Calcul vectoriel dans le plan cours

Calcul vectoriel tronc commun

Calcul vectoriel dans le plan tronc commun cours.(Tronc commun scientifique/ seconde)

Vecteur du plan : Rappel (Calcul vectoriel tronc commun)

Définition 1

Un vecteur u est un objet mathématique qui se définit par :

  • Une direction (celle de la droite dans laquelle est inclus le vecteur)
  • Un sens (orientation de la flèche)
  • Une norme : longueur du vecteur notée : ∥u

Remarque 2

  • Un vecteur n’a pas de point d’application. On peut donc placer où l’on veut dans le plan euclidien. En cela il se différentie de la force en physique qui a un point d’application.
  • Les trois caractéristiques d’un vecteur (direction, sens, norme) ne permettent pas de lui donner une position. Lorsqu’on « trace » un vecteur, on n’en donne en fait qu’un représentant.
  • Pour fixer un représentant particulier du vecteur u , on peut prendre deux points A et B du plan. On note alors ce représentant : AB.

Vecteurs égaux (Calcul vectoriel tronc commun)

Définition 3

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.

Propriété 4

Soient A , B , C et D quatre points non alignés du plan. AB = DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

Remarque 5

On peut donc associer un parallélogramme à l’égalité de deux vecteurs, ce qui simplifie la démonstration pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

Addition vectorielle

Propriété 6 (Relation de Chasles)

Soient A et C deux points du plan. Pour tout point B du plan, on a : AB + BC = AC

Exemple 7

AB + EC + BE + CA = AB + BE + EC + CA

= AE + EC + CA

= AC + CA

= AA = 0

Remarque 8

Cette addition de deux vecteurs ne s’applique pas à la norme, en effet :

u + v ∥ ≠ ∥ u ∥ + ∥ vmais u + v ∥ ≤ ∥ u ∥ + ∥ v

Propriété 9 (règle du parallélogramme)

O, A et B trois points non alignés.

La somme des vecteurs OA et OB est le vecteur OC tel que le quadrilatère OACB est un parallélogramme.

Exemple 10

A, B et C trois points non alignés

Construire le point E tel que : AE = AB + AC .

Définition 11 (vecteurs opposés)

Deux vecteurs sont dits opposés s’ils ont la même direction, la même norme mais qu’ils sont de sens contraire.

Remarque 12

AB = − BA

Exemple 13

ABC est un triangle et E est le milieu du segment [BC]. On considère le point M, tel que : CM = CA + CE. Montrer que les quadrilatères ACEM et AEBM sont des parallélogrammes.

On a :

CM = CA + CE

CM − CA = CE

− MC − CA = CE

⇔ −(MC + CA) = CE

− MA = CE

AM = CE

Ceci signifie que le quadrilatère ACEM est un parallélogramme.

  • D’autre part, on a E est le milieu du segment [BC]. Donc : BE = EC. De plus : BE = MA. Ce qui montre que le quadrilatère AEBM est un parallélogramme.

Produit d’un vecteur par un réel

Définition 14

Soit un vecteur u et un réel k.

On définit le produit k u du scalaire k par le vecteur u par :

  • Si k0, alors k u à la même direction et même sens que u et sa longueur est multiplier par k. On a alors : ∥k u= k ×u∥ .
  • Si k0, alors k u a la même direction et un sens contraire à u et sa longueur est multiplier par −k. On a alors :∥k u= −k ×u∥.
  • Si k = 0, on a : 0 u = 0.

Exemple 15

On a les vecteurs suivants :

Propriété 16

Soient u et v deux vecteurs et pour tous réels k et k′. On a :

  • (k + k′) u = k u + k′u
  • k(u + v) = k u + k v
  • k(k′u) = (kk′) u
  • k u = 0k = 0 ou u = 0

Exemple 17

A et B sont deux points tels que : AB = 6cm. Placer les points M et N définis par les relations suivantes :

2AM + BM = 0 et 2NA − 5NB = 0

Astuce. Pour placer les points M et N, on exprime les vecteurs AM et AN à l’aide du vecteur AB.

  • Pour le point M.

2AM + BM = 0 ⇔  2AM + (BA + AM) = 0

⇔  3AM − AB = 0

⇔  AM = 1/3AB

  • Pour le point N.

2NA − 5NB = 0 ⇔  2NA − 5(NA + AB) = 0

⇔ 2NA − 5NA − 5AB = 0

⇔ −3NA −5AB = 0

 3AN = 5AB

⇔ AN = 5/3AB

On obtient la formule suivante :

Colinéarité de deux vecteurs

Définition 18

Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v = k u.

Remarque 19

Cela découle directement de la définition du produit d’un vecteur par un scalaire.

Exemple 20

A, B, C et D quatre points du plan tels que : 5AD = 3AB + 2AC.

Montrer que les vecteurs BD et BC sont colinéaires.

  • Les vecteurs BD et BC sont colinéaires s’il existe un réel k tel que BD = kBC.

BD = BA + AD

= BA + 3/5AB + 2/5AC

= −AB + 3/5AB + 2/5AC

= −2/5AB + 2/5AC

= 2/5(−AB + AC)

= 2/5(BA + AC)

= 2/5BC

Ceci signifie que les vecteurs BD et BC sont colinéaires.

