Fonction exponentielle cours pdf

Fonction exponentielle cours pdf. C’est un cours complet et bien détaillé sur la fonction exponentielle (2ème bac pc et svt)

1. Définition et propriété (Fonction exponentielle cours pdf)

Définition 1 (Fonction exponentielle cours pdf)

La fonction réciproque de la fonction ln s’appelle la fonction exponentielle est notée exp, et

exp ℝ →  ]0, +∞[

x → exp x

avec exp(0) = 1.

Notation nouvelle :

exp x = exp(x × 1) = (exp(1))^x = e^x . On note pour tout x réel, on a

exp x = e^x

Résultats

• La fonction exponentielle est définie sur l’ensemble ℝ.
• La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ, et on a : (e^x)′ = e^x .
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
• (∀x ∈ ℝ), e^x > 0

2. Propriétés (Fonction exponentielle cours pdf)

Propriété 2

Pour tous les nombres réels x et y, et l’entier naturel n, on a :

1. e⁰ = 1 et e¹ ≃ 2,718
2. e^x+y = e^x × e^y
3. e^x−y = e^x/e^y
4. e^−x = 1/e^x
5. e^nx = (e^x)ⁿ
6. e^x ≠ 0

Remarque 3 (Lien avec le logarithme népérien)

1. ∀x ∈ ℝ, ln(e^x) = x.
2. ∀x ∈ ]0, +∞[ , e^{ln x} = x.

Propriété 4

1. (∀x ∈ ℝ); (∀a ∈ ]0, +∞[), e^x = a ⇔ x = ln a
2. ∀x,y ∈ ℝ, e^x = e^y ⇔ x = y
3. ∀x,y ∈ ℝ, e^x < e^y ⇔ x < y

Exemple 5

• Résoudre dans l’ensemble ℝ l’équation (E) : e^2×2+3 = e^7x .

e^2×2+3 = e^7x ⇔ 2x² + 3 = 7x ⇔ 2x² − 7x + 3 = 0

Calculons le discriminant ∆ de l’équation du second degré.

∆ = 49 − 24 = 25 > 0

x₁ = −b+√∆/2a = 7+5/4 = 3 et x₂ = −b−√∆/2a = 7−5/4 = 1/2

donc

S = {1/2, 3}

• Résoudre dans l’ensemble ℝ l’inéquation (I) : e^3x ≤ e^x+6 .

e^3x ≤ e^x+6 ⇔ 3x < x + 6 ⇔ x < 3

donc

S = ]−∞, 3[

3. Limites de références (Fonction exponentielle cours pdf)

Propriété 6

Soit n ∈ ℕ.

1. lim_x→+∞ e^x = +∞.
2. lim_x→+∞ e^x/x = +∞ et lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞.
3. lim_x→−∞ e^x = 0.
4. lim_x→−∞ xe^x = 0 et lim_x→−∞ xⁿe^x = 0.
5. lim_x→0 e^x − 1/x = 1.

Exemple 7

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ (x + e^−3x) , lim_x→−∞ e^1−1/x et lim_x→+∞ e^x +x/e^x −x²

• Calculons la limite : lim_x→+∞ (x + e^−3x).

lim_x→+∞ (x + e^−3x) = +∞ + 0 = +∞

Car : lim_x→+∞ e^−3x = 0

• Calculons la limite : lim_x→−∞ e^1−1/x

lim_x→−∞ e^1−1/x = e

Car : lim_x→−∞ (1−1/x) = 1

• Calculons la limite : lim_x→+∞ e^x +x/e^x −x²

lim_x→+∞ e^x +x/e^x −x² = lim_x→+∞ e^x(1+x/e^x)/e^x(1−x/e^x) = lim_x→+∞ 1+x/e^x/1−x/e^x

Comme : lim_x→+∞ x/e^x = lim_x→+∞ 1/e^x/x = 0. car lim_x→+∞ e^x/x = +∞

et lim_x→+∞ x²/e^x = lim_x→+∞ 1/e^x/x² = 0. car lim_x→+∞ e^x/x² = +∞

alors

lim_x→+∞ e^x +x/e^x −x² = 1

4. Courbe représentative de la fonction exponentielle (Fonction exponentielle cours pdf)

D’après les résultats obtenus dans le premier paragraphe, on déduit le tableau de variations de la fonction exponentielle ainsi sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ) :

ƒ ℝ → ]0, +∞[

x → e^x

La courbe représentative de la fonction exponentielle.

5. Fonction de la forme x → e^u(x)

5.1 Dérivée de la fonction e^u.

Propriété 8

Soit la fonction u dérivable sur un intervalle I, alors la fonction e^u est dérivable sur I et :

(e^u)′ = u′e^u

Exemple 9

Soient ƒ et g deux fonctions définies sur ℝ par : ƒ(x) = e^2x−1 et g(x) = e^−x2 .

ƒ et g sont dérivable sur ℝ, donc ƒ′(x) = 2e^2x−1 et g′(x) = −2xe^−x2.

