L'ordre dans R tronc commun

L’ordre dans R tronc commun

L’ordre dans R tronc commun cours. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

L’ordre et les opérations dans l’ensemble des réels (L’ordre dans R tronc commun)

Définition

Définition 1

Soient a et b deux réels.

  • On dit que a est supérieur ou égal à b et on note ab si a − b est positif.
  • On dit que a est inférieur ou égal à b et on note ab si a − b est négatif.

Remarque 2

Comparer a et b revient à étudier le signe de leur différence a − b .

Exemple 3

Comparer les deux nombres : a = √6 et b = √3 + √2 − 1.

  • On étudie le signe de : a − b

a − b = √6 − ( √3 + √2 − 1 )

= √6 − √3 − √2 + 1

= √3 × √2 − √3 − √2 + 1

= √3(√2 − 1) − (√2 − 1)

= (√2 − 1)(√3 − 1)

Comme √2 − 1 0 et √3 − 10, alors : (√2 − 1)(√3 − 1) ≻ 0. Ceci signifie que a − b 0, c’est-à-dire ab.

Donc :

√6 √3 + √2 − 1

Propriétés de l’ordre et les opérations (L’ordre dans R tronc commun)

Propriété 4

Soient a, b, c et d des éléments de .

  • Si ab et bc alors ac.
  • ab équivaut à a + cb + c.
  • Si ab et cd alors a + cb + d.
  • Si c 0 alors : ab équivaut à ac bc.
  • Si c0 alors : ab équivaut à acbc.
  • Si 0 ab et 0cd alors 0acbd.
  • Si a et b non nuls et de même signe alors : ab équivaut à 1/a1/b.
  • Si a et b sont positifs alors : ab équivaut à a2b2.
  • Si a et b sont positifs alors : ab équivaut à √a √b.

Exemple 5

Soit n. On pose : a = √4n2+1 et b = 2n + 1. Comparer a et b.

  • Comme a0 et b0, alors pour comparer a et b, il suffit de comparer a2 et b2.

On a :

a2 − b2 = (√4n2+1)2 (2n + 1)2

= 4n2 + 1 − (4n2 + 4n + 1)

= 4n2 + 1 − 4n2 − 4n − 1

= − 4n0

Ceci signifie que a2 − b20, c’est-à-dire : ab.

Exemple 6

Soit x et y deux réels tels que : xy 3.

  1. Montrer que : x + y − 60
  2. Comparer les nombres : a = x2 − 6x + 1 et b = y2 − 6y + 1
  • Montrons que : x + y − 60.

On a : xy 3, c’est équivaut à : xy et y 3

ensuite : x3 et y3 c’est-à-dire : x + y6. Donc : x + y − 60.

  • On compare les nombres a et b.

On a :

a − b = (x2 − 6x + 1) − (y2 − 6y + 1)

= x2 − 6x + 1 − y2 + 6y − 1

= x2 − y2 − 6x + 6y

= (x − y)(x + y) − 6(x − y)

= (x − y)[(x + y) − 6]

= (x − y)(x + y − 6)

On sait que : x + y − 6 0, et comme x y3 alors xy, c’est-à-dire : x − y0. Ceci signifie que : (x − y)(x + y − 6) ≻ 0.

D’où : a − b0 c’est-à-dire : ab.

Exercice d’applications 7 (L’ordre dans R tronc commun)

a, b et c trois réels.

  1. Montrer que : a2+ b22ab
    1. Déduire que : a2 + b2 + c2ab + ac + bc
    2. Déduire que : a2+ b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d)

Encadrement (L’ordre dans R tronc commun)

Définition 8

Soient a, b et x trois nombres réels.

On dit que a et b encadrent x lorsque

ax b

Cette double inégalité est appelée encadrement de x d’amplitude b − a.

Exercice d’application 9 (L’ordre dans R tronc commun)

On considère les nombres réels x, y et z tels que :

2x 4 , −3y 1 et −3/2z −1/2

Trouver un encadrement des nombres suivantes : x − y , x × y et x2 + y2 + z2

  • On sait que : x − y = x + (−y).

On a : −3y 1, donc : −1− y3

par suite : 2 − 1x + (− y) ≤ 4 + 3

C’est-à-dire : 1 x − y7

Comme − 3 y1 ceci signifie que y peut prendre des valeurs positives ou négatives (− 3 y 1 ou 0 y 1), donc on ne peut pas encadrer directement x × y. C’est pour cela qu’on va distinguer deux cas.

1er cas

Si 0y1 et 2x 4, alors : 0 × 2 x × y 1 × 4

donc :

0x × y4

2ème cas

Si −3y 0 alors : 0 − y3, or : 2x4, donc : 0 × 2 x × (− y) ≤ 3 × 4

C’est-à-dire : 0− xy12, d’où : − 12 xy 0.

