Calcul vectoriel dans le plan cours

Calcul vectoriel tronc commun

Calcul vectoriel dans le plan tronc commun cours.(Tronc commun scientifique/ seconde)

Vecteur du plan : Rappel (Calcul vectoriel tronc commun)

Définition 1

Un vecteur u est un objet mathématique qui se définit par :

  • Une direction (celle de la droite dans laquelle est inclus le vecteur)
  • Un sens (orientation de la flèche)
  • Une norme : longueur du vecteur notée : ∥u

Remarque 2

  • Un vecteur n’a pas de point d’application. On peut donc placer où l’on veut dans le plan euclidien. En cela il se différentie de la force en physique qui a un point d’application.
  • Les trois caractéristiques d’un vecteur (direction, sens, norme) ne permettent pas de lui donner une position. Lorsqu’on « trace » un vecteur, on n’en donne en fait qu’un représentant.
  • Pour fixer un représentant particulier du vecteur u , on peut prendre deux points A et B du plan. On note alors ce représentant : AB.

Vecteurs égaux (Calcul vectoriel tronc commun)

Définition 3

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.

Propriété 4

Soient A , B , C et D quatre points non alignés du plan. AB = DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

Remarque 5

On peut donc associer un parallélogramme à l’égalité de deux vecteurs, ce qui simplifie la démonstration pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

Addition vectorielle

Propriété 6 (Relation de Chasles)

Soient A et C deux points du plan. Pour tout point B du plan, on a : AB + BC = AC

Exemple 7

AB + EC + BE + CA = AB + BE + EC + CA

= AE + EC + CA

= AC + CA

= AA = 0

Remarque 8

Cette addition de deux vecteurs ne s’applique pas à la norme, en effet :

u + v ∥ ≠ ∥ u ∥ + ∥ vmais u + v ∥ ≤ ∥ u ∥ + ∥ v

Propriété 9 (règle du parallélogramme)

O, A et B trois points non alignés.

La somme des vecteurs OA et OB est le vecteur OC tel que le quadrilatère OACB est un parallélogramme.

Exemple 10

A, B et C trois points non alignés

Construire le point E tel que : AE = AB + AC .

Définition 11 (vecteurs opposés)

Deux vecteurs sont dits opposés s’ils ont la même direction, la même norme mais qu’ils sont de sens contraire.

Remarque 12

AB = − BA

Exemple 13

ABC est un triangle et E est le milieu du segment [BC]. On considère le point M, tel que : CM = CA + CE. Montrer que les quadrilatères ACEM et AEBM sont des parallélogrammes.

On a :

CM = CA + CE

CM − CA = CE

− MC − CA = CE

⇔ −(MC + CA) = CE

− MA = CE

AM = CE

Ceci signifie que le quadrilatère ACEM est un parallélogramme.

  • D’autre part, on a E est le milieu du segment [BC]. Donc : BE = EC. De plus : BE = MA. Ce qui montre que le quadrilatère AEBM est un parallélogramme.

Produit d’un vecteur par un réel

Définition 14

Soit un vecteur u et un réel k.

On définit le produit k u du scalaire k par le vecteur u par :

  • Si k0, alors k u à la même direction et même sens que u et sa longueur est multiplier par k. On a alors : ∥k u= k ×u∥ .
  • Si k0, alors k u a la même direction et un sens contraire à u et sa longueur est multiplier par −k. On a alors :∥k u= −k ×u∥.
  • Si k = 0, on a : 0 u = 0.

Exemple 15

On a les vecteurs suivants :

Propriété 16

Soient u et v deux vecteurs et pour tous réels k et k′. On a :

  • (k + k′) u = k u + k′u
  • k(u + v) = k u + k v
  • k(k′u) = (kk′) u
  • k u = 0k = 0 ou u = 0

Exemple 17

A et B sont deux points tels que : AB = 6cm. Placer les points M et N définis par les relations suivantes :

2AM + BM = 0 et 2NA − 5NB = 0

Astuce. Pour placer les points M et N, on exprime les vecteurs AM et AN à l’aide du vecteur AB.

  • Pour le point M.

2AM + BM = 0 ⇔  2AM + (BA + AM) = 0

⇔  3AM − AB = 0

⇔  AM = 1/3AB

  • Pour le point N.

2NA − 5NB = 0 ⇔  2NA − 5(NA + AB) = 0

⇔ 2NA − 5NA − 5AB = 0

⇔ −3NA −5AB = 0

 3AN = 5AB

⇔ AN = 5/3AB

On obtient la formule suivante :

Colinéarité de deux vecteurs

Définition 18

Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v = k u.

Remarque 19

Cela découle directement de la définition du produit d’un vecteur par un scalaire.

Exemple 20

A, B, C et D quatre points du plan tels que : 5AD = 3AB + 2AC.

Montrer que les vecteurs BD et BC sont colinéaires.

  • Les vecteurs BD et BC sont colinéaires s’il existe un réel k tel que BD = kBC.

