La fonction primitive cours terminale

La fonction primitive cours terminale. C’un cours complet et bien détaillé sur les fonctions primitives (2ème année bac / terminale)

1. Définition d’une fonction primitive (La fonction primitive cours terminale)

1.1 Définition et exemples (La fonction primitive cours terminale)

Définition 1 ƒ est une fonction définie sur un intervalle I. On dit que ƒ admet une fonction primitive sur I si, et seulement si il existe une fonction F dérivable sur I tel que :

∀x ∈ I, F′(x) = ƒ(x)

Exemple 2

1. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = 2x. Déterminer une primitive de ƒ.

La fonction F est dérivable sur ℝ et définie par : F(x) = x² est une primitive de ƒ. Car F′(x) = ƒ(x) pour tout x ∈ ℝ.

2. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = cos x + 3. Déterminer une primitive de ƒ.

La fonction F est dérivable sur ℝ et définie par : F(x) = sin x + 3x est une primitive de ƒ. Car F′(x) = ƒ(x) pour tout x ∈ ℝ.

Théorème 3 Soit une fonction ƒ admettant une primitive F sur I alors toute primitive G de ƒ est de la forme

∀x ∈ I, G(x) = F(x) + k , (k ∈ ℝ)

Exemple 4 Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = x³ .

Les fonctions primitives de la fonction ƒ sur ℝ sont : F(x) = x⁴/4 + k, (k ∈ ℝ).

2. Primitive vérifiant une condition initiale (La fonction primitive cours terminale)

Théorème 5 Soit ƒ une fonction admettant une primitive sur I. Soit x₀ ∈ I et y₀ ∈ ℝ. Il existe une unique primitive F de ƒ sur I tel que :

F(x₀) = y₀

Exemple 6 Déterminer la primitive F de la fonction ƒ(x) = 2x tel que : F(2) = 3.

La fonction F est une primitive de ƒ telle que :

F(x) = x² + k, (k ∈ ℝ)

Comme F(2) = 3, alors

4 + k = 3 ⇔ k = − 1

Donc

F(x) = x² − 1

Propositions 7 Toute fonction ƒ continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Propositions 8

1. Soient F et G deux fonctions primitives de ƒ et g sur I. Alors F + G est une primitive de ƒ + g sur I.
2. αF est une fonction primitive de αƒ sur I avec α ∈ ℝ.

3. Primitives élémentaires

Voici le tableau des primitives des fonctions usuelles.

Exemple 9

Déterminer les fonctions primitives de la fonction ƒ dans chaque cas.

1. ƒ(x) = 3x⁴ − 2/√x + 1/∛x
2. ƒ(x) = 3/2 + 8x³ + 1/x²

• La fonction ƒ est continue sur ℝ*₊, donc elle admet des fonctions primitives sur ℝ*₊.

On a

ƒ(x) = 3x⁴ − 2/√x + 1/∛x

= 3x⁴ − 2 × 1/√x + x^−1/3

Donc

F(x) = 3/5x⁵ − 4√x + 1/−1/3+1x^−1/3+1 + k

= 3/5x⁵ − 4√x + 3/2x^2/3 + k , (k ∈ ℝ)

• La fonction ƒ est continue sur ℝ*, donc elle admet des fonctions primitives sur ℝ* .

Donc

F(x) = 3/2x + 8/4x⁴− 1/x + k

= 3/2x + 2x⁴ − 1/x + k , (k ∈ ℝ)

Soient ƒ et g deux fonctions dérivables sur l’intervalle I.

Exemple 10

Déterminer les primitives de la fonction ƒ dans chaque cas.

1. ƒ(x) = (2x − 3)(x² − 3x + 1)⁵
2. ƒ(x) = (x − 1)(x² − 2x + 3)⁴
3. ƒ(x) = x/√1+x²
4. ƒ(x) = 2x(x² − 1)³
5. ƒ(x) = (3x − 1)⁴
6. ƒ(x) = tan x + tan³x

Solution 11

1. La fonction ƒ est continue sur ℝ, donc elle admet des fonctions primitives sur ℝ.

ƒ est de la forme u′uⁿ avec u(x) = x² − 3x + 1 et u′(x) = 2x − 3 pour tout x ∈ ℝ.

On a :

ƒ(x) = (x² − 3x + 1)′(x² − 3x + 1)⁵

Donc

F(x) = 1/6(x² − 3x + 1)⁶ + k, (k ∈ ℝ)

2. La fonction ƒ est continue sur ℝ, donc elle admet des fonctions primitives sur ℝ.

ƒ est de la forme u′uⁿ avec u(x) = x² − 2x + 3 et u′(x) = 2(x − 1) pour tout x ∈ ℝ.