Propriété 21 (Parallélisme et alignement)

  • Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
  • Les points A, B, et C sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Exemple 22

A, B et C trois points du plan tels que : AB = 4AC + 5CB.

  1. Montrer que : AC = 4AB.
  2. Que peut-on conclure ?
  • En utilisant la relation de Chasles, on a :

AC = AB + BC

= 4AC + 5CB + BC

= 4AC − 4BC

= 4(AC − BC)

= 4(AC + CB)

= 4AB

  • Comme AC = 4AB, alors les vecteurs AC et AB sont colinéaires. Ceci signifie que les points A, B et C sont alignés.

Exemple 23

ABC est un triangle et P le point défini par : 5AB + 4PC = 0.

Montrer que ABPC est un trapèze.

Astuce.

Pour montrer que ABPC est un trapèze, il faut montrer que les droites (CP) et (AB) sont parallèles, c’est à dire que les vecteurs CP et AB sont colinéaires.

Or on sait que :

5AB + 4PC = 0 ⇔ AB = 4/5CP

Donc, les vecteurs CP et AB sont colinéaires. Ceci signifie que les droites (CP) et (AB) sont parallèles. D’où ABPC est un trapèze.

Milieu d’un segment

Définition 24

Soit [AB] un segment.

On dit que I est le milieu du segment [AB] si : IA + IB = 0.

Propriété 25

Soit [AB] un segment.

I est le milieu du segment [AB] si et seulement si : AI = IB ou AB = 2AI.

Démonstration 26

On a I est le milieu du segment [AB] . Donc :

IA + IB = 0 ⇔ −IA = IB AI = IB

D’autre part, on a I est le milieu du segment [AB] . Donc :

IA + IB = 0 IA + IA + AB = 02IA = −AB AB = 2AI

Exemple 27

A, B, C, M et N cinq points tels que : AC + BC = AM + BN.

Montrer que le point C est le milieu du segment [MN].

Propriété 28 (La propriété caractéristique du milieu)

Soit [AB] un segment et I son milieu.

Pour tout point M du plan, on a :

2MI = MA + MB

Démonstration 29

Soit [AB] un segment et I son milieu. Soit M un point du plan, on a :

MA + MB = (MI + IA) + (MI + IB)

= 2MI + IA + IB

= 2MI + 0

= 2MI

D’où, pour tout point M du plan on a 2MI = MA + MB.

Exemple 30

Soit ABC un triangle et M, N et P trois points tels que : AM = 2/3AB , AN = 1/3AC et AP = AB − 1/3BC.

  1. Montrer que : MN + MP = −2AM + AN + AP.
  2. Montrer que M est le milieu du segment [NP].

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Devoir maison sur le calcul vectoriel tronc commun

Exercice 1

ABC est un triangle. Soit M le milieu du [AB] et I est le milieu du [MC]. Soit K un point du plan tel que : CK = 1/3CB.

  1. Montrer que : AI = 1/4AB + 1/2AC et AK = 1/3AB + 2/3AC.
  2. Déduire que les points A, I et K sont alignés.

Exercice 2

ABCD est un quadrilatère convexe. I et J respectivement les milieux de [AB] et [CD].

  1. Montrer que : IJ = 1/2(AD + BC).
  2. On suppose que ABCD est un trapèze et on pose BC = kAD avec k*. M est le milieu de [AC] et N est le milieu de [BD].

a) Montrer que : IN = MJ = 1/2AD.

b) Montrer que : IJ = (k+1/2)AD

c) Déterminer k pour tout IN = MJ = NM.

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Correction du devoir maison 

Exercice 1

ABC est un triangle. Soit M le milieu du [AB] et I est le milieu [MC]. Soit K un point du plan tel que CK = 1/3CB.

  1. Montrons que : AI = 1/4AB + 1/2AC et AK = 1/3AB + 2/3AC

∎ On a

AI = AM + MI

= AM + MC/2

= AM + 1/2MA + 1/2AC

= AM − 1/2AM + 1/2AC

= 1/2AM + 1/2AC

= 1/2 × 1/2AB + 1/2AC

= 1/4AB + 1/2AC

donc

AI = 1/4AB + 1/2AC

∎ On a

AK = AC + CK

= AC + 1/3CB

= AC + 1/3CA + 1/3AB

= 2/3AC + 1/3AB

donc

AK = 1/3AB + 2/3AC

2. On déduit que les point A, I et K sont alignés.

On a

AI = 1/4AB + 1/2AC = 3/4(1/3AB + 2/3AC) = 3/4AK

donc on déduit que les vecteurs AI et AK sont colinéaires, ceci signifie que les points A, I et K sont alignés.

Exercice 2

ABCD est un quadrilatère convexe, I et J respectivement les milieux de [AB] et [CD].

  1. Montrons que : IJ = 1/2(AD + BC).

On a

IJ = IA + AJ

= BA/2 + AC + CJ

= BA/2 + AC + CD/2

= BC/2 + CA/2 + AC + CA/2 + AD/2

= BC/2 + AD/2 − AC/2 + AC − AC/2

= 1/2(AD + BC)

donc

IJ = 1/2(AD + BC).

2. On suppose que ABCD est un trapèze et on pose BC = kAD avec k*. M est le milieu de [AC] et N est le milieu de [BD].

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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