L'ordre dans R tronc commun - etude-generale.com

L’ordre dans R tronc commun cours. (Tronc commun scientifique)

L’ordre et les opérations dans l’ensemble des réels (L’ordre dans R tronc commun)

Définition

Définition 1

Soient a et b deux réels.

On dit que a est supérieur ou égal à b et on note a ≥ b si a − b est positif.
On dit que a est inférieur ou égal à b et on note a ≤ b si a − b est négatif.

Remarque 2

Comparer a et b revient à étudier le signe de leur différence a − b .

Exemple 3

Comparer les deux nombres : a = √6 et b = √3 + √2 − 1.

On étudie le signe de : a − b

a − b = √6 − ( √3 + √2 − 1 )

= √6 − √3 − √2 + 1

= √3 × √2 − √3 − √2 + 1

= √3(√2 − 1) − (√2 − 1)

= (√2 − 1)(√3 − 1)

Comme √2 − 1 ≻ 0 et √3 − 1 ≻ 0, alors : (√2 − 1)(√3 − 1) ≻ 0. Ceci signifie que a − b ≻ 0, c’est-à-dire a ≻ b.

Donc :

√6 ≻ √3 + √2 − 1

Propriétés de l’ordre et les opérations (L’ordre dans R tronc commun)

Propriété 4

Soient a, b, c et d des éléments de ℝ.

Si a ≤ b et b ≤ c alors a ≤ c.
a ≤ b équivaut à a + c ≤ b + c.
Si a ≤ b et c ≤ d alors a + c ≤ b + d.
Si c ≻ 0 alors : a ≤ b équivaut à ac ≤ bc.
Si c ≺ 0 alors : a ≤ b équivaut à ac ≥ bc.
Si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d alors 0 ≤ ac ≤ bd.
Si a et b non nuls et de même signe alors : a ≤ b équivaut à 1/a ≥ 1/b.
Si a et b sont positifs alors : a ≤ b équivaut à a²≤b².
Si a et b sont positifs alors : a ≤ b équivaut à √a ≤ √b.

Exemple 5

Soit n ∈ ℕ. On pose : a = √4n²+1 et b = 2n + 1. Comparer a et b.

Comme a ≻ 0 et b ≻ 0, alors pour comparer a et b, il suffit de comparer a² et b².

On a :

a² − b² = (√4n²+1)² − (2n + 1)²

= 4n² + 1 − (4n² + 4n + 1)

= 4n² + 1 − 4n² − 4n − 1

= − 4n ≤ 0

Ceci signifie que a² − b²≤ 0, c’est-à-dire : a ≤ b.

Exemple 6

Soit x et y deux réels tels que : x ≺ y ≺ 3.

Montrer que : x + y − 6 ≺ 0
Comparer les nombres : a = x² − 6x + 1 et b = y² − 6y + 1

Montrons que : x + y − 6 ≺ 0.

On a : x ≺ y ≺ 3, c’est équivaut à : x ≺ y et y ≺ 3

ensuite : x ≺ 3 et y ≺ 3 c’est-à-dire : x + y ≺ 6. Donc : x + y − 6 ≺ 0.

On compare les nombres a et b.

On a :

a − b = (x² − 6x + 1) − (y² − 6y + 1)

= x² − 6x + 1 − y² + 6y − 1

= x² − y² − 6x + 6y

= (x − y)(x + y) − 6(x − y)

= (x − y)[(x + y) − 6]

= (x − y)(x + y − 6)

On sait que : x + y − 6 ≺ 0, et comme x ≺ y ≺ 3 alors x ≺ y, c’est-à-dire : x − y ≺ 0. Ceci signifie que : (x − y)(x + y − 6) ≻ 0.

D’où : a − b ≻ 0 c’est-à-dire : a ≻ b.

Exercice d’applications 7 (L’ordre dans R tronc commun)

a, b et c trois réels.

Montrer que : a²+ b² ≥ 2ab
1. Déduire que : a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc
2. Déduire que : a²+ b² + c² + d² ≥ (a + b)(c + d)

Encadrement (L’ordre dans R tronc commun)

Définition 8

Soient a, b et x trois nombres réels.

On dit que a et b encadrent x lorsque

a ≤ x ≤ b

Cette double inégalité est appelée encadrement de x d’amplitude b − a.

