par Calcul vectoriel dans le plan tronc commun cours.(Tronc commun scientifique/ seconde)
Vecteur du plan : Rappel (Calcul vectoriel tronc commun)
Définition 1
Un vecteur u est un objet mathématique qui se définit par :
- Une direction (celle de la droite dans laquelle est inclus le vecteur)
- Un sens (orientation de la flèche)
- Une norme : longueur du vecteur notée : ∥u→∥
Remarque 2
- Un vecteur n’a pas de point d’application. On peut donc placer où l’on veut dans le plan euclidien. En cela il se différentie de la force en physique qui a un point d’application.
- Les trois caractéristiques d’un vecteur (direction, sens, norme) ne permettent pas de lui donner une position. Lorsqu’on « trace » un vecteur, on n’en donne en fait qu’un représentant.
- Pour fixer un représentant particulier du vecteur u , on peut prendre deux points A et B du plan. On note alors ce représentant : AB.
Vecteurs égaux (Calcul vectoriel tronc commun)
Définition 3
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.
Propriété 4
Soient A , B , C et D quatre points non alignés du plan. AB = DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme.
Remarque 5
On peut donc associer un parallélogramme à l’égalité de deux vecteurs, ce qui simplifie la démonstration pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
Addition vectorielle
Propriété 6 (Relation de Chasles)
Soient A et C deux points du plan. Pour tout point B du plan, on a : AB + BC = AC
Exemple 7
AB + EC + BE + CA = AB + BE + EC + CA
= AE + EC + CA
= AC + CA
= AA = 0
Remarque 8
Cette addition de deux vecteurs ne s’applique pas à la norme, en effet :
∥ u + v ∥ ≠ ∥ u ∥ + ∥ v ∥ mais ∥ u + v ∥ ≤ ∥ u ∥ + ∥ v ∥
Propriété 9 (règle du parallélogramme)
O, A et B trois points non alignés.
La somme des vecteurs OA et OB est le vecteur OC tel que le quadrilatère OACB est un parallélogramme.
Exemple 10
A, B et C trois points non alignés
Construire le point E tel que : AE = AB + AC .
Définition 11 (vecteurs opposés)
Deux vecteurs sont dits opposés s’ils ont la même direction, la même norme mais qu’ils sont de sens contraire.
Remarque 12
AB = − BA
Exemple 13
ABC est un triangle et E est le milieu du segment [BC]. On considère le point M, tel que : CM = CA + CE. Montrer que les quadrilatères ACEM et AEBM sont des parallélogrammes.
On a :
CM = CA + CE
⇔ CM − CA = CE
⇔ − MC − CA = CE
⇔ −(MC + CA) = CE
⇔ − MA = CE
⇔ AM = CE
Ceci signifie que le quadrilatère ACEM est un parallélogramme.
- D’autre part, on a E est le milieu du segment [BC]. Donc : BE = EC. De plus : BE = MA. Ce qui montre que le quadrilatère AEBM est un parallélogramme.
Produit d’un vecteur par un réel
Définition 14
Soit un vecteur u et un réel k.
On définit le produit k u du scalaire k par le vecteur u par :
- Si k ≻ 0, alors k u à la même direction et même sens que u et sa longueur est multiplier par k. On a alors : ∥k u∥ = k × ∥ u∥ .
- Si k ≺ 0, alors k u a la même direction et un sens contraire à u et sa longueur est multiplier par −k. On a alors :∥k u∥ = −k × ∥ u∥.
- Si k = 0, on a : 0 u = 0.
Exemple 15
On a les vecteurs suivants :
Propriété 16
Soient u et v deux vecteurs et pour tous réels k et k′. On a :
- (k + k′) u = k u + k′u
- k(u + v) = k u + k v
- k(k′u) = (kk′) u
- k u = 0 ⇔ k = 0 ou u = 0
Exemple 17
A et B sont deux points tels que : AB = 6cm. Placer les points M et N définis par les relations suivantes :
2AM + BM = 0 et 2NA − 5NB = 0
Astuce. Pour placer les points M et N, on exprime les vecteurs AM et AN à l’aide du vecteur AB.
- Pour le point M.
2AM + BM = 0 ⇔ 2AM + (BA + AM) = 0
⇔ 3AM − AB = 0
⇔ AM = 1/3AB
- Pour le point N.
2NA − 5NB = 0 ⇔ 2NA − 5(NA + AB) = 0
⇔ 2NA − 5NA − 5AB = 0
⇔ −3NA −5AB = 0
⇔ 3AN = 5AB
⇔ AN = 5/3AB
On obtient la formule suivante :
Colinéarité de deux vecteurs
Définition 18
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v = k u.
Remarque 19
Cela découle directement de la définition du produit d’un vecteur par un scalaire.
Exemple 20
A, B, C et D quatre points du plan tels que : 5AD = 3AB + 2AC.
Montrer que les vecteurs BD et BC sont colinéaires.
- Les vecteurs BD et BC sont colinéaires s’il existe un réel k tel que BD = kBC.
BD = BA + AD
= BA + 3/5AB + 2/5AC
= −AB + 3/5AB + 2/5AC
= −2/5AB + 2/5AC
= 2/5(−AB + AC)
= 2/5(BA + AC)
= 2/5BC
Ceci signifie que les vecteurs BD et BC sont colinéaires.
