Étude de la fonction arctangente

Étude de la fonction arctangente.

Étude de la fonction arctangente

La fonction x → tan x est continue et strictement croissante sur ]−π/2, π/2[ . Elle réalise donc un bijection de ]−π/2, π/2[ sur ℝ.

Définition 1 (Étude de la fonction arctangente)

La fonction arctangente, notée arctan, est la réciproque de la fonction

]−π/2, π/2[ → ℝ

x → tan x

telle que :

arctan ℝ → ]−π/2, π/2[

x → arctan x

Théorème 2 (Étude de la fonction arctangente)

1. ∀ (x, y) ∈ ]−π/2, π/2[ × ℝ, tan x = y ⇔ x = arctan y
2. ∀x ∈ ℝ, tan (arctan x) = x et ∀x ∈ ]−π/2, π/2[, arctan (tan x) = x.
3. (∀x ∈ ℝ) (∀y ∈ ℝ), arctan x = arctan y ⇔ x = y
4. La fonction arctan est impaire.
5. La fonction arctan est continue sur ℝ.
6. La fonction arctan est strictement croissante sur ℝ.

Théorème 3

La fonction arctan est dérivable sur ℝ et :

∀x ∈ ℝ, (arctan)′(x) = 1/1+x²

Démonstration 4

Pour tout x ∈ ]−π/2, π/2[ , on pose ƒ(x) = tan x, ƒ est dérivable sur ]−π/2, π/2[ et pour tout x ∈ ]−π/2, π/2[, on a :

ƒ′(x) = 1 + tan²x

comme ƒ′ ne s’annule pas sur ]−π/2, π/2[ , donc ƒ⁻¹ = arctan est dérivable sur ƒ(]−π/2, π/2[) = ℝ, et pour tout x de ℝ on a :

(ƒ⁻¹)′(x) = 1/ƒ′(ƒ⁻¹(x)) = 1/1+tan²(arctan(x)) = 1/1+x².

Dérivée d’une fonction de la forme arctan u .

La fonction arctan u est dérivable sur tout intervalle ou la fonction u est dérivable et on a :

(arctan u)′ = u′/1+u²

Exemple 5

On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = arctan (x² + 1).

La fonction ƒ est dérivable sur ℝ, et pour tout x de ℝ on a :

ƒ′(x) = 2x/1+(1+x²)²

Limites

lim_x→+∞ arctan x = π/2, lim_x→−∞ arctan x = −π/2 et lim_x→0 arctanx/x = 0

Théorème 6

∀x ∈ ℝ*, arctan x + arctan 1/x = {π/2 si x ≻ 0 et −π/2 ≺ 0

Démonstration 7

On propose deux démonstrations.

• Soit x ∈ ]0, +∞[ , il existe un unique α de ]0, π/2[ tel que : tan α = x. C’est-à-dire :

α = arctan x.

arctan (1/x) = arctan (1/tanα) = arctan (tan(π/2 − α))

et comme π/2 − α ∈ ]0, π/2[, alors on en déduit que : arctan (tan (π/2 − α)) = π/2 − α = π/2 − arctan x. Ceci signifie que pour tout x de ]0, +∞[, on a :

arctan x + arctan 1/x = π/2

• Si x ∈ ]−∞, 0[ .

arctan x + arctan 1/x = − (arctan(−x) + arctan(−1/x)) = −π/2

Autre démonstration.

Pour tout x de ℝ*, posons ƒ(x) = arctan x + arctan 1/x. La fonction ƒ est définie et dérivable sur ℝ* et pour tout réel x non nul, on a :

ƒ′(x) = (arctan x + arctan 1/x)′

= 1/1+x² + −1/x²/1+1/x² = 1/1+x² − 1/1+x² = 0

ƒ est donc constante sur ]0, +∞[ et pour x ≻ 0 , ƒ(x) = ƒ(1) = 2arctan 1 = π/2 puis, ƒ étant impaire, pour x ≺ 0, ƒ(x) = −ƒ(−x) = −π/2.

Graphe de la fonction arctan

Exercices

Exercice 8

Soient a et b deux réels positifs, montrer que :

arctan a − arctan b = arctan (a−b/1+ab)

a et b deux réels positifs. Alors, arctan a ∈ [0, π/2[ et arctan b ∈ [0, π/2[ et donc, arctan a − arctan b ∈ ]−π/2, π/2[ .

De plus :

tan (arctan a − arctan b) = tan(arctan a)−tan(arctan b)/1+tan(arctan a)tan(arctan b) = a−b/1+ab

et puisque : arctan a − arctan b ∈ ]−π/2, π/2[ , alors :

arctan a − arctan b = arctan (a−b/1+ab)

Exercice 9

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par :

{ ƒ(x) = x. arctan (1+√1+x²/x) si x ≠ 0 et ƒ(0) = 0

1. Montrer que ƒ est continue en 0.
2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) , ƒ(x) = π/2x − π/2arctan x , puis déduire une expression simplifiable à ƒ(x) pour tout x ∈ ]−∞, 0[.
3. On considère l’équation :

(E) : arctan (√x²+x +√x/x) = 5π/12, (x ≻ 0)

a) Démontrer que l’équation (E) équivaut à : ƒ(√x) = 5π/12√x , (x ∈ ]0, +∞[).

b) Déterminer l’ensemble des solutions de (E).

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Vous pouvez aussi consulter :

• Limites et continuité cours
• Cours fonction logarithme népérien