Devoir surveillé les fonctions et le calcul trigonométrique

Devoir surveillé les fonctions et le calcul trigonométrique. Devoir surveillé numéro 2 sur les fonctions et le calcul trigonométrique (1ère année bac – tronc commun).

Exercice 1

1. Déterminer l’ensemble de définition de fonction : ƒ(x) = 2x/x² −6x+5 .
2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x² + 2x + 1. Montrer que la fonction ƒ admet une valeur maximale sur ℝ.

Exercice 2

On considère les fonctions numériques ƒ et h définie par : ƒ(x) = −2x² + 4x − 1 et h(x) = x/x−1

et (C_ƒ) et (C_h) les courbes représentatives respectives de ƒ et h dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h, puis donner son tableau de variations.
2. Quelle est la nature de la courbe (C_h).
3. Calculer h(3/2), h(2) et h(3), puis tracer la courbe (C_h).

Exercice 3

1. Soient u et v deux vecteurs tels que : ( u , v ) ≡ 88π/3 [2π].

Déterminer la mesure principale de l’angle orienté ( u , v ).

2. Simplifier A et calculer la valeur de la somme B.

A = cos(x + 4π) + cos(5π + x) − sin (π/2 + x) − cos(x − π).

B = cos π/7 + cos 2π/7 + cos 3π/7 + cos 4π/7 + cos 5π/7 + cos 6π/7

3. a) Calculer la valeur de la somme suivante : A = cos² π/10 + cos² 4π/10 + cos² 6π/10 + cos² 9π/10

b) Déduire la valeur de la somme : B = sin² π/10 + sin² 4π/10 + sin² 6π/10 + sin² 9π/10

Exercice 4

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par : ƒ(x) = x + 9/x

1. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ* , montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−9/xy
2. Déduire la monotonie de la fonction ƒ sur ]0, 3] , puis déduire un encadrement pour ƒ(a) sachant que a ∈ [1, 2].

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Correction devoir surveille N2

Exercice 1

1. L’ensemble de définition de la fonction : ƒ(x) = 2x/x² −6x+5

D_ƒ = { x ∈ ℝ ⁄ x² − 6x + 5 ≠ 0 }

On résout dans ℝ l’équation : x² − 6x + 5 = 0.

∆ = b² − 4ac

= (−6)² − 4 × 1 × 5

= 16 ≻ 0

Donc, l’équation admet deux solutions réelles distinctes x₁ et x₂ .

x₁ = −b+√∆/2a = 6+√16/2×1 = 5 et x₂ = −b−√∆/2a = 6−√16/2×1 = 1

Donc

D_ƒ = {x ∈ ℝ ⁄ x ≠ 1 et x ≠ 5}

= ]−∞, 1[⋃]1, 5[⋃]5, +∞[

2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = −3x² + 2x + 1.

On a : a = −3, b = 4 et c = 1 et comme : −b/2a = 2/3 et a ≺ 0. Donc, on déduit le tableau de variations suivant :

On déduit que la fonction ƒ admet 7/3 comme valeur maximale en point d’abscisse 2/3 sur ℝ.

Exercice 2

On considère les fonctions numériques ƒ et h définies par : ƒ(x) = −2x² + 4x − 1 et h(x) = x/x−1.

1. L’ensemble de définition de la fonction h :

D_h = {x ∈ ℝ ⁄ x − 1 ≠ 0}

= ]−∞, 1[⋃]1, +∞[

• Tableau de variations de h :

b) La courbe représentative de la fonction h est appelé hyperbole son centre de symétrie est le point S (1, 1) et les droites d’équations : (D) : x = 1 et (D′) : y = 1 sont les deux asymptotes de la courbe (C_h).

c) On a : h(3/2) = 3/2/3/2−1 = 3, h(2) = 2/2−1 = 2 et h(3) = 3/3−1 = 3/2.

2. a) On a : a = − 2 ≺ 0 et −b/2a = −4/−4 = 1. Donc le tableau de variations de la fonction est:

La courbe représentative de la fonction ƒ est appelé parabole de sommet S(1, 1) et la droite d’équation (D) : x = 1 son axe de symétrie.

b) On a : ƒ(0) = −1 , ƒ(1/2) = 1/2 et ƒ(1/4) = −1/8.

Voir la question 1/c la courbe en rouge présente la fonction ƒ.

c) Les solutions de l’équation (E) : ƒ = m avec m ∈ ℝ.

• Si m ∈ ]1, +∞[ , alors l’équation (E) n’admet aucune solution.
• Si m ∈ ]−∞, 1[ , alors l’équation (E) admet deux solution distinctes.
• Si m = 1, alors l’équation (E) admet une unique solution.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Les équations et les inéquations et les systèmes cours