La fonction primitive cours terminale

La fonction primitive cours terminale

La fonction primitive cours terminale. C’un cours complet et bien détaillé sur les fonctions primitives (2ème année bac / terminale)

1. Définition d’une fonction primitive (La fonction primitive cours terminale)

1.1 Définition et exemples (La fonction primitive cours terminale)

Définition 1 ƒ est une fonction définie sur un intervalle I. On dit que ƒ admet une fonction primitive sur I si, et seulement si il existe une fonction F dérivable sur I tel que :

xI, F′(x) = ƒ(x)

Exemple 2

  1. Soit ƒ la fonction définie sur par : ƒ(x) = 2x. Déterminer une primitive de ƒ.

La fonction F est dérivable sur et définie par : F(x) = x2 est une primitive de ƒ. Car F′(x) = ƒ(x) pour tout x.

2. Soit ƒ la fonction définie sur par : ƒ(x) = cos x + 3. Déterminer une primitive de ƒ.

La fonction F est dérivable sur et définie par : F(x) = sin x + 3x est une primitive de ƒ. Car F′(x) = ƒ(x) pour tout x.

Théorème 3 Soit une fonction ƒ admettant une primitive F sur I alors toute primitive G de ƒ est de la forme

x I, G(x) = F(x) + k , (k)

Exemple 4 Soit ƒ la fonction définie sur par : ƒ(x) = x3 .

Les fonctions primitives de la fonction ƒ sur sont : F(x) = x4/4 + k, (k ).

2. Primitive vérifiant une condition initiale (La fonction primitive cours terminale)

Théorème 5 Soit ƒ une fonction admettant une primitive sur I. Soit x0I et y0. Il existe une unique primitive F de ƒ sur I tel que :

F(x0) = y0

Exemple 6 Déterminer la primitive F de la fonction ƒ(x) = 2x tel que : F(2) = 3.

La fonction F est une primitive de ƒ telle que :

F(x) = x2 + k, (k)

Comme F(2) = 3, alors

4 + k = 3k = − 1

Donc

F(x) = x2 − 1

Propositions 7 Toute fonction ƒ continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Propositions 8

  1. Soient F et G deux fonctions primitives de ƒ et g sur I. Alors F + G est une primitive de ƒ + g sur I.
  2. αF est une fonction primitive de αƒ sur I avec α.

3. Primitives élémentaires

Voici le tableau des primitives des fonctions usuelles.

Exemple 9

Déterminer les fonctions primitives de la fonction ƒ dans chaque cas.

  1. ƒ(x) = 3x4 − 2/√x + 1/∛x
  2. ƒ(x) = 3/2 + 8x3 + 1/x2
  • La fonction ƒ est continue sur *+, donc elle admet des fonctions primitives sur *+.

On a

ƒ(x) = 3x4 − 2/√x + 1/∛x

= 3x4 − 2 × 1/√x + x−1/3

Donc

F(x) = 3/5x5 − 4√x + 1/−1/3+1x−1/3+1 + k

= 3/5x5 − 4√x + 3/2x2/3 + k , (k)

  • La fonction ƒ est continue sur *, donc elle admet des fonctions primitives sur * .

Donc

F(x) = 3/2x + 8/4x4− 1/x + k

= 3/2x + 2x4 − 1/x + k , (k )

Soient ƒ et g deux fonctions dérivables sur l’intervalle I.

Exemple 10

Déterminer les primitives de la fonction ƒ dans chaque cas.

  1. ƒ(x) = (2x − 3)(x2 − 3x + 1)5
  2. ƒ(x) = (x − 1)(x2 − 2x + 3)4
  3. ƒ(x) = x/√1+x2
  4. ƒ(x) = 2x(x2 − 1)3
  5. ƒ(x) = (3x − 1)4
  6. ƒ(x) = tan x + tan3x

Solution 11

1. La fonction ƒ est continue sur , donc elle admet des fonctions primitives sur .

ƒ est de la forme u′un avec u(x) = x2 − 3x + 1 et u′(x) = 2x − 3 pour tout x.

On a :

ƒ(x) = (x2 − 3x + 1)′(x2 − 3x + 1)5

Donc

F(x) = 1/6(x2 − 3x + 1)6 + k, (k )

2. La fonction ƒ est continue sur , donc elle admet des fonctions primitives sur .

ƒ est de la forme u′un avec u(x) = x2 − 2x + 3 et u′(x) = 2(x − 1) pour tout x.

On a :

ƒ(x) = (x2 − 2x + 3)′/2(x2 − 2x + 3)4

Donc

F(x) = 1/10(x2 − 2x + 3)5 + k, (k)

3. La fonction ƒ est continue sur , donc elle admet des fonctions primitives sur .

ƒ est de la forme u′/√u avec u(x) = 1 + x2 et u′(x) = 2x pour tout x.