Exercice d’application 9 (L’ordre dans R tronc commun)

On considère les nombres réels x, y et z tels que :

2 ≤ x ≤ 4 , −3 ≤ y ≤ 1 et −3/2 ≤ z ≤ −1/2

Trouver un encadrement des nombres suivantes : x − y , x × y et x² + y² + z²

On sait que : x − y = x + (−y).

On a : −3 ≤ y ≤ 1, donc : −1 ≤ − y ≤ 3

par suite : 2 − 1 ≤ x + (− y) ≤ 4 + 3

C’est-à-dire : 1 ≤ x − y ≤ 7

Comme − 3 ≤ y ≤ 1 ceci signifie que y peut prendre des valeurs positives ou négatives (− 3 ≤ y ≤ 1 ou 0 ≤ y ≤ 1), donc on ne peut pas encadrer directement x × y. C’est pour cela qu’on va distinguer deux cas.

1er cas

Si 0 ≤ y ≤ 1 et 2 ≤ x ≤ 4, alors : 0 × 2 ≤ x × y ≤ 1 × 4

donc :

0 ≤ x × y ≤ 4

2ème cas

Si −3 ≤ y ≤ 0 alors : 0 ≤ − y ≤ 3, or : 2 ≤ x ≤ 4, donc : 0 × 2 ≤ x × (− y) ≤ 3 × 4

C’est-à-dire : 0 ≤ − xy ≤ 12, d’où : − 12 ≤ xy ≤ 0.

Finalement :

− 12 ≤ xy ≤ 4

On a : 2 ≤ x ≤ 4 alors : 4 ≤ x² ≤ 16 (1)

D’autre part, on a : −3/2 ≤ z ≤ −1/2 alors : 1/4 ≤ z² ≤ 9/4 (2)

Comme − 3 ≤ y ≤ 1 alors : − 3 ≤ y ≤ 0 ou 0 ≤ y ≤ 1

par suite : 0 ≤ y² ≤ 9 ou 0 ≤ y²≤ 1 d’où : 0 ≤ y² ≤ 9 (3)

En ajoutant membre à membre des doubles inégalités (1), (2) et (3), on obtient :

17/4 ≤ x² + y² + z² ≤ 109/4

Intervalles de ℝ (L’ordre dans R tronc commun)

Intervalles bornés

Le tableau ci-dessous résume les quatre types d’intervalles bornés.

Exemple 10

− 3 ≤ x ≤ 7 équivaut à : x ∈ [−3, 7]
2 ≺ x ≤ 6 équivaut à : x ∈ ]2; 6]
0 ≤ x ≺ 6 équivaut à : x ∈ [0; 6[

Exemple 11

Ecrire les ensembles suivantes sous la forme des intervalles.

A = {x ∈ ℝ/ 1 ≤ −3x + 4 ≤ 2}

B = {x ∈ ℝ/ −1 ≺ 2x−1/4 ≺ 3}

Intervalles non bornés

Exemple 12

x ≥ 3 équivaut à : x ∈ [3; +∞[
x ≺ −5 équivaut à : x ∈ ]−∞; −5[

Exemple 13

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

(I₁) : 3x + 1 ≥ 6, (I₂) : −5x + 4 ≻ 19, (I₃) : x/2 + 1 ≤ 2x

Remarque 14

+∞ se lit »plus l’infini »
L’ensemble des nombres réels ℝ est l’intervalle ]−∞, +∞[.
−∞ et +∞ ne sont pas des nombres.
L’ensemble vide ne contient aucun élément, il se note ∅.

Intersection d’intervalles

Définition 15

Soient I et J deux intervalles de ℝ. Les réels qui sont à la fois dans l’intervalle I et dans l’intervalle J sont dans l’intersection des intervalles I et J. Elle se note I ∩ J. (∩ : se lit inter)

Exemple 16

Déterminons I ∩ J avec I = ]−3, 2] et J = [0; 4].

Pour visualiser cette intersection, on peut représenter les intervalles I et J sur un même axe gradué.

L’intersection des deux intervalles est la zone de l’axe gradué où les deux couleurs se superposent. Ainsi I ∩ J = [0; 2].

