par Devoir surveillé sur la dérivation et la rotation dans le plan. (1ère année bac)
Exercice 1 (Devoir surveillé sur la dérivation et la rotation)
Calculer ƒ'(x) dans chacun des cas suivants :
ƒ(x) = x3+2x2−3/x2+1 , ƒ(x) = 1/(x2+x+1)3 , ƒ(x) = √x2+3x−1/2−x , ƒ(x) = x2sin(2x + 1)
Exercice 2
Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = 2x√1−x
- Déterminer le domaine de définition de ƒ.
- Calculer : limx→−∞ ƒ(x).
- La fonction ƒ est-elle dérivable à gauche en x0 = 1 ? Justifier votre réponse puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
- Montrer que : (∀ x ∈ ]−∞, 1[) , ƒ'(x) = 2−3x/√1−x.
- Dresser le tableau de variations de ƒ.
Exercice 3
On considère les deux triangles OAB et ODC isocèles et rectangles en O.
Voir la figure ci-dessous. Soit r la rotation de centre O et d’angle π/2.
- Montrer que : r(A) = B et r(D) = C.
- Déduire que : (AD) ⊥ (BC) et BC = AD.
- Soit M l’image de C par la rotation r.
Montrer que les droites (AC) et (BM) sont perpendiculaires.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 2
Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = 2x√1−x.
- Déterminons Dƒ :
On a Dƒ = { x ∈ ℝ / 1 − x ≥ 0} = { x ∈ ℝ / x ≤ 1} = ]−∞, 1].
Exercice 3
- Montrons que : r(A) = B et r(D) = C.
On considère r la rotation de centre O et d’angle π/2.
On a { OA = OB et (OA, OB) ≡ π/2 [2π] alors le point B est l’image de A par la rotation r, c’est-à-dire r(A) = B.
On a { OD = OC et (OD, OC) π/2 [2π] alors le point C est l’image de D par la rotation r, c’est-à-dire r(D) = C.
2. Déduisons que : (AD) ⊥ (BC) et BC = AD.
On a r(A) = B et r(D) = C et comme la rotation conserve la distance donc AD = BC. D’autre part l’angle de la rotation r est une mesure de l’angle orienté (AD, BC) c’est-à-dire (AD, BC) ≡ π/2 [2π]. Donc les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires.
3. Soit M l’image de C par la rotation r.
On a r(A) = B et r(C) = M et comme l’angle de la rotation r est une mesure de l’angle orienté (AC, BM) c’est-à-dire (AC, BM) ≡ π/2 [2π]. Donc les droites (AC) et (BM) sont perpendiculaires.
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