Théorème de Rolle et des accroissements finis.
Théorème de Rolle (Théorème de Rolle et des accroissements finis)
Théorème 1 (Théorème de Rolle)
Soit ƒ : [a, b] → ℝ telle que :
- ƒ est continue sur [a, b] ,
- ƒ est dérivable sur ]a, b[ ,
- ƒ(a) = ƒ(b).
Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que ƒ′(c) = 0.
Remarque 2
Il existe au moins un point du graphe de ƒ où la tangente est horizontale.
Démonstration 3
- Si ƒ est constante sur [a, b] alors n’importe quel c ∈ ]a, b[ convient.
- Sinon il existe x0 ∈ [a, b], tel que : ƒ(x0) ≠ ƒ(a). Supposons que ƒ(x0) ≻ ƒ(a). Alors ƒ est continue sur l’intervalle fermé et borné [a, b], donc elle admet un maximum en un point c ∈ [a, b]. Comme ƒ(c) ≥ƒ(x0) ≻ ƒ(a) donc c ≠ a. De même comme ƒ(a) = ƒ(b) alors c ≠ b. Ainsi c ∈ ]a, b[. En c , ƒ est dérivable et admet un maximum (local) donc ƒ′(c) = 0.
Remarque 4 !!
Dire que ƒ a un maximum local en c signifie que ƒ(c) est la plus grande des valeurs ƒ(x) pour les x proches de c. On dit que ƒ : I → ℝ admet un maximum global en c si pour toutes les autres valeurs ƒ(x), x ∈ I , on a ƒ(x) ≤ ƒ(c) (on ne regarde donc pas seulement les ƒ(x) pour x proche de c ). Bien sûr un maximum global est aussi un maximum locale, mais la réciproque est fausse.
Voir le cours sur les fonctions numériques. (TCSI).
Remarque 5
Le théorème de Rolle est faux pour les fonctions à valeur dans ℂ. Considérons la fonction ƒ : x → eix.
Exemple 6
Soit ƒ : [a, b] → ℝ une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On pose :
φ(x) = (ƒ(b) − ƒ(a)) x3 − (b3 − a3)ƒ(x)
- Montrer que φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, calculer φ′(x) pour tout x ∈ ]a, b[.
- Calculer φ(a) et φ(b). En déduire qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que :
3c2(ƒ(b) − ƒ(a)) = (b3 − a3) ƒ′(c)
- Les fonctions x → x3 et ƒ sont continues sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ donc φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
Pour tout x ∈ ]a, b[, on a :
φ′(x) = ((ƒ(b) − ƒ(a)) x3 − (b3 − a3)ƒ(x))′
= 3x2(ƒ(b) − ƒ(a)) − (b3 − a3) ƒ′(x)
- On a : φ(a) = a3ƒ(b) − b3ƒ(a) et φ(b) = −b3ƒ(a) + a3ƒ(b). Donc : φ(a) = φ(b).
D’après la question 1, la fonction φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, donc d’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ tel que :
φ′(c) = 0 ⇔ (ƒ(b) − ƒ(a)) − (b3 − a3) ƒ′(c)
⇔ 3c2(ƒ(b) − ƒ(a)) = (b3 − a3) ƒ′(c)
Le théorème des accroissements finis
Théorème 7 (égalité des accroissements finis)
Soit ƒ une fonction définie sur un segment [a, b] de ℝ à valeurs dans ℝ.
Si
- ƒ est continue sur [a, b] ,
- ƒ est dérivable sur ]a, b[ ,
alors il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que
ƒ(b)−ƒ(a)/b−a = ƒ′(c)
Remarque 8
ƒ(b)−ƒ(a)/b−a est le coefficient directeur de la droite joignant les points A (a, ƒ(a)) et B (b, ƒ(b)) et ƒ′(c) est le coefficient directeur de la tangente (T) à (Cƒ) au point d’abscisse c. L’égalité ƒ(b)−ƒ(a)/b−a = ƒ′(c) se traduit par le fait que les droites (AB) et (T) sont parallèles.
Démonstration 9
Pour x ∈ [a, b], posons h(x) = ƒ(x) − g(x) où g est fonction affine telle que pour tout x de [a, b], on a :
g(x) = ƒ(a) + ƒ(b)−ƒ(a)/b−a (x − a)
La fonction h est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et vérifie h(a) = h(b) = 0.
D’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ tel que h′(c) = 0 ou encore tel que :
ƒ′(c) = ƒ(b)−ƒ(a)/b−a
Théorème 10 (inégalité des accroissements finis)
Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I de ℝ, à valeurs dans ℝ, dérivable sur I.
- Si il existe deux réels m et M tels que, pour tout réel x de I , m ≤ ƒ′(x) ≤ M, alors pour tout (a, b) ∈ I2 tel que a ≠ b, m ≤ ƒ(b)−ƒ(a)/b−a ≤ M .
- S’il existe un réel M tel que, pour tout réel x de I, ∣ƒ′(x)∣ ≤ M, alors pour tout (a, b) ∈ I2 tel que a ≠ b, ∣ƒ(b) − ƒ(a)∣ ≤ M∣b − a∣.
Démonstration 11
- Soit (a, b) ∈ I2 tel que a ≺ b. ƒ est dérivable sur I et en particulier, ƒ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. D’après le théorème des accroissements des finis, il existe c ∈ ]a, b[ tel que ƒ(b)−ƒ(a)/b−a = ƒ′(c). Par hypothèse, m ≤ ƒ′(c) ≤ M et donc
m ≤ ƒ(b)−ƒ(a)/b−a ≤ M .
- Pour tout x de I, on a : −M ≤ ƒ′(x) ≤ M. D’après 1), pour tout (a, b) de I2 tel que a ≠ b, on a −M ≤ ƒ(b)−ƒ(a)/b−a ≤ M ou encore ∣ƒ(b)−ƒ(a)/b−a∣ ≤ M. On en déduit que ∣ƒ(b)−ƒ(a)∣ ≤ M ∣b − a∣.
Exemple 12
- Montrer que pour tout x et y deux réels on a :
∣sin x −sin y∣ ≤ ∣x − y∣
2. Montrer que pour tout x ≻ 0 on a :
x/1+x ≺ ln(1 +x) ≺ x
- Pour x ≠ y. La fonction sin est continue et dérivable sur ℝ, on peut appliquer le théorème des accroissements finis sur [x, y] si x ≺ y (ou sur [y, x] si y ≺ x ). Il existe c ∈ ]x, y[ (ou c ∈ ]y, x[) tel que
sin x−sin y/x−y = cos c
Ce qui équivaut à
sin x − sin y = (x − y)cos c
On prend la valeur absolue, on obtient :
∣sin x − sin y∣ = ∣x − y∣∣cos c∣
Comme ∣cos c∣ ≤ 1, alors
∣sin x − sin y∣ = ≤ ∣x − y∣
- La fonction ƒ : t → ln (1 + t) est continue et dérivable sur ℝ+, on peut appliquer le théorème des accroissements finis sur [0, x]. Il existe c ∈ ]0, x[ tel que
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Bonsoir M.je suis un nouveau diplômé en sciences économiques et de gestion niveau licence,vos cours m’aident vraiment dans mon apprentissage ainsi que lors de mes encadrements.