Déterminons I ∩ J avec I = [−3; −1] et J = [1; 4].

I ∩ J = ∅

car les ensembles I et J n’ont pas de zone en commun.

Union d’intervalles

Définition 17

L’union de deux intervalles de ℝ est l’ensemble des réels appartenant au premier ou au second intervalle. L’union (ou réunion) de I et de J se note I ∪ J. (∪ : se lit union)

Exemple 18

Déterminons I ∪ J avec I = ]−3, 2] et J = [0; 4].

Les nombres de l’union sont les nombres qui appartiennent au moins à l’un des deux intervalles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué marquée soit par l’intervalle I soit par l’intervalle J. Ainsi I ∪ J = ]−3, 4].

Déterminons I ∪ J avec I = [−3; −1] et J = [1; 4].

I ∪ J = [−3; −1] ∪ [1; 4]

Exemple 19

Déterminer :

[−3; 4] ∩ [2; 9]

]−∞; 5] ∪ ]3; +∞[

[−11; −8] ∩ [−7; −1]

]−1; −2/3[ ∪ [1/2; 1[

Valeur absolue et distance

Valeur absolue

Définition 20

Soit x un réel et M le point d’abscisse x de la droite des réels d’origine O. La valeur absolue de x est la distance OM; on note ∣x∣ = OM.

Et par suite :

∣x∣ = { x si x ≥ 0 et −x si x ≤ 0

Exemple 21

∣2 − √3∣ = 2 − √3, car 2 − √3 ≻ 0.
∣√5 − 3∣ = −(√5 − 3) = 3 − √5, car √5 − 3 ≺ 0.
∣x − 1∣ = { x − 1 si x ≥ 1 et −x + 1 si x ≤ 1

Propriété 22

La valeur absolue d’un nombre est toujours positive ∣x∣ ≥ 0.
√x² = ∣x∣
Un nombre est son opposé ont la même valeur absolue : ∣x∣ = ∣−x∣.

Propriété 23

Soit x et y deux réels.

∣x − y∣ = ∣y − x∣
∣x × y∣ = ∣x∣ × ∣y∣
∣x/y∣ = ∣x/y∣ , (y ≠ 0)
∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣
∣x∣ = a si et seulement si x = a ou x = −a avec a ≥ 0.
∣x∣ = ∣y∣ si et seulement si x = y ou x = −y.

Exemple 24

Déterminer les valeurs de x pour lesquelles ∣x − 3∣ = 4.

Soit x ∈ ℝ.

∣x − 3∣ = 4 ⇔ x − 3 = 4 ou x − 3 = −4

⇔ x = 3 + 4 ou x = 3 − 4

⇔ x = 7 ou x = − 1

Les valeurs de x sont 7 et −1.

Exemple 25

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

(E₁) : ∣x − 2∣ = 0 , (E₂) : ∣3x + 1∣ = 4 , (E₃) : ∣2x − 5∣ = −1 et (E₄) : ∣3x − 1∣ = ∣x − 1∣

Soit x ∈ ℝ.

∣x − 2∣ = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E₁) est :

S = {2}

Soit x ∈ ℝ.

∣3x + 1∣ = 4 ⇔ 3x + 1 = 4 ou 3x + 1 = −4

⇔ 3x = 3 ou 3x = −5

⇔ x = 1 ou x = −5/3

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E₂) est :

S = {−5/3, 1}

Comme −1 ≺ 0 et ∣2x − 5∣ ≥ 0, ceci signifie que l’équation (E₃) n’admet aucune solution dans ℝ. Donc :

S = ∅

Soit x ∈ ℝ.

∣3x − 1∣ = ∣x − 1∣ ⇔ 3x − 1 = x − 1 ou 3x − 1 = − (x − 1)

⇔ 3x − x = 1 − 1 ou 3x − 1 = −x + 1

⇔ 2x = 0 ou 3x + x = 1 + 1

⇔ x = 0 ou 4x = 2

⇔ x = 0 ou x = 1/2

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E₄) est :

S = {0, 1/2}

Distance entre deux réels

Définition 26

Soient a et b deux réels. A et B deux points de la droite réels respectivement d’abscisses a et b. La distance entre a et b est la valeur absolue de leur différence : AB = ∣a − b∣ = ∣b − a∣.

