Rotation dans le plan 1 bac

Rotation dans le plan 1 bac

La rotation dans le plan 1 bac cours. (1ère s/ 1ère année bac)

Rotation – Rotation réciproque (Rotation dans le plan 1 bac)

Rotation (Rotation dans le plan 1 bac)
Définition 1

Soit Ω un point du plan (P) orienté dans le sens direct et α un réel.

On appelle la rotation de centre Ω et d’angle α la transformation du plan, qui à chaque point M du plan associe le point M′ tel que :

∎ Si M = Ω alors M′ = Ω.

∎ Si M ≠ Ω alors { ΩM = ΩM′ et (ΩM, ΩM′) ≡ α []

Conséquences 2

∎ On note la rotation de centre Ω et d’angle α par r(Ω, α) et on écrit : r(M) = M′.

∎ Si r(M) = M′ on dit que M′ est l’image de M par la rotation r.

∎ Si r(Ω) = Ω on dit que le centre de la rotation est un point invariant.

r(M) = M′ ⇔ { ΩM = ΩM′ et (ΩM, ΩM′) ≡ α [] avec M ≠ Ω.

Exemple 3

On considère la figure ci-contre

∎ On a OA = OB et (OA, OB) ≡ π/2 [] donc B est l’image de A par la rotation r de centre O et d’angle π/2. on note par r(A) = B.

∎ De même On a OC = OD et (OC, OD) ≡ π/2 [] donc r(C) = D.

Rotation réciproque
Définition 4

La rotation r(Ω, −α) de centre Ω et d’angle −α est appelé la rotation réciproque de la rotation r(Ω, α). On note r(Ω, −α) = r−1. On a

r(M) = M′r−1(M′) = M

Propriétés

Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan et r(Ω, α) la rotation de centre Ω et d’angle α.

Rotation et angle

Si r(A) = A′ et r(B) = B′, alors (AB, A′B′) ≡ α [].

Rotation et distance

Si r(A) = A′ et r(B) = B′, alors AB = A′B′. (On dit que la rotation conserve la distance)

Exemple 5

OAB et OCD sont deux triangles rectangles isocèles au sommet commun O et r la rotation de centre O et d’angle π/2 tels que : (OA, OB) ≡ π/2 [].

  1. Déterminer les images des points A et C par la rotation r.
  2. Montrer que : AC = BD et (AC) ⊥ (BD).

On considère la rotation r de centre O et d’angle π/2.

∎ Le triangle OAB est rectangle isocèle en O, donc OA = OB et puisque (OA, OB) ≡ π/2 [] alors le point B est l’image de A par la rotation r. C’est-à-dire r(A) = B.

∎ Le triangle OCD est rectangle isocèle en O, donc OC = OD et puisque (OC, OD) ≡ π/2 [] alors r(C) = D.

Donc on obtient r(A) = B et r(C) = D et comme la rotation conserve la distance donc AC = BD. D’autre part l’angle de la rotation r est une mesure de l’angle orienté (AC, BD) c’est-à-dire (AC, BD) ≡ π/2 []. Donc les vecteurs AC et BD sont orthogonaux. Ainsi les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.

Rotation et milieu

Soit I est le milieu du segment [AB].

Si r(A) = A′, r(B) = B′ et r(I) = I′ est le milieu du segment [A′B′]. (On dit que la rotation conserve le milieu d’un segment).

Exemple 6

Sur la figure suivante

On place I milieu de [AB] et J l’image de I par la rotation r de centre O et d’angle π/2.

Montrons que J est le milieu de [BC].

On a r(A) = B , r(I) = J et r(B) = C. Comme I est le milieu de [AB] alors J est le milieu de [BC]. (Conservation du milieu d’un segment).

Rotation et vecteurs

Soient r(A) = A′ , r(B) = B′ et r(C) = C′.

Si AC = k.AB alors A′C′ = k.A′B′ (ou k*).

On dit que la rotation conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.

On dit aussi que la rotation conserve l’alignement des points.

Exemple 7

ABCD est un carré de centre O tel que : (AB, AD) ≡ π/2 [].

I et J deux points tels que : AI = 1/3AD et BJ = 3/4BA.

Soit r la rotation de centre O et d’angle π/2.

