Le produit scalaire exercices corrigés

Le produit scalaire exercices corrigés. (Tronc Commun Scientifique)

Exercice 1 (le produit scalaire exercices corrigés)

Soit ABCD un parallélogramme de centre I, tel que : AC = 10, BI = 2√3 et AIB = π/6.

1. Calculer : IA.IB.
2. Déduire que : AB = √7.

Montrer que : IE.AC = 1/8(AC² −5AB.AC), puis déduire que les droites (AC) et (IE) sont perpendiculaires.

Exercice 2

ABC est un triangle isocèle en A tel que : cos A = 3/4 et AB.AC = 6.

1. Montrer que : AB = 2√2 et BC = 2.
2. Soit I le milieu de [AB] et le point F tel que : AF = −2BC.
   1. Calculer AF en fonction de AB et AC.
   2. Montrer que le triangle AIF est droit en I.
3. Montrer que : IF = √14.
4. Montrer en utilisant le théorème de la médiane, que : BF = 4.

Exercice 3 (le produit scalaire exercices corrigés)

ABCD est un carré tel que : AB = 1. E et F deux points tels que : BF = 1/3AB et DE = 3/4DC.

1. Montrer que : DE.DF = 1.
2. Montrer que les droites (AE) et (DF) sont orthogonales.
   1. Calculer AE.AF.
   2. Calculer chacune des distances AE et AF.
   3. Déduire : cos(EAF).
3. Calculer la distance EF.

Exercice 4

ABC est un triangle tel que : AB = a , AC = 3a , cos A = 2/3 et O milieu de [BC] (a ∈ ℝ*₊).

1. Calculer : AB.AC.
2. En déduire que : BA.BC = −a² et que : BC = a√6.
3. Calculer : AO.
4. Soit E un point tel que : BE = 2/9CA.

a) Montrer que : 9AE = 9AB − 2AC.

b) Montrer que le triangle ACE est rectangle en A.

Exercice 5 (Le produit scalaire exercices corrigés)

Soient A et B deux points du plan tels que : AB = 6.

1. Montrer que tout point M du plan, MA.MB = MI² − 1/4AB² tel que I est le milieu du segment [AB].
2. En déduire l’ensemble des points M du plan dans les cas suivants :

E₁ = {M ∈ (P)/ MA.MB = −9} , E₂ = {M ∈ (P)/ MA.MB = 7}

E₃ = {M ∈ (P)/ MA.MB = −12} et E₄ = {M ∈ (P)/ MA.MB = 0}.

Exercice 6

ABC est un triangle équilatéral tel que : AB = a (a ∈ ℝ*₊) et I est le milieu de [BC] et O est le milieu de [AI].

1. Calculer en fonction de a le produit scalaire CI.OC et la distance AI.
2. Démontrer que pour tout point M du plan (P) on a : 2MA² + MB² + MC² = 4MO² + 5/4a².
3. Déduire l’ensemble des points M du plan dans le cas suivant :

F = {M ∈ (P)/ 2MA² + MB² + MC² = 2a²}

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Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique

Exercice 1 ( le produit scalaire)

Dans la figure ci-dessous EFG est un triangle équilatéral de coté a, (a ∈ ℝ*₊) et EGH est un triangle rectangle en E tel que : EH = 2a et K est le milieu de [EH].

1. Montrer que : (EF , EH) ≡ 5π/2 [2π] .
2. Montrer que : EF.EG = a²/2 et que : EF.EH = −a²√3.
3. Montrer que : GH² = 5a² et que : FH² = (5 + 2√3)a² .
4. Calculer : GF.GH
5. On pose : ( GF,GH ) ≡ θ [2π]. Montrer que : cosθ = (1−2√3)√5/10
6. Calculer : GK.

Exercice 2 (le calcul trigonométrique)

1. Résoudre dans ]0, π] l’inéquation suivante (I) : 2cos² x − cos x ≺ 0.
2. Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x.sin x
   1. Montrer que pour tout x de ℝ : A(π/2 − x) = A(x) et que : A(π + x) = A(x).
   2. Montrer que pour tout x de ℝ tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ. A(x) = tanx/1+tan² x
   3. Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4 .

Exercice 3 (transformation dans le plan)

Soit IAB un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID= 1/3IB.

On considère h l’homothétie qui transforme A en C et B en D.

1. Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie.
2. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
   1. Déterminer l’image de la droite (BC) par h.
   2. Montrer que : h(C) = E.

Exercice 4

IAB est un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB.

On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.

1. Déterminer le rapport de l’homothétie h.
2. Montrer que : h(D) = B.
3. La droite qui passe par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) Montrer que : h(E) = C.

4. Déduire l’image du triangle ECD par l’homothétie h.

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Correction devoir maison

Exercice 1 (produit scalaire)

On considère la figure suivante :

1. Montrons que : (EF , EH) ≡ 5π/6 [2π]

On utilise la relation de Chasles, on obtient :

( EF , EH ) ≡ ( EF , EG ) + ( EG , EH )

≡ π/3 + π/2 [2π]

≡ 5π/6 [2π]

2. Montrons que : EF.EG = a²/2.

EF.EG = EF.EG. cos(FEG)

= a × a × cos (π/3)

= a × a × 1/2 (car : FEG = π/3)

= a²/2

• Montrons que : EF.EH = −a²√3

EF.EH = EF.EH. cos (FEH)

= a × 2a × cos (5π/6)

= 2a² cos (π − π/6)

= −2a² cos π/6

= −2a² × √3/2

= −a²√3

3. Montrons que : GH² = 5a²

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle HEG.

GH² = EG² + EH²

= a² + 4a²

= 5a²

∎Montrons que : FH² = (5 + 2√3)a²

On applique le théorème d’Al-Kashi dans le triangle FEH. On obtient :

FH² = EF² + EH² − 2EF.EH. cos (FEH)

= a² + 4a² − 2 × a × 2a. cos (5π/6)

= 5a² + 4a² cos (π/6)

= 5a² + 2√3a²

= (5 + 2√3)a²

4. Calculons : GF.GH

On a

FH = FG + GH

Donc

FH² = FG² + GH² + 2FG.GH

⇔ −2FG.GH = −FH² + FG² + GH²

⇔ GF.GH = −FH²+FG²+GH²/2

⇔ GF.GH = −(5 + 2√3)a²+a²+5a²/2

⇔ GF.GH = a²(1−2√3)/2

5. On pose : ( GF , GH ) ≡ θ [2π], montrons que : cos θ = (1 − 2√3)√5/10

On applique le théorème d’Al-Kashi dans le triangle FGH. On obtient :

FH² = FG² + GH² − 2FG.GH. cos ( GF , GH )

⇔ cos θ = FG²+GH²−FH²/2FG.GH , car : ( GF , GH ) ≡ θ [2π]

⇔ cos θ = a²+5a²−(5 + 2√3)a²/2a.√5a

⇔ cos θ = 1−2√3/2√5 = (1 − 2√3)√5/10

6. Calculons GK :

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle GEK.

GK² = CE² + EK²

= a² + a²

= 2a²

Donc : GK = √2a

Exercice 2 (Trigonométrie)

1. On résout dans ]0, π] l’inéquation (I) : 2cos²x − cos x ≺ 0.

On commence par résoudre dans ]0, π] l’équation (E) : 2cos²x − cos x = 0.

2cos²x − cos x = 0 ⇔  cos x(2cos x − 1) = 0

⇔ cos x = 0 ou cos x = 1/2

⇔ cos x = 0 ou cos x = cos π/3

⇔ x = π/2 + kπ ou { x = π/3 + 2kπ /k ∈ ℤ ou x = −π/3 + 2kπ /k ∈ ℤ

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle ]0, π] .

∎

0 ≺ π/3 + 2kπ ≼ π

⇔ 0 ≺ 1/3 + 2k ≼ 1

⇔ −1/3 ≺ 2k ≼ 2/3

⇔ −1/6 ≺ k ≼ 1/3

comme k ∈ ℤ, alors k = 0.

Donc : x = π/3.

∎

0 ≺ −π/3 + 2kπ ≼ π

⇔ 0 ≺ −1/3 + 2k ≼ 1

⇔ 1/3 ≺ 2k ≼ 1 + 1/3

⇔ 1/3 ≺ 2k ≼ 4/3

⇔ 1/6 ≺ k ≼ 2/3

Alors n’existe pas k ∈ ℤ.

Donc les solutions de (E) dans ]0, π] sont : π/3 et π/2.