Finalement :

− 12 xy 4

  • On a : 2 x 4 alors : 4 x2 16 (1)

D’autre part, on a : −3/2z−1/2 alors : 1/4z29/4 (2)

Comme − 3y 1 alors : − 3y 0 ou 0 y 1

par suite : 0 y2 9 ou 0 y21 d’où : 0 y29 (3)

En ajoutant membre à membre des doubles inégalités (1), (2) et (3), on obtient :

17/4 x2 + y2 + z2109/4

Intervalles de ℝ (L’ordre dans R tronc commun)

Intervalles bornés

Le tableau ci-dessous résume les quatre types d’intervalles bornés.

Exemple 10

  1. − 3 x7 équivaut à : x ∈ [−3, 7]
  2. 2 x 6 équivaut à : x ∈ ]2; 6]
  3. 0 x 6 équivaut à : x ∈ [0; 6

Exemple 11

Ecrire les ensembles suivantes sous la forme des intervalles.

A = {x / 1 −3x + 4 2

B = {x / −12x−1/43

Intervalles non bornés

Exemple 12

  1. x 3 équivaut à : x ∈ [3; +∞[
  2. x −5 équivaut à : x ∈ ]−∞; −5

Exemple 13 

Résoudre dans les inéquations suivantes :

(I1) : 3x + 16, (I2) : −5x + 419, (I3) : x/2 + 12x

Remarque 14

  1. +∞ se lit  »plus l’infini »
  2. L’ensemble des nombres réels est l’intervalle ]−∞, +∞[.
  3. −∞ et +∞ ne sont pas des nombres.
  4. L’ensemble vide ne contient aucun élément, il se note ∅.

Intersection d’intervalles

Définition 15

Soient I et J deux intervalles de . Les réels qui sont à la fois dans l’intervalle I et dans l’intervalle J sont dans l’intersection des intervalles I et J. Elle se note I J. (∩ : se lit inter)

Exemple 16

Déterminons I J avec I = ]−3, 2] et J = [0; 4].

  • Pour visualiser cette intersection, on peut représenter les intervalles I et J sur un même axe gradué.

L’intersection des deux intervalles est la zone de l’axe gradué où les deux couleurs se superposent. Ainsi I J = [0; 2].

  • Déterminons IJ avec I = [−3; −1] et J = [1; 4].

IJ = ∅ 

car les ensembles I et J n’ont pas de zone en commun.

Union d’intervalles

Définition 17

L’union de deux intervalles de est l’ensemble des réels appartenant au premier ou au second intervalle. L’union (ou réunion) de I et de J se note IJ. (∪ : se lit union)

Exemple 18

  • Déterminons IJ avec I = ]−3, 2] et J = [0; 4].

Les nombres de l’union sont les nombres qui appartiennent au moins à l’un des deux intervalles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué marquée soit par l’intervalle I soit par l’intervalle J. Ainsi I J = ]−3, 4].

  • Déterminons I J avec I = [−3; −1] et J = [1; 4].

IJ = [−3; −1] ∪ [1; 4]

Exemple 19

Déterminer :

  • [−3; 4] ∩ [2; 9]
  • ]−∞; 5] ∪ ]3; +∞
  • [−11; −8] ∩ [−7; −1]
  • ]−1; −2/3[ ∪ [1/2; 1

Valeur absolue et distance  

Valeur absolue

Définition 20

Soit x un réel et M le point d’abscisse x de la droite des réels d’origine O. La valeur absolue de x est la distance OM; on note ∣x∣ = OM.

Et par suite :

x∣ = { x si x 0 et −x si x0

Exemple 21

  1. 2 − √3= 2 − √3, car 2 − √3 0.
  2. √5 − 3∣ = −(√5 − 3) = 3 − √5, car √5 − 3 0.
  3. x − 1∣ = { x − 1 si x 1 et −x + 1 si x 1

Propriété 22

  1. La valeur absolue d’un nombre est toujours positive ∣x∣ ≥ 0.
  2. √x2 =x
  3. Un nombre est son opposé ont la même valeur absolue : ∣x∣ = ∣−x∣.

Propriété 23

Soit x et y deux réels.

  1. x − y∣ = ∣y − x
  2. x × y∣ = ∣x∣ × ∣y
  3. x/y∣ = ∣x/y∣ , (y ≠ 0)
  4. x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y
  5. x= a si et seulement si x = a ou x = −a avec a0.
  6. x∣ = ∣y∣ si et seulement si x = y ou x = −y.

Exemple 24

  • Déterminer les valeurs de x pour lesquelles ∣x − 3= 4.

Soit x.

x − 3= 4 ⇔ x − 3 = 4 ou x − 3 = −4

⇔  x = 3 + 4 ou x = 3 − 4

⇔  x = 7 ou x = − 1

Les valeurs de x sont 7 et −1.

