Les fonctions numériques cours tronc commun

Les fonctions numériques cours tronc commun. (les troncs communs scientifiques – seconde)

Généralités : (Les fonctions numériques cours tronc commun)

Définition d’une fonction

Définition 1

• Une fonction est une relation qui permet d’associer à un élément x, au plus un autre élément appelé image. On note cette fonction par : ƒ, g, h, …
• On représente la fonction ƒ par :

ƒ E → F

x → ƒ(x)

⋇ L’image d’un élément x par ƒ sera notée ƒ(x).

⋇ L’ensemble E appelé ensemble de départ.

⋇ L’ensemble F appelé ensemble d’arrivé.

Remarque 2

Il faut faire la différence entre la fonction ƒ qui représente une relation et ƒ(x) qui représente l’image de x par ƒ qui est un élément.

Exemple 3

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ [−1, 4[ →  ℝ

x → x² + 2x − 3

On a : ƒ(1) = 1² + 2 × 1 − 3 = 0. C’est-à-dire 0 est l’image de 1 par la fonction ƒ.

L’ensemble de définition d’une fonction (Les fonctions numériques cours tronc commun)

Définition 4

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x.

L’ensemble de définition de la fonction ƒ est l’ensemble des nombres réels x qui possèdent une image par cette fonction. L’ensemble de définition de la fonction ƒ est noté : D_ƒ tel que :

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ ƒ(x) ∈ ℝ} 

Exemple 5

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions numériques suivantes ƒ, h, g et M telles que :

ƒ(x) = 2x/x−1 , h(x) = √x−1 , g(x) = x² +4/x² −1 et M(x) = x³ + 5x − 1

• Pour la fonction ƒ :

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ x − 1 ≠0} 

= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1}

= ]−∞, 1[⋃]1, +∞[

• Pour la fonction h :

D_h = {x ∈ ℝ/ x − 1 ≥ 0} 

= {x ∈ ℝ/ x ≥ 1}

= [1, +∞[

• Pour la fonction g :

D_g = {x ∈ ℝ/ x² − 1 ≠0} 

On résout l’équation : x² − 1 = 0.

x² − 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ou x = − 1

Donc

D_g = {x ∈ ℝ/ x ≠ 1 et x ≠ − 1}

= ]−∞, −1[⋃]−1, 1[⋃]1, +∞[

• Pour la fonction M :

M est une fonction polynomiale. Donc : D_M = ℝ.

Égalité de deux fonctions (Les fonctions numériques cours tronc commun)

Définition 6

Soient ƒ et g deux fonctions numérique définies respectivement sur D_ƒ et D_g. Les deux fonctions ƒ et g sont égales si, et seulement si :

• Ces deux fonctions ont même ensemble de définition. C’est-à-dire : D_ƒ = D_g .
• Pour tout réel x de l’ensemble de définition D_ƒ, on a : ƒ(x) = g(x).

Remarque 7

En particulier deux fonctions sont égales si, et seulement si, leurs représentations graphiques relativement à un repère donné sont confondues.

Exemple 8

On considère les deux fonctions numériques ƒ et g définies par : ƒ(x) = ∣x + 2∣ et g(x) = √x²+4x+4

Est-ce-que les fonctions ƒ et g sont égales ?

Graphe d’une fonction (Les fonctions numériques cours tronc commun – seconde)

Définition 9

Soit ƒ la fonction numérique définie sur D_ƒ. (D_ƒ ⊂ ℝ)

La représentation graphique ou courbe de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O , i , j) est l’ensemble des points M(x, ƒ(x)) noté (C_ƒ) tel que x ∈ D_ƒ. Autrement dit :

(C_ƒ) = {M(x, ƒ(x))/ x ∈ D_ƒ} 

Fonction paire – Fonction impaire

Fonction paire

Définition 10

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur D_ƒ. La fonction ƒ est dite paire si, et seulement si :

• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a : −x ∈ D_ƒ.
• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a : ƒ(−x) = ƒ(x).

Interprétation géométrique de la fonction paire.

Propriété 11

Soit ƒ une fonction numérique de la variable réelle x et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j). La fonction ƒ est paire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Remarque 12

Pour étudier une fonction paire ƒ, il suffit de l’étudier sur : E = D_ƒ ⋂ [0, +∞[.

Exemple 13

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x² + ∣x∣.

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

1. Montrer que la fonction ƒ est paire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

• ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = x² + ∣x∣ . Donc : D_ƒ = ℝ.

Pour tout x ∈ D_ƒ, on a : −x ∈ D_ƒ. (1)

Soit x ∈ D_ƒ. Calculons ƒ(−x).

ƒ(−x) = (−x)² + ∣−x∣ = x² + ∣x∣ = ƒ(x). (2)

La courbe (C_ƒ) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Fonction impaire

Définition 14

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur D_ƒ. La fonction ƒ est dite impaire si, et seulement si :

• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a : −x ∈ D_ƒ.
• Pour tout x ∈ D_ƒ , on a : ƒ(−x) = −ƒ(x).

Interprétation géométrique de la fonction impaire

Propriété 15

Soit ƒ une fonction numérique de la variable réelle x et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j). La fonction ƒ est impaire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple 16

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x² +1/x .

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

1. Montrer que la fonction ƒ est impaire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

• L’ensemble de définition de la fonction ƒ est : D_ƒ = ℝ*.

Pour tout x de D_ƒ, on a : −x ∈ D_ƒ. (1).

