k = 1, alors : x = π/6 − π = − 5π/6.

De même on a :  

− ππ/3 + kπ π

⇔ −1 1/3 + k 1

⇔ −1 −1/3 k 1 − 1/3

−4/3 k 2/3 

comme k alors : k = − 1 ou k = 0.

  • Si k = − 1, alors : x = π/3 − π = −2π/3.
  • Si k = 0, alors : x = π/3.

Donc

S = {−5π/6, −2π/3, π/6, π/3

Exercice 3 (Les transformations dans le plan)

IAB est un triangle et C, D deux points tel que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB

  1. On cherche le rapport et le centre de l’homothétie h.

On a h est l’homothétie qui transforme A en C et B en D, et comme IC = 1/3IA et ID = 1/3IB. Ceci signifie que h est l’homothétie de centre I et de rapport 1/3.

2. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) On cherche h ((BC)) :

On a : h(B) = D, ceci signifie que l’image de la droite (BC) par h est la droite qui passe par D et parallèle à (BC), c’est-à-dire la droite (DE). Donc : h((BC)) = (DE).

b) Montrons que : h(C) = E.

On a : (BC)∩(IA) = {C}. Donc, il suffit de trouver les images des droites (BC) et (IA) par l’homothétie h.

On sait que : I ∈ (IA), donc : h((IA)) = (IA).

D’autre part, on a h((BC)) = (DE). Ceci signifie que l’image du point C par l’homothétie h est l’intersection des droites (IA) et (DE), et comme (IA) ∩ (DE) = {E} . Donc : h(C) = E.

Exercice 4 (Les transformations dans le plan)

IAB est un triangle et C, D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB

On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.

  1. On détermine le rapport de h.

On a : h(C) = A, c’est-à-dire : IA = kIC. (avec k est le rapport de l’homothétie).

D’autre part, on a : IC = 1/3 IA. Donc : IA = 3IC. Ce qui montre que k = 3.

2. Montrons que h(D) = B.

Il suffit de montrer que : IB = 3ID.

On a : ID = 1/3IB. Donc : IB = 3ID. Ce qui signifie que h(D) = B.

3. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) Montrons que : h(E) = C.

On a : (DE) ∩(IA) = {E} . Donc il suffit de trouver les images des droites (DE) et (IA) par l’homothétie h.

Cliquer ici pour télécharger la correction

Vous pouvez aussi consulter :

Partager

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.