Théorème de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Théorème de Rolle (Théorème de Rolle et des accroissements finis)

Théorème 1 (Théorème de Rolle)

Soit ƒ : [a, b] → ℝ telle que :

• ƒ est continue sur [a, b] ,
• ƒ est dérivable sur ]a, b[ ,
• ƒ(a) = ƒ(b).

Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que ƒ′(c) = 0.

Remarque 2

Il existe au moins un point du graphe de ƒ où la tangente est horizontale.

Démonstration 3

• Si ƒ est constante sur [a, b] alors n’importe quel c ∈ ]a, b[ convient.
• Sinon il existe x₀ ∈ [a, b], tel que : ƒ(x₀) ≠ ƒ(a). Supposons que ƒ(x₀) ≻ ƒ(a). Alors ƒ est continue sur l’intervalle fermé et borné [a, b], donc elle admet un maximum en un point c ∈ [a, b]. Comme ƒ(c) ≥ƒ(x₀) ≻ ƒ(a) donc c ≠ a. De même comme ƒ(a) = ƒ(b) alors c ≠ b. Ainsi c ∈ ]a, b[. En c , ƒ est dérivable et admet un maximum (local) donc ƒ′(c) = 0.

Remarque 4 !!

Dire que ƒ a un maximum local en c signifie que ƒ(c) est la plus grande des valeurs ƒ(x) pour les x proches de c. On dit que ƒ : I → ℝ admet un maximum global en c si pour toutes les autres valeurs ƒ(x), x ∈ I , on a ƒ(x) ≤ ƒ(c) (on ne regarde donc pas seulement les ƒ(x) pour x proche de c ). Bien sûr un maximum global est aussi un maximum locale, mais la réciproque est fausse.

Voir le cours sur les fonctions numériques. (TCSI).

Remarque 5

Le théorème de Rolle est faux pour les fonctions à valeur dans ℂ. Considérons la fonction ƒ : x → e^ix.

Exemple 6

Soit ƒ : [a, b] → ℝ une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On pose :

φ(x) = (ƒ(b) − ƒ(a)) x³ − (b³ − a³)ƒ(x)

1. Montrer que φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, calculer φ′(x) pour tout x ∈ ]a, b[.
2. Calculer φ(a) et φ(b). En déduire qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que :

3c²(ƒ(b) − ƒ(a)) = (b³ − a³) ƒ′(c)

• Les fonctions x → x³ et ƒ sont continues sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ donc φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.

Pour tout x ∈ ]a, b[, on a :

φ′(x) = ((ƒ(b) − ƒ(a)) x³ − (b³ − a³)ƒ(x))′

= 3x²(ƒ(b) − ƒ(a)) − (b³ − a³) ƒ′(x)

• On a : φ(a) = a³ƒ(b) − b³ƒ(a) et φ(b) = −b³ƒ(a) + a³ƒ(b). Donc : φ(a) = φ(b).

D’après la question 1, la fonction φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, donc d’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ tel que :

φ′(c) = 0 ⇔  (ƒ(b) − ƒ(a)) − (b³ − a³) ƒ′(c)

⇔ 3c²(ƒ(b) − ƒ(a)) = (b³ − a³) ƒ′(c)

Le théorème des accroissements finis

Théorème 7 (égalité des accroissements finis)

Soit ƒ une fonction définie sur un segment [a, b] de ℝ à valeurs dans ℝ.

Si

• ƒ est continue sur [a, b] ,
• ƒ est dérivable sur ]a, b[ ,

alors il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que

ƒ(b)−ƒ(a)/b−a = ƒ′(c)

Remarque 8

ƒ(b)−ƒ(a)/b−a est le coefficient directeur de la droite joignant les points A (a, ƒ(a)) et B (b, ƒ(b)) et ƒ′(c) est le coefficient directeur de la tangente (T) à (C_ƒ) au point d’abscisse c. L’égalité ƒ(b)−ƒ(a)/b−a = ƒ′(c) se traduit par le fait que les droites (AB) et (T) sont parallèles.

Démonstration 9

Pour x ∈ [a, b], posons h(x) = ƒ(x) − g(x) où g est fonction affine telle que pour tout x de [a, b], on a :

g(x) = ƒ(a) + ƒ(b)−ƒ(a)/b−a (x − a)

La fonction h est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et vérifie h(a) = h(b) = 0.

D’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ tel que h′(c) = 0 ou encore tel que :

ƒ′(c) = ƒ(b)−ƒ(a)/b−a

Théorème 10 (inégalité des accroissements finis)

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I de ℝ, à valeurs dans ℝ, dérivable sur I.

1. Si il existe deux réels m et M tels que, pour tout réel x de I , m ≤ ƒ′(x) ≤ M, alors pour tout (a, b) ∈ I² tel que a ≠ b, m ≤ ƒ(b)−ƒ(a)/b−a ≤ M .
2. S’il existe un réel M tel que, pour tout réel x de I, ∣ƒ′(x)∣ ≤ M, alors pour tout (a, b) ∈ I² tel que a ≠ b, ∣ƒ(b) − ƒ(a)∣ ≤ M∣b − a∣.

Démonstration 11

• Soit (a, b) ∈ I² tel que a ≺ b. ƒ est dérivable sur I et en particulier, ƒ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. D’après le théorème des accroissements des finis, il existe c ∈ ]a, b[ tel que ƒ(b)−ƒ(a)/b−a = ƒ′(c). Par hypothèse, m ≤ ƒ′(c) ≤ M et donc

m ≤ ƒ(b)−ƒ(a)/b−a ≤ M .

• Pour tout x de I, on a : −M ≤ ƒ′(x) ≤ M. D’après 1), pour tout (a, b) de I² tel que a ≠ b, on a −M ≤ ƒ(b)−ƒ(a)/b−a ≤ M ou encore ∣ƒ(b)−ƒ(a)/b−a∣ ≤ M. On en déduit que ∣ƒ(b)−ƒ(a)∣ ≤ M ∣b − a∣.

Exemple 12

1. Montrer que pour tout x et y deux réels on a :

∣sin x −sin y∣ ≤ ∣x − y∣

2. Montrer que pour tout x ≻ 0 on a :

x/1+x ≺ ln(1 +x) ≺ x

• Pour x ≠ y. La fonction sin est continue et dérivable sur ℝ, on peut appliquer le théorème des accroissements finis sur [x, y] si x ≺ y (ou sur [y, x] si y ≺ x ). Il existe c ∈ ]x, y[ (ou c ∈ ]y, x[) tel que

sin x−sin y/x−y = cos c

Ce qui équivaut à

sin x − sin y = (x − y)cos c

On prend la valeur absolue, on obtient :

∣sin x − sin y∣ = ∣x − y∣∣cos c∣

Comme ∣cos c∣ ≤ 1, alors

∣sin x − sin y∣ = ≤ ∣x − y∣

• La fonction ƒ : t → ln (1 + t) est continue et dérivable sur ℝ⁺, on peut appliquer le théorème des accroissements finis sur [0, x]. Il existe c ∈ ]0, x[ tel que

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Vous pouvez aussi consulter :

• Cours fonction logarithme népérien
• Fonction exponentielle cours
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