On a :

ƒ(x) = (1 + x2)′/2√1+x2

Donc

F(x) = √1+x2 + k, (k)

4. La fonction ƒ est continue sur , donc elle admet des fonctions primitives sur .

ƒ est de la forme u′un avec u(x) = x2 − 1 et u′(x) = 2x pour tout x.

On a :

ƒ(x) = (x2 − 1)′(x2 − 1)3

Donc

F(x) = 1/4(x2 − 1)4 + k, (k)

5. La fonction ƒ est continue sur , donc elle admet des fonctions primitives sur .

ƒ est de la forme u′un avec u(x) = 3x − 1 et u′(x) = 3 pour tout x.

On a :

ƒ(x) = (3x − 1)′/3(3x − 1)4

Donc

F(x) = 1/15(3x − 1)5 + k, (k )

6. La fonction ƒ est continue sur ∖ {π/2 + kπ, k} , donc elle admet des fonctions primitives sur ∖ {π/2 + kπ, k} .

ƒ(x) = tan x + tan3x

= tan x(1 + tan2x)

ƒ est de la forme u′un avec u(x) = tan x et u′(x) = 1 + tan2x pour tout x ∖ {π/2 + kπ, k}.

On a :

ƒ(x) = (tan x)′tan x

Donc

F(x) = tan2x/2 + k, (k)

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Devoir surveillé fonction logarithme et primitives

Problème d’analyse

Partie 01

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 2lnx

    1. Calculer g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.
    2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 2] et croissante sur [2, +∞[.
    1. Déduire que : g(x)>0 pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[.
    2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[) : ln x2/x < 1.

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x − (ln x)2

    1. Calculer limx→0+ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), (ln x)2/x = 4(ln√x/√x)2 , puis déduire limx→+∞ (ln x)2/x.
    3. Déduire de ce qui précède que : limx→+∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x)/x.
    4. Calculer limx→+∞(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    5. Etudier la position relative de (Cƒ) (la courbe représentative de la fonction ƒ) et la droite (∆) d’équation y = x sur l’intervalle ]0, +∞[.
    1. Montrer que pour tout x de ]0, +∞[ ƒ′(x) = g(x)/x puis montrer que ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[.
    2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  1. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans ]0, +∞[, puis vérifier que 1/e < α < 1/2.
  2. Déduire le signe de la fonction ƒ sur l’intervalle ]0, +∞[.
  3. Tracer la droite (∆) et la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
  4. Justifier puis déterminer les primitives de la fonction h : x → ln x/x + x2 sur l’intervalle ]0, +∞[.

Correction

    1. La fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la somme de deux fonctions dérivables : x → x et x → 2ln x. Calculons g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.

g′(x) = (x − 2ln x)′

= 1 − 2 × 1/x

= x − 2/x

2. Les variations de la fonctions g sur ]0, +∞[ :

On a : x > 0, pour tout x de ]0, +∞[. Donc le signe de g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x − 2, et comme l’expression x − 2 s’annule en 2. Alors :

Ceci implique que :

(∀x ∈ ]0,2]) : g′(x) ≤ 0 et (∀x ∈ [2, +∞[) : g′(x) ≥ 0

Ce qui signifie que la fonction g est décroissante sur ]0,2] et croissante sur [2, +∞[. On déduit le tableau de variations suivant :

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Devoir surveillé fonction logarithme et primitives N2

Problème d’analyse

Partie 01

On considère la fonction numérique g définie sur  ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 2ln(x) + 1

    1. Calculer g′(x) pout tout x de ]0, +∞[.
    2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 2[ et croissante sur [2, +∞[.
    3. Calculer g(2), puis déduire que : g(x) ≥ 0 pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[.

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x − (ln x)2 + ln x

    1. Calculer limx→0+ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    2. Montrer que : limx→+∞ (ln x)2/x = 0. (on pourra poser : X = √x).
    3. Déduire de ce qui précède : limx→+∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x)/x .
    4. Calculer limx→+∞ (ƒ(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
    5. Vérifier que : (∀x ∈ ]0, +∞[); ƒ(x) − x = ln(x)(1 − ln(x)), puis déduire que la courbe (Cƒ) est au dessous de la droite (∆) : y = x sur les intervalles ]0, 1] et [e, +∞[, et au dessus sur l’intervalle [1, e].
    1. Montrer que pour tout x de ]0, +∞[ ƒ′(x) = g(x)/x puis montrer que ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[.
    2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  1. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans ]0, +∞[, puis vérifier que 0,5 < α < 0,8.
  2. Déduire le signe de la fonction ƒ sur l’intervalle ]0, +∞[.
  3. Tracer la droite (∆) et la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
  4. Montrer que la fonction H : x xln x − x est une primitive de la fonction h : x →ln x sur ]0, +∞[.

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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