Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique

Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique. (1ère année lycée – tronc commun scientifique – seconde)

Exercice 1 (le produit scalaire)

Dans la figure ci-dessous EFG est un triangle équilatéral de côté a, (a ∈ ℝ*₊) et EGH est un triangle rectangle en E tel que : EH = 2a et K est le milieu de [EH].

1. Montrer que : (EF , EH) ≡ 5π/2 [2π] .
2. Montrer que : EF.EG = a²/2 et que : EF.EH = −a²√3.
3. Montrer que : GH² = 5a² et que : FH² = (5 + 2√3)a² .
4. Calculer : GF.GH
5. On pose : ( GF,GH ) ≡ θ [2π]. Montrer que : cosθ = (1−2√3)√5/10
6. Calculer : GK.

Exercice 2 (le calcul trigonométrique)

1. Résoudre dans ]0, π] l’inéquation suivante (I) : 2cos² x − cos x ≺ 0.
2. Soit x un réel. On pose : A(x) = cos x.sin x
   1. Montrer que pour tout x de ℝ : A(π/2 − x) = A(x) et que : A(π + x) = A(x).
   2. Montrer que pour tout x de ℝ tel que : x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ. A(x) = tanx/1+tan² x
   3. Résoudre dans l’intervalle ]−π, π] l’équation : A(x) = √3/4 .

Exercice 3 (transformation dans le plan)

Soit IAB un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID= 1/3IB.

On considère h l’homothétie qui transforme A en C et B en D.

1. Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie.
2. La droite passant par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.
   1. Déterminer l’image de la droite (BC) par h.
   2. Montrer que : h(C) = E.

Exercice 4

IAB est un triangle et soient C et D deux points tels que : IC = 1/3IA et ID = 1/3IB.

On considère l’homothétie h de centre I tel que : h(C) = A.

1. Déterminer le rapport de l’homothétie h.
2. Montrer que : h(D) = B.
3. La droite qui passe par D et parallèle à (BC) coupe (IA) en E.

a) Montrer que : h(E) = C.

4. Déduire l’image du triangle ECD par l’homothétie h.

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Correction devoir maison

Exercice 1 (produit scalaire)

On considère la figure suivante :

1. Montrons que : (EF , EH) ≡ 5π/6 [2π]

On utilise la relation de Chasles, on obtient :

( EF , EH ) ≡ ( EF , EG ) + ( EG , EH )

≡ π/3 + π/2 [2π]

≡ 5π/6 [2π]

2. Montrons que : EF.EG = a²/2.

EF.EG = EF.EG. cos(FEG)

= a × a × cos (π/3)

= a × a × 1/2 (car : FEG = π/3)

= a²/2

• Montrons que : EF.EH = −a²√3

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Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir surveillé les fonctions et le calcul trigonométrique