On déduit le tableau de signe suivant :

Donc :

S = ]π/3, π/2[

2. Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x. sin x

a) Montrons que : A(π/2 − x) = A(x) et A(π + x) = A(x).

A(π/2 − x) = cos(π/2 − x) . sin(π/2 − x) = sin x. cos x = A(x)

et

A(π + x) = cos(π + x). sin(π + x) = cos x. sin x = A(x)

b) Soit x ∈ ℝ tel que x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ. Montrons que : A(x) = tanx/1+tan²x.

tanx/1+tan²x = sinx/cosx/1+sin²x/cos²x = sinx/cosx/1/cos²x = cos x. sin x = A(x)

c) On résout dans ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4

L’équation existe si et seulement si x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ.

A(x) = √3/4 ⇔  √3/4 ⇔ tanx/1+tan²x = √3/4

⇔ −√3tan²x + 4tan x − √3 = 0

On pose tan x = X, on obtient :

−√3X² + 4X − √3 = 0

Calculons ∆ :

∆ = b² − 4ac

= 4² − 4 × (−√3) × (−√3) = 4

L’équation admet deux solutions réelles distinctes X₁ et X₂ :

X₁ = −4+√4/−2√3 = √3/3 et X₂ = −4−√4/2×(−√3) = √3

et comme tan x = X, on obtient :

tan x = √3/3 ou tan x = √3

⇔ x = π/6 + kπ ou x = π/3 + kπ / k ∈ ℤ

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle ]−π, π] .

− π ≺ π/6 + kπ ≼ π

⇔ −1 ≺ 1/6 + k ≼ 1

⇔ −1 − 1/6 ≺ k ≼ 1 − 1/6

⇔ −7/6 ≺ k ≼ 5/6

comme k ∈ ℤ, alors : k = − 1 ou k = 0.

• Si k = 0, alors : x = π/6
• Si k = 1, alors : x = π/6 − π = − 5π/6.

De même on a :  

− π ≺ π/3 + kπ ≼ π

⇔ −1 ≺ 1/3 + k ≼ 1

⇔ −1 −1/3 ≺ k ≼ 1 − 1/3

⇔ −4/3 ≺ k ≼ 2/3 

comme k ∈ ℤ alors : k = − 1 ou k = 0.

• Si k = − 1, alors : x = π/3 − π = −2π/3.
• Si k = 0, alors : x = π/3.

Donc

S = {−5π/6, −2π/3, π/6, π/3} 

Exercice 3 (Les transformations dans le plan)

IAB est un triangle et C, D deux points tel que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB

1. On cherche le rapport et le centre de l’homothétie h.

On a h est l’homothétie qui transforme A en C et B en D, et comme IC = 1/3IA et ID = 1/3IB. Ceci signifie que h est l’homothétie de centre I et de rapport 1/3.

2. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) On cherche h ((BC)) :

On a : h(B) = D, ceci signifie que l’image de la droite (BC) par h est la droite qui passe par D et parallèle à (BC), c’est-à-dire la droite (DE). Donc : h((BC)) = (DE).

b) Montrons que : h(C) = E.

On a : (BC)∩(IA) = {C}. Donc, il suffit de trouver les images des droites (BC) et (IA) par l’homothétie h.

On sait que : I ∈ (IA), donc : h((IA)) = (IA).

D’autre part, on a h((BC)) = (DE). Ceci signifie que l’image du point C par l’homothétie h est l’intersection des droites (IA) et (DE), et comme (IA) ∩ (DE) = {E} . Donc : h(C) = E.

Exercice 4 (Les transformations dans le plan)

IAB est un triangle et C, D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB

On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.

1. On détermine le rapport de h.

On a : h(C) = A, c’est-à-dire : IA = kIC. (avec k est le rapport de l’homothétie).

D’autre part, on a : IC = 1/3 IA. Donc : IA = 3IC. Ce qui montre que k = 3.

2. Montrons que h(D) = B.

Il suffit de montrer que : IB = 3ID.

On a : ID = 1/3IB. Donc : IB = 3ID. Ce qui signifie que h(D) = B.

3. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) Montrons que : h(E) = C.

On a : (DE) ∩(IA) = {E} . Donc il suffit de trouver les images des droites (DE) et (IA) par l’homothétie h.

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