BD = BA + AD

= BA + 3/5AB + 2/5AC

= −AB + 3/5AB + 2/5AC

= −2/5AB + 2/5AC

= 2/5(−AB + AC)

= 2/5(BA + AC)

= 2/5BC

Ceci signifie que les vecteurs BD et BC sont colinéaires.

Propriété 21 (Parallélisme et alignement)

  • Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
  • Les points A, B, et C sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Exemple 22

A, B et C trois points du plan tels que : AB = 4AC + 5CB.

  1. Montrer que : AC = 4AB.
  2. Que peut-on conclure ?
  • En utilisant la relation de Chasles, on a :

AC = AB + BC

= 4AC + 5CB + BC

= 4AC − 4BC

= 4(AC − BC)

= 4(AC + CB)

= 4AB

  • Comme AC = 4AB, alors les vecteurs AC et AB sont colinéaires. Ceci signifie que les points A, B et C sont alignés.

Exemple 23

ABC est un triangle et P le point défini par : 5AB + 4PC = 0.

Montrer que ABPC est un trapèze.

Astuce.

Pour montrer que ABPC est un trapèze, il faut montrer que les droites (CP) et (AB) sont parallèles, c’est à dire que les vecteurs CP et AB sont colinéaires.

Or on sait que :

5AB + 4PC = 0 ⇔ AB = 4/5CP

Donc, les vecteurs CP et AB sont colinéaires. Ceci signifie que les droites (CP) et (AB) sont parallèles. D’où ABPC est un trapèze.

Milieu d’un segment

Définition 24

Soit [AB] un segment.

On dit que I est le milieu du segment [AB] si : IA + IB = 0.

Propriété 25

Soit [AB] un segment.

I est le milieu du segment [AB] si et seulement si : AI = IB ou AB = 2AI.

Démonstration 26

On a I est le milieu du segment [AB] . Donc :

IA + IB = 0 ⇔ −IA = IB AI = IB

D’autre part, on a I est le milieu du segment [AB] . Donc :

IA + IB = 0 IA + IA + AB = 02IA = −AB AB = 2AI

Exemple 27

A, B, C, M et N cinq points tels que : AC + BC = AM + BN.

Montrer que le point C est le milieu du segment [MN].

Propriété 28 (La propriété caractéristique du milieu)

Soit [AB] un segment et I son milieu.

Pour tout point M du plan, on a :

2MI = MA + MB

Démonstration 29

Soit [AB] un segment et I son milieu. Soit M un point du plan, on a :

MA + MB = (MI + IA) + (MI + IB)

= 2MI + IA + IB

= 2MI + 0

= 2MI

D’où, pour tout point M du plan on a 2MI = MA + MB.

Exemple 30

Soit ABC un triangle et M, N et P trois points tels que : AM = 2/3AB , AN = 1/3AC et AP = AB − 1/3BC.

  1. Montrer que : MN + MP = −2AM + AN + AP.
  2. Montrer que M est le milieu du segment [NP].

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Le calcul vectoriel dans le plan exercices corrigés tronc commun

Exercice 1

Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points du plan tels que : DE = 5/2DA et DF = 5/3DC.

  1. Montrer que : BE = 3/2DA − AB et BF = 2/3DC + BC.
  2. Exprimer les vecteurs BE et BF en fonction de AB et BC.
  3. Montrer que : 2BE = 3FB, puis déduire que les points B, E et F sont alignés.

Exercice 2

Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points tels que : CE = 1/3CD et AF = 3/2AE.

    1. Montrer que : FE = 1/3FA.
    2. Montrer que : FC = 1/3FB.
  1. Déduire que les points B, C et F sont alignés.

Exercice 3

Soit ABC un triangle I, J et K trois points tels que : AI = 2/3AB , BJ = 1/2BC et AK = 2AC.

  1. Tracer les points I, J et K.
  2. Montrer que : IJ = 1/2BC + 1/3AB.
  3. Montrer que : JK = 3/2BC + AB.
  4. Que peut-on conclure pour les points J, K et I ?

Exercice 4

Soit ABC un triangle et I et J deux points du plan tels que : AI = 1/3AC et BJ = −BC.

  1. a) Montrer que : AJ = 2AB − AC.

b) Déduire que : IJ = 2AB − 4/3AC.

2. Soit K un point défini par : AK = −AB + AC.

a) Montrer que : IK = −AB + 2/3AC.

b) Déduire que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 5

Soit ABC un triangle et P et Q deux points tels que : AP = 5/2AC + 3/2CB et CQ = −2AC + 1/2AB.

Montrer que B est milieu du segment [PQ].

Exercice 6

Soit ABC un triangle et k et E et F deux points du plan tels que :

AE = 3AB + (1 + k) AC et AF = (1 + k)AB + 3AC

  1. Montrer que les vecteurs EF et CB sont colinéaires pour tout k.
  2. Calculer la valeur de k si E = F.
  3. Calculer la valeur de k pour que le quadrilatère BCEF soit un parallélogramme.

Exercice 7

ABCD est un parallélogramme et E est le milieu de [BC] et F est le milieu de [CD].

