Devoir surveillé sur le calcul trigonométrique tcs

Devoir surveillé sur le calcul trigonométrique tcs. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1

Soit (C) un cercle trigonométrique de centre O et de repère orthonormé direct associé (O, OI, OJ).

On considère deux points A et B d’abscisses curvilignes respectives 95π/6 et −44π/3 sur (C).

1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points A et B.
2. Tracer les points A et B.
3. a) Déterminer la mesure principale de l’angle orienté (OA, OB).

b) En déduire la nature du triangle OAB.

Exercice 2

Soit x un nombre réel. On pose cos(x) − sin(x) = α.

Calculer en fonction de α chacune des expressions suivantes :

A = cos(x) × sin(x) , B = cos(x) × sin²(x) − sin(x) × cos²x

Exercice 3

Soit θ un nombre réel de l’intervalle ]π/2, π[ tel que sinθ = √2−1/2.

Calculer cos(θ) et tan (θ).

Exercice 4

Calculer la valeur de chacun des nombres suivants :

A = cos(π/10) × sin(3π/5) − sin(π/10) × cos(3π/5)

B = 1 + cos(π/7) + cos(2π/7) + cos(3π/7) + cos(4π/7) + cos(5π/7) + cos(6π/7)

C = cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²(5π/8) + cos²(7π/8)

D = 1 + sin(π/3) + sin(2π/3) + sin(−π/3) + sin(5π/3) + cos(11π/4) + cos(11π/3)

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Correction du devoir surveillé 

Exercice 1

On considère deux points A et B d’abscisses curvilignes respectives 95π/6 et −44π/3 sur (C).

1. On cherche l’abscisse curviligne principale de chacun des points A et B.

∎ On a 95π/6 = 90π+5π/6 = 90π/6 + 5π/6 = 15π + 5π/6 = 16π − π + 5π/6 = 16π − π/6

donc −π/6 est l’abscisse curviligne principale de 95π/6.

∎ On a

−44π/3 = −45π+π/3

= −45π/3 + π/3

= −15π + π/3

= −14π − π + π/3

= −14π − 2π/3

donc − 2π/3 est l’abscisse curviligne principale de −44π/3.

2. On trace le cercle

3. a) On cherche la mesure principale de l’angle orienté (OA, OB).

On a d’après la relation de Chasles

(OA, OB) ≡ (OA, OI) + (OI, OB) [2π]

≡ π/6 − 2π/3 [2π]

≡ −π/2 [2π]

par suite la mesure principale de l’angle (OA, OB) est −π/2.

b) Comme OA = OB et (OA, OB) ≡ −π/2 [2π] donc le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

Exercice 2

Soit x un réel. On pose cosx − sinx = α.

Calculons en fonction α chacun des expressions

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