On a :

ƒ(x) = (x² − 2x + 3)′/2(x² − 2x + 3)⁴

Donc

F(x) = 1/10(x² − 2x + 3)⁵ + k, (k ∈ ℝ)

3. La fonction ƒ est continue sur ℝ, donc elle admet des fonctions primitives sur ℝ.

ƒ est de la forme u′/√u avec u(x) = 1 + x² et u′(x) = 2x pour tout x ∈ ℝ.

On a :

ƒ(x) = (1 + x²)′/2√1+x²

Donc

F(x) = √1+x² + k, (k ∈ ℝ)

4. La fonction ƒ est continue sur ℝ, donc elle admet des fonctions primitives sur ℝ.

ƒ est de la forme u′uⁿ avec u(x) = x² − 1 et u′(x) = 2x pour tout x ∈ ℝ.

On a :

ƒ(x) = (x² − 1)′(x² − 1)³

Donc

F(x) = 1/4(x² − 1)⁴ + k, (k ∈ ℝ)

5. La fonction ƒ est continue sur ℝ, donc elle admet des fonctions primitives sur ℝ.

ƒ est de la forme u′uⁿ avec u(x) = 3x − 1 et u′(x) = 3 pour tout x ∈ ℝ.

On a :

ƒ(x) = (3x − 1)′/3(3x − 1)⁴

Donc

F(x) = 1/15(3x − 1)⁵ + k, (k ∈ ℝ)

6. La fonction ƒ est continue sur ℝ∖ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ} , donc elle admet des fonctions primitives sur ℝ∖ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ} .

ƒ(x) = tan x + tan³x

= tan x(1 + tan²x)

ƒ est de la forme u′uⁿ avec u(x) = tan x et u′(x) = 1 + tan²x pour tout x ∈ ℝ∖ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}.

On a :

ƒ(x) = (tan x)′tan x

Donc

F(x) = tan²x/2 + k, (k ∈ ℝ)

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Devoir surveillé fonction logarithme et primitives

Problème d’analyse

Partie 01

Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 2lnx

1. Calculer g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.
2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 2] et croissante sur [2, +∞[.

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x − (ln x)²

1. Calculer lim_x→0⁺ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2. Montrer que : (∀x ∈ ]0, +∞[), (ln x)²/x = 4(ln√x/√x)² , puis déduire lim_x→+∞ (ln x)²/x.
3. Déduire de ce qui précède que : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→+∞ ƒ(x)/x.
4. Calculer lim_x→+∞ (ƒ(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
5. Etudier la position relative de (C_ƒ) (la courbe représentative de la fonction ƒ) et la droite (∆) d’équation y = x sur l’intervalle ]0, +∞[.

Correction

1. La fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la somme de deux fonctions dérivables : x → x et x → − 2ln x. Calculons g′(x) pour tout x de ]0, +∞[.

g′(x) = (x − 2ln x)′

= 1 − 2 × 1/x

= x − 2/x

2. Les variations de la fonctions g sur ]0, +∞[ :

On a : x > 0, pour tout x de ]0, +∞[. Donc le signe de g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x − 2, et comme l’expression x − 2 s’annule en 2. Alors :

Ceci implique que :

(∀x ∈ ]0,2]) : g′(x) ≤ 0 et (∀x ∈ [2, +∞[) : g′(x) ≥ 0

Ce qui signifie que la fonction g est décroissante sur ]0,2] et croissante sur [2, +∞[. On déduit le tableau de variations suivant :

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Devoir surveillé fonction logarithme et primitives N2

Problème d’analyse

Partie 01

On considère la fonction numérique g définie sur  ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 2ln(x) + 1

1. Calculer g′(x) pout tout x de ]0, +∞[.
2. Montrer que g est décroissante sur ]0, 2[ et croissante sur [2, +∞[.
3. Calculer g(2), puis déduire que : g(x) ≥ 0 pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[.

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

ƒ(x) = x − (ln x)² + ln x

1. Calculer lim_x→0⁺ ƒ(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2. Montrer que : lim_x→+∞ (ln x)²/x = 0. (on pourra poser : X = √x).
3. Déduire de ce qui précède : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→+∞ ƒ(x)/x .
4. Calculer lim_x→+∞ (ƒ(x) − x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
5. Vérifier que : (∀x ∈ ]0, +∞[); ƒ(x) − x = ln(x)(1 − ln(x)), puis déduire que la courbe (C_ƒ) est au dessous de la droite (∆) : y = x sur les intervalles ]0, 1] et [e, +∞[, et au dessus sur l’intervalle [1, e].

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Vous pouvez aussi consulter :

• Cours fonction logarithme népérien
• Calcul de primitives cours sur educastream