Soit x ∈ D_ƒ. Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = (−x)² +1/−x = − x² +1/x = −ƒ(x). (2)

D’après (1) et (2), on déduit que ƒ est une fonction impaire.

• La courbe (C_ƒ) est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Les variations d’une fonction numérique

Définition 17

Soit ƒ une fonction numérique définie sur l’intervalle I.

• ƒ est croissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I , pour tout x₂ ∈ I , x₁≤ x₂ alors ƒ(x₁) ≤ ƒ(x₂).
• ƒ est strictement croissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I , pour tout x₂ ∈ I , x₁ ≺ x₂ alors ƒ(x₁) ≺ ƒ(x₂)
• ƒ est décroissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I , pour tout x₂ ∈ I , x₁≤ x₂ alors ƒ(x₁) ≥ ƒ(x₂).
• ƒ est strictement décroissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ ∈ I , pour tout x₂ ∈ I , x₁ ≺ x₂ alors ƒ(x₁) ≻ ƒ(x₂).
• ƒ est constante sur l’intervalle I s’il existe un réel k tel que pour tout x ∈ I , ƒ(x) = k.
• La fonction ƒ est dite monotone sur I si et seulement si elle est croissante ou décroissante sur I.
• La fonction ƒ est dite strictement monotone sur I si et seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.

Exemple 18

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ∖ {− 1} par : ƒ(x) = 1/x+1.

Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur les intervalles ]−1, +∞[ et ]−∞, −1[.

Étude des variations

• L’étude des variations d’une fonction ƒ consiste à déterminer les intervalles de D_ƒ sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Le résultat de cette étude permet de construire un tableau de variations.
• Pour construire le tableau des variations de la fonction ƒ sur D_ƒ on détermine les intervalles I contenus dans D_ƒ sur lesquels ƒ est monotone, c’est-à-dire soit croissante, soit décroissante. On note les résultats obtenus dans un tableau où des flèches indiquent la croissance ou la décroissance de ƒ.

Exemple 19

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ qui vérifie :

• ƒ est croissante sur les intervalles ]−∞, −1[ et [2, +∞[.
• ƒ est décroissante sur l’intervalles [−1, 2] et ƒ(−1) = 2 et ƒ(2) = −1.

Taux de variations d’une fonction

Propriété 20

Soit ƒ une fonction numérique définie sur l’intervalle I . Pour tout x et y deux éléments distincts de I. Le taux de variations de la fonction ƒ entre x et y est : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y.

• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≥ 0 alors ƒ est croissante sur I.
• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≻ 0 alors ƒ est strictement croissante sur I.
• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≤ 0 alors ƒ est décroissante sur I.
• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≺ 0 alors ƒ est strictement décroissante sur I.
• Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = 0 alors ƒ est constante sur I.

Exemple 21

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = x + 1/x

1. Soient x et y deux éléments distincts de ℝ*. Montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−1/xy .
2. Montrer que la fonction ƒ est strictement croissante sur [1, +∞[.

Extremum d’une fonction

Définition 22

Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle I et a un élément de I.

1. On dit que ƒ(a) est une valeur maximale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≤ ƒ(a) pour tout x ∈ I.

2. On dit que ƒ(b) est une valeur minimale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≥ ƒ(b) pour tout x ∈ I.

L’étude de la fonction x → ax² avec a ≠ 0.

Soit a un réel non nul. On considère ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

ƒ(x) = ax²

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

La parité de la fonction ƒ.

On a : D_ƒ = ℝ.

Pour tout x ∈ ℝ, on a : −x ∈ ℝ.

Soit x ∈ ℝ. Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = a(−x)² = ax² = ƒ(x)

Donc, la fonction ƒ est paire. Ceci signifie que la courbe (C_ƒ) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Les variations de la fonction ƒ.

Propriété 24

• Si a ≻ 0, alors la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, +∞[ et strictement décroissante sur ]−∞, 0].
• Si a ≺ 0, alors la fonction ƒ est strictement décroissante sur [0, +∞[ et strictement croissante sur ]−∞, 0].

Démonstration 25

Soient x et y deux réels de ℝ tels que : x ≠ y.

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = ax² −ay²/x−y = a(x−y)(x+y)/x−y = a(x + y)

1er cas. Si a ≻ 0.

• Soient x et y deux éléments distincts de [0, +∞[, c’est-à-dire : x ≥ 0 et y ≥ 0, donc : x + y ≥ 0 et comme x ≠ y, alors on obtient x + y ≻ 0.

Donc : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≻ 0. C’est-à-dire, ƒ est strictement croissante sur [0, +∞[.

• Soient x et y deux éléments distincts de ]−∞, 0], c’est-à-dire : x ≤ 0 et y ≤ 0, donc : x + y ≤ 0 et comme x ≠ y, alors on obtient x + y ≺ 0.

Donc : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≺ 0. C’est-à-dire, ƒ est strictement décroissante sur ]−∞, 0].

2ème cas. Si a ≺ 0. La fonction ƒ est strictement décroissante sur [0, +∞[ et strictement croissante sur ]−∞, 0]. ( La démonstration est similaire à celle du premier cas).

Conclusion 26

La représentation graphique de la fonction ƒ

Définition 27

La courbe représentative de la fonction ƒ est appelée parabole de sommet d’origine O et un axe de symétrie qui est l’axe des ordonnées.

Exemple 28

On considère ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/2x²

1. Déterminer le tableau de variations de la fonction ƒ.
2. Tracer la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O , i , j).

L’étude de la fonction x → a/x avec a ≠ 0.

Soit a un réel non nul. On considère ƒ la fonction numérique définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = a/x

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

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