Devoir surveillé sur les limites d’une fonction

Devoir surveillé sur les limites d’une fonction N1. (1ère année bac/ première s)

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

lim_x→0 x+sin²x/1−cosx , lim_x→π/3 sin(3x)/1−2cosx , lim_x→π/3 √3cosx−sinx/sin3x et lim_x→−π/3 cosx/1+sinx

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ √x²+3x+mx (m ∈ ℝ) , lim_x→+∞ √x²ⁿ⁺¹/x−1 −2x (n ∈ ℕ*)

Exercice 3

On considère la fonction numérique ƒ définie par :

{ƒ(x) = √x− √1+x²/2+x ; x ≥ 0 et ƒ(x) = cosx−√2+sinx/x ; x ≺ 0

1. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x).
2. Calculer lim_x→0⁺ƒ(x) et lim_x→0⁻ƒ(x). Que peut-on conclure ?
   1. Montrer que : (∀x ∈ ]−∞, 0[), ∣ƒ(x)∣ ≤ 1+√3/∣x∣
   2. Déduire lim_x→−∞ ƒ(x).

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

{ƒ(x) = √x−1/2−√3+x si x ≻ 1 et ƒ(x) = √1−x/2x²+x−3 si x ≺ 1

1. Montrer que : D_ƒ = ]−∞, −3/2[⋃]−3/2, 1[⋃]1, +∞[
2. Calculer : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
3. Calculer : lim_x→1⁺ ƒ(x) et lim_x→1⁻ ƒ(x). Que peut-on conclure ?
4. Étudier la limite de la fonction ƒ au point x₁ = −3/2.

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Correction du devoir surveillé N1

Exercice 1

Calculons les limites suivantes :

• lim_x→0 x+sin²x/1−cosx = 0/0 (F.I)

lim_x→0 x+sin²x/1−cosx = lim_x→0 x²(1/x + sin²x/x²)/(1−cos²x/x²)×x²

= lim_x→0 1/x+(sinx/x)²/1−cos²x/x²

comme : lim_x→0 (sinx/x)² = 1 et lim_x→0 1−cosx/x² = 1/2, alors :

lim_x→0⁺ x+sin²x/1−cosx = +∞ et lim_x→0⁻ x+sin²x/1−cosx = −∞

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Vous pouvez aussi consulter :

• Limites d’une fonction exercices corrigés
• Devoir de maison limites et continuité Terminale