Propriété 10

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Les fonctions u et e^u ont le même sens de variations.

5.2 Primitives

Propriété 11

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

L’ensemble des fonctions primitives de la fonction u′e^u sur I sont les fonctions e^u + k avec k ∈ ℝ.

Exemple 12

On considère la fonction ƒ définie sur ]−1, +∞[ par :

ƒ(x) = 1/2√x+1e^√x+1

La fonction ƒ est continue sur ]−1, +∞[, elle admet donc des fonctions primitives sur ]−1, +∞[.

ƒ est de la forme u′e^u avec u(x) = √x+1 et u′(x) = 1/2√x+1 pour tout x ∈ ]−1, +∞[.

On a

ƒ(x) = (√x+1)′e^√x+1

donc

F(x) = e^√x+1 + k, (k ∈ ℝ)

6. Exercice d’application

Exercice 13

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par :

ƒ(x) = xe^−x/2

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Calculer : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
2. Calculer la dérivée de la fonction ƒ, et dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Tracer la courbe représentative de la fonction ƒ.

Solution 14  

1. La limite de la fonction ƒ en +∞.

lim_x→+∞ ƒ(x) = lim_x→+∞ xe^−x/2

lim_x→+∞ x/e^x/2

lim_x→+∞ 2x/2/e^x/2

lim_x→+∞ 2/e^x/2/x/2 = 0

car : lim_x→+∞ e^x/2/x/2 = +∞ 

La limite de la fonction ƒ en −∞.

lim_x→−∞ ƒ(x) = lim_x→−∞ xe^−x/2 = −∞ 

car : lim_x→−∞ e^−x/2 = +∞  et lim_x→−∞ x = −∞ 

2. Justifions d’abord la dérivabilité de la fonction ƒ sur ℝ.

La fonction ƒ s’écrit comme le produit de deux fonctions de deux fonctions u et v.

u(x) = x et v(x) = e^−x/2  

• u est une fonction polynôme dérivable sur ℝ.

On pose h la fonction définie par : h : x → −x/2.

• h est une fonction polynôme dérivable sur ℝ, donc la fonction v est dérivable sur ℝ.

On déduit que la fonction ƒ est dérivable sur ℝ comme le produit de deux fonctions dérivables.

Calculons ƒ′(x) pour tout x ∈ ℝ.

ƒ′(x) = (xe^−x/2)′

= e^−x/2 + x × (−1/2)e^−x/2

= (1 − x/2)e^−x/2

Comme e^−x/2 ≻ 0, alors le signe de ƒ′(x) sur ℝ est celui de (1 − x/2).

On dresse le tableau de variations :

3. La courbe représentative de la fonction ƒ.

7. La fonction exponentielle de base α ∈ ℝ*₊ (Fonction exponentielle cours pdf)

7.1 Définition et propriétés

Définition 15

La fonction définie sur ℝ telle que x →e^{xln a} s’appelle la fonction exponentielle de base a, notée a^x.

Propriété 16 

Pour tous réels x et y, on a :

1. a^x+y = a^x × a^y
2. a^x−y = a^x/a^y
3. (a^x)^y = a^xy
4. a^−x = 1/a^x.

Propriété 17

Soit a un élément de ℝ*₊∖ {1}.

1. (∀x ∈ ℝ)(∀y ∈ ]0, +∞[), a^x = y ⇔ x = ln y/ln a.
2. (∀x ∈ ℝ), log_a(a^x) = x.

Exemple 18

Résoudre dans ℝ l’équation : 4^x = 18

4^x = 18 ⇔ x = ln 18/ln 4

donc

S = {ln 18/ln 4}

8. L’étude de la fonction x → α^x

Propriété 19

La fonction x → α^x est dérivable sur ℝ et on a : (a^x)′ = ln a × ln a^x.

Propriété 20

1. Si a ≻ 1 alors la fonction x → α^x est strictement croissante sur ℝ.
2. Si 0 ≺ a ≺ 1 alors la fonction x → α^x est strictement décroissante sur ℝ.
3. Si a ≻ 1 alors lim_x→+∞ a^x = +∞ et lim_x→−∞ a^x = 0.
4. Si 0 ≺ a ≺ 1 alors lim_x→+∞ a^x = 0 et lim_x→−∞ a^x = +∞.

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Devoir surveillé sur la fonction exponentielle

Problème d’analyse.

Partie N1

On considère la fonction numérique g définie sur ℝ par : g(x) = e^x + 2xe^x − 1.

1. Calculer g(0).
2. A partir de la courbe représentative (C_g) de la fonction g (voir la figure au-dessus) déterminer le signe g(x) sur chacun des intervalles : ]−∞,0] et [0,+∞[.

Partie N2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

ƒ(x) = x(e^x − 1)²

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j). (unité : 2cm).

1. Calculer : lim_x→+∞ƒ(x).
2. Déterminer la branche infinie de la courbe (C_ƒ) au voisinage de +∞.

2. a) Vérifier que : ƒ(x) = xe^2x − 2xe^x + x pour tout x de ℝ.

b) Calculer lim_x→−∞ ƒ(x) et montrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe (C_ƒ) au voisinage −∞.

