Devoir sur la rotation dans le plan et les limites

Devoir sur la rotation dans le plan et les limites

Devoir maison sur la rotation dans le plan et les limites d’une fonction numérique. (1ère s/ 1ère année bac)

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

limx→3 x2−x−6/x2−4x+3, limx→2 √x+2+√7+x−5/x2−3x+2, limx→−∞ √x2+x−1 + x et limx→+∞ √2x−1 −3x2 + x + 2

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

limx→0 sin(2x)−2sinx/x2, limx→π/4 √2cos(x)−1/√2sin(x)−1, limx→0+ 1−cos√x/sinx

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

{ ƒ(x) = √x−1/2−√3+x si x > 1 et ƒ(x) = √1−x/2x2+x−3 si x < 1

  1. Montrer que : Dƒ = ]−∞, −3/2[∪]−3/2, 1[∪]1, +∞[
  2. Calculer : limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
  3. Calculer : limx→1+ ƒ(x) et limx→1 ƒ(x). Que peut-on conclure ?
  4. Étudier la limite de la fonction ƒ au point x1 = −3/2.
Exercice 4

ABC est un triangle rectangle isocèle en A tel que (AB, AC) ≡ π/2 [].

Soient P et Q deux points tels que : AP = 2/5AB et CQ = 2/5CA et r la rotation de centre O le milieu de [BC] et d’angle π/2.

  1. Déterminer r(A) et r(C).
  2. Montrer que : r(Q) = P.
  3. En déduire la nature du triangle OPQ.
Cliquer ici pour télécharger le devoir maison sur la rotation dans le plan et les limites 1 bac

Correction du devoir surveillé

Exercice 3

On considère la fonction ƒ définie par

{ ƒ(x) = √x−1/2−√3+x si x > 1 et ƒ(x) = √1−x/2x2+x−3 si x < 1

  1. Montrons que Dƒ = ]−∞, −3/2[∪]−3/2, 1[∪]1, +∞[ :

On pose :

ƒ1(x) = √x−1/2−√3+x et I = ]1, +∞[ , ƒ2(x) = √1−x/2x2+x−3 et J = ]−∞, 1[

On a d’une part

Dƒ1 = { x/ x ≥ 0 et 3 + x 0 et 2 − √3+x 0}

= { x / x 0 et x− 3 et √3+x ≠ 2}

= { x/ x 0 et √3+x ≠ 2}

soit x ∈ [0, +∞[, on résout l’équation : √3+x = 2

√3+x = 2 3 + x = 4 x = 4 − 3x = 1

donc :

Dƒ1 = { x/ x 0 et x ≠ 1}

= [0, 1[∪]1, +∞[

par suite :

Dƒ1I = ([0, 1[∪]1, +∞[)∩]1, +∞[

= ([0, 1[∩]1, +∞[) ∪ (]1, +∞[∩]1, +∞[)

= Ø ∪ ]1, +∞[

= ]1, +∞[

D’autre part

Dƒ2 = { x/ 1 − x0 et 2x2 + x − 3 ≠ 0}

= { x/ x 1 et 2x2 + x − 3 ≠ 0}

Résolvons l’équation : 2x2 + x − 3 = 0.

Cliquer ici pour télécharger la correction du devoir maison sur la rotation dans le plan et les limites

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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