Montrer que : AE + AF = 3/2AC.

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Correction de la série

Exercice 1

Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points du plan tels que : DE = 5/2DA et DF = 5/3DC.

  1. Montrons que : BE = 3/2DA − AB et BF = 2/3DC + BC.

BE = BD + DE

= BD + 5/2DA

= −AB + AD + 5/2DA

= −AB − DA + 5/2DA

= −AB + DA(−1 + 5/2)

= −AB + 3/2DA

= 3/2DA − AB

BF = BD + DF

= BC + CD + 5/3DC

= BC − DC + 5/3DC

= BC + DC(−1 +5/3)

= BC + 2/3DC

= 2/3DC + BC

2. Exprimons les vecteurs BE et BF en fonction de AB et BC.

On a BE = 3/2DA − AB, et comme ABCD est un parallélogramme alors DA = CB, donc

BE = 3/2CB − AB

= −3/2BC − AB

De même on a BF = 2/3DC + BC et comme ABCD est un parallélogramme alors DC = AB, donc

BF = 2/3AB + BC

3. Montrons que : 2BE = 3FB.

2BE = 2(−3/2BC − AB)

= −3BC −2AB

= 3(−BC −2/3AB)

comme FB = −BF = −2/3AB − BC, alors 2BE = 3FB donc

BE = 3/2FB

On en déduit que le vecteurs BE et FB sont colinéaires, ce qui signifie que les points B, E et F sont alignés.

Exercice 2

Soit ABCD un parallélogramme E et F deux points du plan tels que : CE = 1/3CD et AF = 3/2AE.

  1. a) Montrons que : FE = 1/3FA.

FE = FA + AE

= −AF + AE

= −3/2AE + AE

= −1/2AE

= 1/3 × −3/2AE

= 1/3FA.

b) Montrons que : FC = 1/3FB.

FC = FE + EC

= 1/3FA − CE

= 1/3FA − 1/3CD

= 1/3(FA − CDCD=BA)

= 1/3(FA − BA)

= 1/3(FA + AB)

= 1/3FB.

2. Les vecteurs FC et FB sont colinéaires, ceci signifie que les points F, C et B sont alignés.

Exercice 3

Soit ABC un triangle I, J et K trois points tels que : AI = 2/3AB , BJ = 1/2BC et AK = 2AC.

2. Montrons que : IJ = 1/2BC + 1/3AB.

IJ = IA + AJ

= −AI + AB + BJ

= −2/3AB + AB + 1/2BC

= AB(−2/3 + 1) + 1/2BC

= 1/3AB + 1/2BC

= 1/2BC + 1/3AB.

3. Montrons que : JK = 3/2BC + AB.

JK = JA + AK

= JB + BA + 2AC

= −BJ − AB + 2AC

= −1/2BC − AB + 2(AB + BC)

= −1/2BC + 2BC − AB + 2AB

= 3/2BC + AB

4. On a

JK = 3/2BC + AB

= 3(1/2BC + 1/3AB)

= 3IJ

alors JK = 3IJ, donc les vecteurs JK et IJ sont colinéaires. Ce qui signifie que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 4

Soit ABC un triangle I, J et K trois points tels que : AI = 1/3AC , BJ = −BC.

  1. a) Montrons que : AJ = 2AB − AC.

AJ = AB + BJ

= AB − BC

= AB + AB − AC

= 2AB − AC

b) On déduit que : IJ = 2AB − 4/3AC.

IJ = IA +AJ

= −AI + 2AB − AC

= −1/3AC + 2AB − AC

= −1/3AC − AC + 2AB

= 2AB − 4/3AC

2. Soit K un point défini par : AK = −AB + AC.

a) Montrons que : IK = −AB + 2/3AC.

IK = IA + AK

= −AI − AB + AC

= −1/3AC − AB + AC

= 2/3AC − AB

b) On a

IJ = 2AB − 4/3AC

= −2(−AB + 2/3AC)

= −2(2/3AC − AB)

= −2IK

ceci signifie que les vecteurs IJ et IK sont colinéaires. Donc les points I, J et K sont alignés.

Exercice 5

Montrons que B est milieu du segment [PQ].

Pour montrer que B est milieu de [PQ] il suffit de montrer que PB = BQ.

On a

PB = PA + AB

= −AP + AB

= −(5/2AC + 3/2CB) + AC + CB

= −5/2AC − 3/2CB + AC + CB

= −5/2AC + AC − 3/2CB + CB

= AC(−5/2 + 1) + CB(−3/2 + 1)

= −3/2AC − 1/2CB

D’autre part, on a

BQ = BC + CQ

= BC + (−2AC + 1/2AB)

= BA + AC −2AC + 1/2AB

= −AC + BA − 1/2BA

= −AC + BA(1 − 1/2)

= −AC + 1/2BA

= −AC + 1/2BA + 1/2CA

= −AC − 1/2AC + 1/2BC

= −3/2AC + 1/2BC

= −3/2AC − 1/2CB

ceci signifie que PB = BQ. Donc le point B est milieu de [PQ] .

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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