3. a) étudier la dérivabilité de ƒ en 0 à droite et interpréter géométriquement le résultat.

b) Montrer que : (∀x ∈ ℝ) : ƒ′(x) = (e^x − 1)g(x).

c) Montrer que : (∀x ∈ ]−∞,0]) : e^x − 1 ≤ 0 et que (∀x ∈ [0,+∞[) : e^x − 1 ≥ 0.

d) Montrer que la fonction ƒ est croissante sur ℝ.

4. a) Résoudre dans ℝ l’équation : xe^x (e^x − 2) = 0.

b) En déduire que la courbe (C_ƒ) coupe la droite (∆) en deux points dont on déterminera les couples de coordonnées.

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Devoir surveillé sur la fonction exponentielle et les nombres complexes

Problème d’analyse

Partie 01.

On considère la fonction numérique h définie sur ℝ par : h(x) = e^x − x − 1.

1. Calculer h′(x) pour tout x de ℝ, puis en déduire que h est croissante sur [0,+∞[ et décroissante sur ]−∞,0].
2. Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ, puis déduire que e^x − x > 0 pour tout x ∈ ℝ.

Partie 02.

On considère la fonction numérique ƒ définie sur [0,+∞[ par : ƒ(x) = e^x − 1/e^x − x

1. Vérifier que : ƒ(x) = 1 − e^x/1 − xe^−x , puis déduire que : lim_x→+∞ ƒ(x) = 1.

On admet le résultat suivante : la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, 1].

2. Montrer que pout tout x de [0, 1] on a : ƒ(x) ∈ [0, 1].

3. Soit (D) la droit d’équation : y = x.

a). Montrer que pour tout x de [0, 1] : ƒ(x) − x = (1− x)h(x)/e^x − x , puis étudier le signe de ƒ(x) − x sur [0, 1].

b). Déduire la position relative de la courbe (C_ƒ) et la droite (D) sur l’intervalle [0, 1].

4. On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 1/2 et u_n+1 = ƒ(u_n), pour tout n ∈ ℕ.

a) Montrer que : (∀n ∈ ℕ) : 1/2 ≤ u_n ≤ 1.

b) Montrer que la suite (u_n) est croissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : On pourra utiliser la question 3-a)

c) . Montrer que : lim_n→+∞ u_n = 1.

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

1. Résoudre dans ℂ l’équation : (E) : z² − 6z + 18 = 0.
2. On considère les points A et B d’affixes respectives : a = 3 + 3i , b = 3 − 3i.
   1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
3. On considère la translation T de vecteur OA.
   1. Montrer que b′ l’affixe du point B′ image du point B par la translation T est : 6.
   2. Montrer que : b − b′/a − b′ = i, puis en déduire que le triangle AB′B est rectangle isocèle en B′.
   3. Déduire de ce qui précède que le quadrilatère OAB′B est un carré.

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Devoir surveillé sur la fonction exponentielle et les nombres complexes (version N2)

Problème d’analyse

Partie 01. On considère la fonction numérique h définie sur ℝ par : h(x) = e^−x + x − 1.

1. Calculer h′(x) pour tout x ∈ ℝ, puis en déduire que h est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
2. Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x de ℝ.

Partie 02. On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = x/x + e^−x

1. Montrer que : ƒ′(x) = (x + 1)e^−x/(x + e^−x)² pour tout x de ℝ.
2. Etudier le signe ƒ′(x) puis dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Vérifier : x − ƒ(x) = xh(x)/h(x) + 1 pour tout x de ℝ puis étudier le signe x − ƒ(x) sur ℝ.
4. Déduire de la question précédente que la courbe (C_ƒ) est au-dessous de la droite (∆) d’équation : y = x sur l’intervalle [0, +∞[ et au-dessus sur l’intervalle ]−∞, 0].
5. On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 1 et u_n+1 = ƒ(u_n), pour tout n ∈ ℕ.
   1. Montrer que : (∀n ∈ ℕ) : 0 ≤ u_n ≤ 1.
   2. Montrer que la suite (u_n) est décroissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : on pourra utiliser le résultat de la question 3)
   3. Montrer que : lim_n→+∞ u_n = 0.

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

1. Résoudre dans ℂ l’équation : (E) : 2z² + 2z + 5 = 0.
2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2 − 2i , b = − √3/2 + 1/2i et c = 1 − √3 + ( 1 + √3)i.
   1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
3. On considère la rotation R de centre le point O et d’angle 5π/6.
   1. Soit z l’affixe d’un point M du plan complexe et z′ l’affixe du point M′ l’image de M par la rotation R. Montrer que : z′ = bz, puis vérifier que le point C est l’image du point A par la rotation R.
4. Montrer que : arg(c) ≡ arg(a) + arg(b) [2π], puis déduire un argument du nombre complexe c.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Cours fonction logarithme népérien
• Etude de la fonction exponentielle sur educastream