Théorème de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Théorème de Rolle (Théorème de Rolle et des accroissements finis)

Théorème 1 (Théorème de Rolle)

Soit ƒ : [a, b] →  telle que :

  • ƒ est continue sur [a, b] ,
  • ƒ est dérivable sur ]a, b[ ,
  • ƒ(a) = ƒ(b).

Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que ƒ′(c) = 0.

Remarque 2

Il existe au moins un point du graphe de ƒ où la tangente est horizontale.

Démonstration 3

  • Si ƒ est constante sur [a, b] alors n’importe quel c ∈ ]a, b[ convient.
  • Sinon il existe x0 ∈ [a, b], tel que : ƒ(x0) ≠ ƒ(a). Supposons que ƒ(x0) ≻ ƒ(a). Alors ƒ est continue sur l’intervalle fermé et borné [a, b], donc elle admet un maximum en un point c ∈ [a, b]. Comme ƒ(c) ≥ƒ(x0) ≻ ƒ(a) donc c ≠ a. De même comme ƒ(a) = ƒ(b) alors c ≠ b. Ainsi c ∈ ]a, b[. En c , ƒ est dérivable et admet un maximum (local) donc ƒ′(c) = 0.

Remarque 4 !!

Dire que ƒ a un maximum local en c signifie que ƒ(c) est la plus grande des valeurs ƒ(x) pour les x proches de c. On dit que ƒ : I →  admet un maximum global en c si pour toutes les autres valeurs ƒ(x), xI , on a ƒ(x) ≤ ƒ(c) (on ne regarde donc pas seulement les ƒ(x) pour x proche de c ). Bien sûr un maximum global est aussi un maximum locale, mais la réciproque est fausse.

Voir le cours sur les fonctions numériques. (TCSI).

Remarque 5

Le théorème de Rolle est faux pour les fonctions à valeur dans . Considérons la fonction ƒ : x → eix.

Exemple 6

Soit ƒ : [a, b] → une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On pose :

φ(x) = (ƒ(b) − ƒ(a)) x3(b3 − a3)ƒ(x)

  1. Montrer que φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, calculer φ′(x) pour tout x ∈ ]a, b[.
  2. Calculer φ(a) et φ(b). En déduire qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que :

3c2(ƒ(b) − ƒ(a)) = (b3 − a3) ƒ′(c)

  • Les fonctions x → x3 et ƒ sont continues sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ donc φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.

Pour tout x ∈ ]a, b[, on a :

φ′(x) = ((ƒ(b) − ƒ(a)) x3 (b3 − a3)ƒ(x))′

= 3x2(ƒ(b) − ƒ(a)) − (b3 − a3) ƒ′(x)

  • On a : φ(a) = a3ƒ(b) − b3ƒ(a) et φ(b) = −b3ƒ(a) + a3ƒ(b). Donc : φ(a) = φ(b).

D’après la question 1, la fonction φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, donc d’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ tel que :

φ′(c) = 0 ⇔  (ƒ(b) − ƒ(a)) − (b3 − a3) ƒ′(c)

3c2(ƒ(b) − ƒ(a)) = (b3 − a3) ƒ′(c)

Le théorème des accroissements finis

Théorème 7 (égalité des accroissements finis)

Soit ƒ une fonction définie sur un segment [a, b] de à valeurs dans .

Si

  • ƒ est continue sur [a, b] ,
  • ƒ est dérivable sur ]a, b[ ,

alors il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que

ƒ(b)−ƒ(a)/b−a = ƒ′(c)

Remarque 8

ƒ(b)−ƒ(a)/b−a est le coefficient directeur de la droite joignant les points A (a, ƒ(a)) et B (b, ƒ(b)) et ƒ′(c) est le coefficient directeur de la tangente (T) à (Cƒ) au point d’abscisse c. L’égalité ƒ(b)−ƒ(a)/b−a = ƒ′(c) se traduit par le fait que les droites (AB) et (T) sont parallèles.

Démonstration 9

Pour x ∈ [a, b], posons h(x) = ƒ(x) − g(x) où g est fonction affine telle que pour tout x de [a, b], on a :

g(x) = ƒ(a) + ƒ(b)−ƒ(a)/b−a (x − a)

La fonction h est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et vérifie h(a) = h(b) = 0.

D’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ tel que h′(c) = 0 ou encore tel que :

ƒ′(c) = ƒ(b)−ƒ(a)/b−a

Théorème 10 (inégalité des accroissements finis)

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I de , à valeurs dans , dérivable sur I.

  1. Si il existe deux réels m et M tels que, pour tout réel x de I , m ≤ ƒ′(x) ≤ M, alors pour tout (a, b) ∈ I2 tel que a ≠ b, m ≤ ƒ(b)−ƒ(a)/b−a M .
  2. S’il existe un réel M tel que, pour tout réel x de I, ∣ƒ′(x)∣ ≤ M, alors pour tout (a, b) ∈ I2 tel que a ≠ b, ∣ƒ(b) − ƒ(a)∣ ≤ Mb − a∣.

Démonstration 11

  • Soit (a, b) ∈ I2 tel que ab. ƒ est dérivable sur I et en particulier, ƒ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. D’après le théorème des accroissements des finis, il existe c ∈ ]a, b[ tel que ƒ(b)−ƒ(a)/b−a = ƒ′(c). Par hypothèse, m ≤ ƒ′(c) ≤ M et donc

m ≤ ƒ(b)−ƒ(a)/b−aM .

  • Pour tout x de I, on a : −M ≤ ƒ′(x) ≤ M. D’après 1), pour tout (a, b) de I2 tel que a ≠ b, on a −M ≤ ƒ(b)−ƒ(a)/b−aM ou encore ∣ƒ(b)−ƒ(a)/b−a∣ ≤ M. On en déduit que ∣ƒ(b)−ƒ(a)∣ ≤ Mb − a∣.

Exemple 12

  1. Montrer que pour tout x et y deux réels on a :

∣sin x −sin y∣ ≤ ∣x − y

2. Montrer que pour tout x0 on a :

x/1+x ≺ ln(1 +x) ≺ x

  • Pour x ≠ y. La fonction sin est continue et dérivable sur , on peut appliquer le théorème des accroissements finis sur [x, y] si xy (ou sur [y, x] si yx ). Il existe c ∈ ]x, y[ (ou c ∈ ]y, x[) tel que

sin x−sin y/x−y = cos c

Ce qui équivaut à

sin x − sin y = (x − y)cos c

On prend la valeur absolue, on obtient :

∣sin x − sin y∣ = ∣x − y∣∣cos c

Comme ∣cos c∣ ≤ 1, alors

∣sin x − sin y∣ = ≤ ∣x − y

  • La fonction ƒ : t → ln (1 + t) est continue et dérivable sur +, on peut appliquer le théorème des accroissements finis sur [0, x]. Il existe c ∈ ]0, x[ tel que

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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Une réflexion sur « Théorème de Rolle et des accroissements finis »

  1. Bonsoir M.je suis un nouveau diplômé en sciences économiques et de gestion niveau licence,vos cours m’aident vraiment dans mon apprentissage ainsi que lors de mes encadrements.

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