  1. Déterminer r(A) , r(B) , r(C) , r(D) et r(O).
  2. Montrer que r(I) = J.
Rotation et barycentre

Soit G le barycentre des points (A, α) et (B, β).

Si r(A) = A′, r(B) = B′ et r(G) = G′ alors G′ est le barycentre des points (A′, α) et (B′, β). On dit que la rotation conserve le barycentre de deux points.

Exemple 8

ABC est un triangle rectangle isocèle en A tel que (AB, AC) ≡ π/2 []. P et Q deux points du plan tels que P est le barycentre de (A, 2) et (B, 1) et Q est le barycentre de (A, 1) et (C, 2). Soit r la rotation de centre O milieu du segment [BC] et d’angle π/2.

  1. Montrer que : r(A) = B et r(C) = A.
  2. Montrer que P est l’image de Q par la rotation r.

∎ On a P est le barycentre de (A, 2) et (B, 1) donc AP = 1/3AB. De plus Q est le barycentre de (A, 1) et (C, 2) donc AQ = 2/3AC.

On a ABC est un triangle rectangle en A et O est le milieu de [BC]. Donc OA = OB = OC et (OA) ⊥ (BC).

{ OA = OB et (OA, OB) ≡ π/2 [] ⇔ r(A) = B et { OC = OA et (OC, OA) ≡ π/2 [] ⇔ r(C) = A

∎ Montrons que P est l’image de Q par la rotation r.

On pose r(Q) = Q′. On a { r(C) = A et r(Q) = Q′ et r(A) = B Q est le barycentre de (A, 1) et (C, 2).

Donc Q′ est le barycentre de (B, 1) et (A, 2) car la rotation conserve le barycentre. Comme P est le barycentre de (B, 1) et (A, 2). Donc AQ′ = AP. D’où P = Q′ par suite r(Q) = P.

Rotation et angles

Si r(A) = A′ , r(B) = B′ , r(C) = C′ et r(D) = D′. Alors (AB, CD) ≡ (A′B′, C′D′)[]. (On dit que la rotation conserve les mesures d’angles orientés)

Exemple 9

ABC est un triangle équilatéral tel que : (AB, AD) ≡ π/3 [].

Soit r la rotation de centre A et d’angle π/3.

  1. Tracer les points D et E tels que r(C) = D et r(D) = E.
  2. Montrer que : (AC, BD) ≡ π/2 [].
  3. Déduire la mesure de l’angle (AD, CE).

∎ On a r(C) = D donc AC = AD et (AC, AD) ≡ π/3 [] et r(D) = E donc AD = AE et (AD, AE) ≡ π/3 [].

On déduit que les deux triangles ACD et ADE sont équilatéraux.

∎ Montrons que : (AC, BD) ≡ π/2 [].

On a AB = BC = CD = DA, donc ABCD est un losange. D’où (BD) ⊥ (AC). Par suite (AC, BD) ≡ π/2 [].

∎ Déduisons la mesure de l’angle (AD, CE).

On a r(A) = A, r(B) = C, r(C) = D et r(D) = E, donc (AC, BD) ≡ (AD, CE) [] et comme (AC, BD) ≡ π/2 [] donc (AD, CE) ≡ π/2 []. Car la rotation conserve les mesures des angles orientés.

Exemple 10

Dans le plan orienté, on considère un carré de centre O tel que : (AB, AD) ≡ π/2 [].

Soient E et G deux points définis par : AE = 1/3AB et DG = 1/3DA.

F et H sont les milieux respectifs des segments [CD] et [BC].

Soit r la rotation de centre O et d’angle −π/2.

  1. Tracer une figure.
  2. Déterminer r(A) et r(B).
  3. Montrer que r(E) = G.
  4. Déterminer r(F).
  5. Déduire que (EF) ⊥ (GH).

∎ La figure

∎ On cherche r(A) et r(B) :

On a { OA = OD et (OA, OD) ≡ −π/2 [] donc r(A) = D.

On a { OB = OA et (OB, OA) ≡ −π/2 [] donc r(B) = A.

∎ Montrons que : r(E) = G.

On pose r(E) = E′ et on a AE = 1/3AB et comme { r(A) = D et r(B) = A et r(E) = E′ alors DE′ = 1/3DA.

Car la rotation conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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