Valeur absolue et intervalles

Propriété 27

Soient x ∈ ℝ et a ∈ ]0, +∞[ .

∣x∣ ≤ a si et seulement si −a ≤ x ≤ a. (c’est-à-dire : x ∈ [−a; a]).
∣x∣ ≥ a si et seulement si x ≥ a ou x ≤ − a. (c’est-à-dire : x ∈ ]−∞; −a] ∪ [a; +∞[).

Exemple 28

Déterminer l’ensemble des réels x dans chaque cas.

Soit x ∈ ℝ.

∣x − 2∣ ≤ 3/4 ⇔ −3/4 ≤ x − 2 ≤ 3/4

⇔ −3/4 + 2 ≤ x ≤ 3/4 + 2

⇔ 5/4 ≤ x ≤ 11/4

⇔ x ∈ [5/4; 11/4]

Soit x ∈ ℝ.

∣2x − 1∣ ≥ 3 ⇔ 2x − 1 ≥ 3 ou 2x − 1 ≤ −3

⇔ 2x ≥ 4 ou 2x ≤ −2

⇔ x ≥ 4/2 ou x ≤ −2/2

⇔ x ≥ 2 ou x ≤ − 1

⇔ x ∈ [2, +∞[ ou x ∈ ]−∞, −1]

⇔ x ∈ ]−∞, −1] ∪ [2; +∞[

Soit x ∈ ℝ.

1/2 ≤ ∣x − 1/2∣ ≺ 2 ⇔ 1/2 ≤ x − 1/2 ≺ 2 ou 1/2 ≤ − (x − 1/2) ≺ 2

⇔ 1/2 + 1/2 ≤ x ≺ 2 + 1/2 ou 1/2 ≤ −x + 1/2 ≺ 2

⇔ 1 ≤ x ≺ 5/2 ou 1/2 − 1/2 ≤ −x ≺ 2 − 1/2

⇔ 1 ≤ x ≺ 5/2 ou 0 ≤ −x ≺ 3/2

⇔ 1 ≤ x ≺ 5/2 ou −3/2 ≤ x ≺ 0

⇔ x ∈ [1; 5/2[ ou x ∈ ]−3/2; 0]

⇔ x ∈ ]−3/2; 0] ∪ [1; 5/2[

Les approximations

Définition 29

Soit x un réel tel que a ≤ x ≤ b ou a ≺ x ≤ b ou a ≤ x ≺ b ou a ≺ x ≺ b.

Le réel a est appelé une valeur approchée par défaut de x à b − a près.

Le réel b est appelé une valeur approchée par excès de x à b − a près.

Exemple 30

On considère l’encadrement suivant 2, 645 ≤ √7 ≤ 2, 646 donc :

Le nombre 2, 645 est une valeur approchée par défaut de √7 à 10⁻³ près.

Le nombre 2, 646 est une valeur approchée par excès de √7 à 10⁻³ près.

Définition 31

Soient x, a et r trois réels, r est positif.

Si ∣x − a∣ ≤ r ou ∣x − a∣ ≺ r, on dit que a est une valeur approchée de x à r près.

Exemple 32

On a ∣√5 − 2,33∣ ≤ 0, 01, donc : 2, 33 est une valeur approchée de √5 à 0, 01 près.

Définition 33 (L’approximation décimal)

Si x est un réel et N est un entier relatif alors il existe un entier naturel p tel que :

N × 10^−p ≤ x ≤ (N + 1) × 10^−p

Le nombre décimal N × 10^−p est dit approximation décimal par défaut de x à 10^−p.

Le nombre décimal (N + 1) × 10^−p est dit approximation décimal par excès de x à 10^−p.

Exemple 34

Déterminer une approximation décimale par défaut pour √10 à 10⁻².

On a : √10 ≃ 3, 16227766, c’est une valeur approchée pour √10 donc : 3, 16 ≤ √10 ≤ 3, 17

ensuite : 316 ≤ 10²√10 ≤ 317, c’est-à-dire : 316 × 10⁻² ≤ √10 ≤ (316 + 1) × 10⁻².

Donc 316 × 10⁻² = 3, 16 est une approximation décimale par défaut pour √10 à 10⁻².

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