Étude de la fonction arctan

Étude de la fonction arctangente

Étude de la fonction arctangente.

La fonction x → tan x est continue et strictement croissante sur ]−π/2, π/2[ . Elle réalise donc un bijection de ]−π/2, π/2[ sur .

Définition 1

La fonction arctangente, notée arctan, est la réciproque de la fonction

]−π/2, π/2[ →

x → tan x

telle que :

arctan → ]−π/2, π/2[

x → arctan x

Théorème 2
  1. ∀ (x, y) ∈ ]−π/2, π/2[ × , tan x = yx = arctan y
  2. x, tan (arctan x) = x et ∀x ∈ ]−π/2, π/2[, arctan (tan x) = x.
  3. (∀x) (∀y ), arctan x = arctan yx = y
  4. La fonction arctan est impaire.
  5. La fonction arctan est continue sur .
  6. La fonction arctan est strictement croissante sur .
Théorème 3

La fonction arctan est dérivable sur et :

x, (arctan)′(x) = 1/1+x2

Démonstration 4

Pour tout x ∈ ]−π/2, π/2[ , on pose ƒ(x) = tan x, ƒ est dérivable sur ]−π/2, π/2[ et pour tout x ∈ ]−π/2, π/2[, on a :

ƒ′(x) = 1 + tan2x

comme ƒ′ ne s’annule pas sur ]−π/2, π/2[ , donc ƒ−1 = arctan est dérivable sur ƒ(]−π/2, π/2[) = , et pour tout x de on a :

−1)′(x) = 1/ƒ′(ƒ−1(x)) = 1/1+tan2(arctan(x)) = 1/1+x2.

Dérivée d’une fonction de la forme arctan u .

La fonction arctan u est dérivable sur tout intervalle ou la fonction u est dérivable et on a :

(arctan u)′ = u′/1+u2

Exemple 5

On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = arctan (x2 + 1).

La fonction ƒ est dérivable sur , et pour tout x de on a :

ƒ′(x) = 2x/1+(1+x2)2

Limites

limx→+∞ arctan x = π/2, limx→−∞ arctan x = −π/2 et limx→0 arctanx/x = 0

Théorème 6

x*, arctan x + arctan 1/x = {π/2 si x0 et −π/20

Démonstration 7

On propose deux démonstrations.

  • Soit x ∈ ]0, +∞[ , il existe un unique α de ]0, π/2[ tel que : tan α = x. C’est-à-dire :

α = arctan x.

arctan (1/x) = arctan (1/tanα) = arctan (tan(π/2 − α))

et comme π/2 − α ∈ ]0, π/2[, alors on en déduit que : arctan (tan (π/2 − α)) = π/2 − α = π/2 − arctan x. Ceci signifie que pour tout x de ]0, +∞[, on a :

arctan x + arctan 1/x = π/2

  • Si x ∈ ]−∞, 0[ .

arctan x + arctan 1/x = − (arctan(−x) + arctan(−1/x)) = −π/2

Autre démonstration.

Pour tout x de *, posons ƒ(x) = arctan x + arctan 1/x. La fonction ƒ est définie et dérivable sur * et pour tout réel x non nul, on a :

ƒ′(x) = (arctan x + arctan 1/x)′

= 1/1+x2 + −1/x2/1+1/x2 = 1/1+x2 − 1/1+x2 = 0

ƒ est donc constante sur ]0, +∞[ et pour x0 , ƒ(x) = ƒ(1) = 2arctan 1 = π/2 puis, ƒ étant impaire, pour x0, ƒ(x) = −ƒ(−x) = −π/2.

Graphe de la fonction arctan
Exercices
Exercice 8

Soient a et b deux réels positifs, montrer que :

arctan a − arctan b = arctan (a−b/1+ab)

a et b deux réels positifs. Alors, arctan a ∈ [0, π/2[ et arctan b ∈ [0, π/2[ et donc, arctan a − arctan b ∈ ]−π/2, π/2[ .

De plus :

tan (arctan a − arctan b) = tan(arctan a)−tan(arctan b)/1+tan(arctan a)tan(arctan b) = a−b/1+ab

et puisque : arctan a − arctan b ∈ ]−π/2, π/2[ , alors :

arctan a − arctan b = arctan (a−b/1+ab)

Exercice 9

Soit ƒ la fonction définie sur par :

{ ƒ(x) = x. arctan (1+√1+x2/x) si x ≠ 0 et ƒ(0) = 0

  1. Montrer que ƒ est continue en 0.
  2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) , ƒ(x) = π/2x − π/2arctan x , puis déduire une expression simplifiable à ƒ(x) pour tout x ∈ ]−∞, 0[.
  3. On considère l’équation :

(E) : arctan (√x2+x +√x/x) = 5π/12, (x 0)

a) Démontrer que l’équation (E) équivaut à : ƒ(√x) = 5π/12√x , (x ∈ ]0, +∞[).

b) Déterminer l’ensemble des solutions de (E).

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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2 réflexions sur « Étude de la fonction arctangente »

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