Propriété 21 (Parallélisme et alignement)
- Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
- Les points A, B, et C sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Exemple 22
A, B et C trois points du plan tels que : AB = 4AC + 5CB.
- Montrer que : AC = 4AB.
- Que peut-on conclure ?
- En utilisant la relation de Chasles, on a :
AC = AB + BC
= 4AC + 5CB + BC
= 4AC − 4BC
= 4(AC − BC)
= 4(AC + CB)
= 4AB
- Comme AC = 4AB, alors les vecteurs AC et AB sont colinéaires. Ceci signifie que les points A, B et C sont alignés.
Exemple 23
ABC est un triangle et P le point défini par : 5AB + 4PC = 0.
Montrer que ABPC est un trapèze.
Astuce.
Pour montrer que ABPC est un trapèze, il faut montrer que les droites (CP) et (AB) sont parallèles, c’est à dire que les vecteurs CP et AB sont colinéaires.
Or on sait que :
5AB + 4PC = 0 ⇔ AB = 4/5CP
Donc, les vecteurs CP et AB sont colinéaires. Ceci signifie que les droites (CP) et (AB) sont parallèles. D’où ABPC est un trapèze.
Milieu d’un segment
Définition 24
Soit [AB] un segment.
On dit que I est le milieu du segment [AB] si : IA + IB = 0.
Propriété 25
Soit [AB] un segment.
I est le milieu du segment [AB] si et seulement si : AI = IB ou AB = 2AI.
Démonstration 26
On a I est le milieu du segment [AB] . Donc :
IA + IB = 0 ⇔ −IA = IB ⇔ AI = IB
D’autre part, on a I est le milieu du segment [AB] . Donc :
IA + IB = 0 ⇔ IA + IA + AB = 0 ⇔ 2IA = −AB ⇔ AB = 2AI
Exemple 27
A, B, C, M et N cinq points tels que : AC + BC = AM + BN.
Montrer que le point C est le milieu du segment [MN].
Propriété 28 (La propriété caractéristique du milieu)
Soit [AB] un segment et I son milieu.
Pour tout point M du plan, on a :
2MI = MA + MB
Démonstration 29
Soit [AB] un segment et I son milieu. Soit M un point du plan, on a :
MA + MB = (MI + IA) + (MI + IB)
= 2MI + IA + IB
= 2MI + 0
= 2MI
D’où, pour tout point M du plan on a 2MI = MA + MB.
Exemple 30
Soit ABC un triangle et M, N et P trois points tels que : AM = 2/3AB , AN = 1/3AC et AP = AB − 1/3BC.
- Montrer que : MN + MP = −2AM + AN + AP.
- Montrer que M est le milieu du segment [NP].
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Devoir maison sur le calcul vectoriel tronc commun
Exercice 1
ABC est un triangle. Soit M le milieu du [AB] et I est le milieu du [MC]. Soit K un point du plan tel que : CK = 1/3CB.
- Montrer que : AI = 1/4AB + 1/2AC et AK = 1/3AB + 2/3AC.
- Déduire que les points A, I et K sont alignés.
Exercice 2
ABCD est un quadrilatère convexe. I et J respectivement les milieux de [AB] et [CD].
- Montrer que : IJ = 1/2(AD + BC).
- On suppose que ABCD est un trapèze et on pose BC = kAD avec k ∈ ℝ*. M est le milieu de [AC] et N est le milieu de [BD].
a) Montrer que : IN = MJ = 1/2AD.
b) Montrer que : IJ = (k+1/2)AD
c) Déterminer k pour tout IN = MJ = NM.
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Correction du devoir maison
Exercice 1
ABC est un triangle. Soit M le milieu du [AB] et I est le milieu [MC]. Soit K un point du plan tel que CK = 1/3CB.
- Montrons que : AI = 1/4AB + 1/2AC et AK = 1/3AB + 2/3AC
∎ On a
AI = AM + MI
= AM + MC/2
= AM + 1/2MA + 1/2AC
= AM − 1/2AM + 1/2AC
= 1/2AM + 1/2AC
= 1/2 × 1/2AB + 1/2AC
= 1/4AB + 1/2AC
donc
AI = 1/4AB + 1/2AC
∎ On a
AK = AC + CK
= AC + 1/3CB
= AC + 1/3CA + 1/3AB
= 2/3AC + 1/3AB
donc
AK = 1/3AB + 2/3AC
2. On déduit que les point A, I et K sont alignés.
On a
AI = 1/4AB + 1/2AC = 3/4(1/3AB + 2/3AC) = 3/4AK
donc on déduit que les vecteurs AI et AK sont colinéaires, ceci signifie que les points A, I et K sont alignés.
Exercice 2
ABCD est un quadrilatère convexe, I et J respectivement les milieux de [AB] et [CD].
- Montrons que : IJ = 1/2(AD + BC).
On a
IJ = IA + AJ
= BA/2 + AC + CJ
= BA/2 + AC + CD/2
= BC/2 + CA/2 + AC + CA/2 + AD/2
= BC/2 + AD/2 − AC/2 + AC − AC/2
= 1/2(AD + BC)
donc
IJ = 1/2(AD + BC).
2. On suppose que ABCD est un trapèze et on pose BC = kAD avec k ∈ ℝ*. M est le milieu de [AC] et N est le milieu de [BD].
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