Exemple 25

Résoudre dans les équations suivantes :

(E1) : ∣x − 2 = 0 , (E2) : ∣3x + 1= 4 , (E3) : ∣2x − 5= −1 et (E4) : ∣3x − 1∣ = ∣x − 1

  • Soit x.

x − 2= 0 ⇔  x − 2 = 0  x = 2

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E1) est :

S = {2}

  • Soit x.

3x + 1 = 4 ⇔  3x + 1 = 4 ou 3x + 1 = −4

⇔  3x = 3 ou 3x = −5

 x = 1 ou x = −5/3

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E2) est :

S = {−5/3, 1

  • Comme −1 0 et ∣2x − 5∣ ≥ 0, ceci signifie que l’équation (E3) n’admet aucune solution dans . Donc :

S = ∅ 

  • Soit x .

3x − 1∣ = ∣x − 1∣ ⇔  3x − 1 = x − 1 ou 3x − 1 = − (x − 1)

⇔  3x − x = 1 − 1 ou 3x − 1 = −x + 1

⇔  2x = 0 ou 3x + x = 1 + 1

⇔  x = 0 ou 4x = 2

⇔  x = 0 ou x = 1/2

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E4) est :

S = {0, 1/2}

Distance entre deux réels

Définition 26

Soient a et b deux réels. A et B deux points de la droite réels respectivement d’abscisses a et b. La distance entre a et b est la valeur absolue de leur différence : AB =a − b∣ = ∣b − a∣.

Valeur absolue et intervalles

Propriété 27

Soient x et a ∈ ]0, +∞[ .

  1. x∣ ≤ a si et seulement si −axa. (c’est-à-dire : x ∈ [−a; a]).
  2. x∣ ≥ a si et seulement si x a ou x − a. (c’est-à-dire : x ∈ ]−∞; −a] ∪ [a; +∞[).

Exemple 28

Déterminer l’ensemble des réels x dans chaque cas.

  • Soit x.

x − 2∣ ≤ 3/4 ⇔ −3/4x − 23/4

⇔ −3/4 + 2x 3/4 + 2

⇔ 5/4x11/4

⇔ x ∈ [5/4; 11/4]

  • Soit x .

2x − 1∣ ≥ 3 2x − 13 ou 2x − 1−3

 2x 4 ou 2x−2

 x 4/2 ou x−2/2

 x 2 ou x− 1

⇔ x ∈ [2, +∞[ ou x ∈ ]−∞, −1]

⇔ x ∈ ]−∞, −1] ∪ [2; +∞[

  • Soit x.

1/2 ≤ ∣x − 1/2∣ ≺ 2 ⇔ 1/2x − 1/2 2 ou 1/2 ≤ − (x − 1/2) ≺ 2

⇔ 1/2 + 1/2x 2 + 1/2 ou 1/2−x + 1/2 2

⇔ 1x 5/2 ou 1/2 − 1/2 −x 2 − 1/2

1 x 5/2 ou 0−x 3/2

1 x 5/2 ou −3/2 x0

⇔ x ∈ [1; 5/2[ ou x ∈ ]−3/2; 0]

⇔ x ∈ ]−3/2; 0] ∪ [1; 5/2[

Les approximations    

Définition 29

Soit x un réel tel que axb ou a x b ou axb ou a x b.

  • Le réel a est appelé une valeur approchée par défaut de x à b − a près.
  • Le réel b est appelé une valeur approchée par excès de x à b − a près.

Exemple 30

On considère l’encadrement suivant 2, 645√7 2, 646 donc :

  • Le nombre 2, 645 est une valeur approchée par défaut de √7 à 10−3 près.
  • Le nombre 2, 646 est une valeur approchée par excès de √7 à 10−3 près.

Définition 31

Soient x, a et r trois réels, r est positif.

Si ∣x − a∣ ≤ r ou ∣x − a∣ ≺ r, on dit que a est une valeur approchée de x à r près.

Exemple 32

On a ∣√5 − 2,33∣ ≤ 0, 01, donc : 2, 33 est une valeur approchée de √5 à 0, 01 près.

Définition 33 (L’approximation décimal)

Si x est un réel et N est un entier relatif alors il existe un entier naturel p tel que :

N × 10−px ≤ (N + 1) × 10−p

  • Le nombre décimal N × 10−p est dit approximation décimal par défaut de x à 10−p.
  • Le nombre décimal (N + 1) × 10−p est dit approximation décimal par excès de x à 10−p.

Exemple 34

Déterminer une approximation décimale par défaut pour √10 à 10−2.

  • On a : √103, 16227766, c’est une valeur approchée pour √10 donc : 3, 16√103, 17

ensuite : 316 102√10 317, c’est-à-dire : 316 × 10−2 √10 ≤ (316 + 1) × 10−2.

Donc 316 × 10−2 = 3, 16 est une approximation décimale par défaut pour √10 à 10−2.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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