Devoir sur la rotation dans le plan et les limites

Devoir maison sur la rotation dans le plan et les limites d’une fonction numérique. (1ère s/ 1ère année bac)

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

lim_x→3 x²−x−6/x²−4x+3, lim_x→2 √x+2+√7+x−5/x²−3x+2, lim_x→−∞ √x²+x−1 + x et lim_x→+∞ √2x−1 −3x² + x + 2

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

lim_x→0 sin(2x)−2sinx/x², lim_x→π/4 √2cos(x)−1/√2sin(x)−1, lim_x→0⁺ 1−cos√x/sinx

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

{ ƒ(x) = √x−1/2−√3+x si x > 1 et ƒ(x) = √1−x/2x²+x−3 si x < 1

1. Montrer que : D_ƒ = ]−∞, −3/2[∪]−3/2, 1[∪]1, +∞[
2. Calculer : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
3. Calculer : lim_x→1⁺ ƒ(x) et lim_x→1⁻ ƒ(x). Que peut-on conclure ?
4. Étudier la limite de la fonction ƒ au point x₁ = −3/2.

Exercice 4

ABC est un triangle rectangle isocèle en A tel que (AB, AC) ≡ π/2 [2π].

Soient P et Q deux points tels que : AP = 2/5AB et CQ = 2/5CA et r la rotation de centre O le milieu de [BC] et d’angle π/2.

1. Déterminer r(A) et r(C).
2. Montrer que : r(Q) = P.
3. En déduire la nature du triangle OPQ.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 3

On considère la fonction ƒ définie par

{ ƒ(x) = √x−1/2−√3+x si x > 1 et ƒ(x) = √1−x/2x²+x−3 si x < 1

1. Montrons que D_ƒ = ]−∞, −3/2[∪]−3/2, 1[∪]1, +∞[ :

On pose :

ƒ₁(x) = √x−1/2−√3+x et I = ]1, +∞[ , ƒ₂(x) = √1−x/2x²+x−3 et J = ]−∞, 1[

On a d’une part

D_ƒ1 = { x ∈ ℝ/ x ≥ 0 et 3 + x ≥ 0 et 2 − √3+x ≠ 0}

= { x ∈ ℝ/ x ≥ 0 et x ≥ − 3 et √3+x ≠ 2}

= { x ∈ ℝ/ x ≥ 0 et √3+x ≠ 2}

soit x ∈ [0, +∞[, on résout l’équation : √3+x = 2

√3+x = 2 ⇔ 3 + x = 4 ⇔ x = 4 − 3 ⇔ x = 1

donc :

D_ƒ1 = { x ∈ ℝ/ x ≥ 0 et x ≠ 1}

= [0, 1[∪]1, +∞[

par suite :

D_ƒ1∩ I = ([0, 1[∪]1, +∞[)∩]1, +∞[

= ([0, 1[∩]1, +∞[) ∪ (]1, +∞[∩]1, +∞[)

= Ø ∪ ]1, +∞[

= ]1, +∞[

D’autre part

D_ƒ2 = { x ∈ ℝ/ 1 − x ≥ 0 et 2x² + x − 3 ≠ 0}

= { x ∈ ℝ/ x ≤ 1 et 2x² + x − 3 ≠ 0}

Résolvons l’équation : 2x² + x − 3 = 0.

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Vous pouvez aussi consulter :

• La rotation dans le plan 1 bac cours
• Devoir surveillé sur les limites d’une fonction