Les fonctions numériques cours tronc commun

Les fonctions numériques cours tronc commun

Les fonctions numériques cours tronc commun. (les troncs communs scientifiques – seconde)

Généralités : (Les fonctions numériques cours tronc commun – seconde)

Définition d’une fonction
Définition 1
  • Une fonction est une relation qui permet d’associer à un élément x, au plus un autre élément appelé image. On note cette fonction par : ƒ, g, h, …
  • On représente la fonction ƒ par :

ƒ E F

x → ƒ(x)

⋇ L’image d’un élément x par ƒ sera notée ƒ(x).

⋇ L’ensemble E appelé ensemble de départ.

⋇ L’ensemble F appelé ensemble d’arrivé.

Remarque 2

Il faut faire la différence entre la fonction ƒ qui représente une relation et ƒ(x) qui représente l’image de x par ƒ qui est un élément.

Exemple 3

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

ƒ [−1, 4[ → 

x x2 + 2x − 3

On a : ƒ(1) = 12 + 2 × 1 − 3 = 0. C’est-à-dire 0 est l’image de 1 par la fonction ƒ.

L’ensemble de définition d’une fonction (Les fonctions numériques cours tronc commun – seconde)
Définition 4

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x.

L’ensemble de définition de la fonction ƒ est l’ensemble des nombres réels x qui possèdent une image par cette fonction. L’ensemble de définition de la fonction ƒ est noté : Dƒ tel que :

Dƒ = {x / ƒ(x) ∈

Exemple 5

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions numériques suivantes ƒ, h, g et M telles que :

ƒ(x) = 2x/x−1 , h(x) = √x−1 , g(x) = x2 +4/x2 −1 et M(x) = x3 + 5x − 1

  • Pour la fonction ƒ :

Dƒ = {x/ x − 1 ≠0

= {x/ x ≠ 1}

= ]−∞, 1[⋃]1, +∞[

  • Pour la fonction h :

Dh = {x/ x − 1 ≥ 0

= {x/ x ≥ 1}

= [1, +∞[

  • Pour la fonction g :

Dg = {x/ x2 − 1 ≠0

On résout l’équation : x2 − 1 = 0.

x2 − 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) = 0 x = 1 ou x = − 1

Donc

Dg = {x/ x ≠ 1 et x ≠ − 1}

= ]−∞, −1[⋃]−1, 1[⋃]1, +∞[

  • Pour la fonction M :

M est une fonction polynomiale. Donc : DM = .

Égalité de deux fonctions
Définition 6

Soient ƒ et g deux fonctions numérique définies respectivement sur Dƒ et Dg. Les deux fonctions ƒ et g sont égales si, et seulement si :

  • Ces deux fonctions ont même ensemble de définition. C’est-à-dire : Dƒ = Dg .
  • Pour tout réel x de l’ensemble de définition Dƒ, on a : ƒ(x) = g(x).
Remarque 7

En particulier deux fonctions sont égales si, et seulement si, leurs représentations graphiques relativement à un repère donné sont confondues.

Exemple 8

On considère les deux fonctions numériques ƒ et g définies par : ƒ(x) = ∣x + 2∣ et g(x) = √x2+4x+4

Est-ce-que les fonctions ƒ et g sont égales ?

Graphe d’une fonction (Les fonctions numériques cours tronc commun – seconde)
Définition 9

Soit ƒ la fonction numérique définie sur Dƒ. (Dƒ)

La représentation graphique ou courbe de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O , i , j) est l’ensemble des points M(x, ƒ(x)) noté (Cƒ) tel que x ∈ Dƒ. Autrement dit :

(Cƒ) = {M(x, ƒ(x))/ x Dƒ

Fonction paire – Fonction impaire
Fonction paire
Définition 10

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur Dƒ. La fonction ƒ est dite paire si, et seulement si :

  • Pour tout xDƒ , on a : −xDƒ.
  • Pour tout xDƒ , on a : ƒ(−x) = ƒ(x).
Interprétation géométrique de la fonction paire.
Propriété 11

Soit ƒ une fonction numérique de la variable réelle x et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j). La fonction ƒ est paire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Remarque 12

Pour étudier une fonction paire ƒ, il suffit de l’étudier sur : E = Dƒ ⋂ [0, +∞[.

Exemple 13

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x2 +x∣.

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

  1. Montrer que la fonction ƒ est paire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  • ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = x2 +x∣ . Donc : Dƒ = .

Pour tout x ∈ Dƒ, on a : −xDƒ. (1)

Soit x Dƒ. Calculons ƒ(−x).

ƒ(−x) = (−x)2 + ∣−x∣ = x2 +x∣ = ƒ(x). (2)

La courbe (Cƒ) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Fonction impaire
Définition 14

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur Dƒ. La fonction ƒ est dite impaire si, et seulement si :

  • Pour tout xDƒ , on a : −x Dƒ.
  • Pour tout x Dƒ , on a : ƒ(−x) = −ƒ(x).
Interprétation géométrique de la fonction impaire
Propriété 15

Soit ƒ une fonction numérique de la variable réelle x et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j). La fonction ƒ est impaire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple 16

Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x2 +1/x .

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

  1. Montrer que la fonction ƒ est impaire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  • L’ensemble de définition de la fonction ƒ est : Dƒ = *.

Pour tout x de Dƒ, on a : −xDƒ. (1).

Soit x Dƒ. Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = (−x)2 +1/−x = − x2 +1/x = −ƒ(x). (2)

D’après (1) et (2), on déduit que ƒ est une fonction impaire.

  • La courbe (Cƒ) est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Les variations d’une fonction numérique

Définition 17

Soit ƒ une fonction numérique définie sur l’intervalle I.

  • ƒ est croissante sur l’intervalle I si pour tout x1 I , pour tout x2 I , x1x2 alors ƒ(x1) ≤ ƒ(x2).
  • ƒ est strictement croissante sur l’intervalle I si pour tout x1 I , pour tout x2I , x1x2 alors ƒ(x1) ≺ ƒ(x2)
  • ƒ est décroissante sur l’intervalle I si pour tout x1 I , pour tout x2I , x1x2 alors ƒ(x1) ≥ ƒ(x2).
  • ƒ est strictement décroissante sur l’intervalle I si pour tout x1 I , pour tout x2I , x1x2 alors ƒ(x1) ≻ ƒ(x2).
  • ƒ est constante sur l’intervalle I s’il existe un réel k tel que pour tout xI , ƒ(x) = k.
  • La fonction ƒ est dite monotone sur I si et seulement si elle est croissante ou décroissante sur I.
  • La fonction ƒ est dite strictement monotone sur I si et seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.
Exemple 18

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ∖ {− 1} par : ƒ(x) = 1/x+1.

Étudier la monotonie de la fonction ƒ sur les intervalles ]−1, +∞[ et ]−∞, −1[.

Étude des variations
  • L’étude des variations d’une fonction ƒ consiste à déterminer les intervalles de Dƒ sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Le résultat de cette étude permet de construire un tableau de variations.
  • Pour construire le tableau des variations de la fonction ƒ sur Dƒ on détermine les intervalles I contenus dans Dƒ sur lesquels ƒ est monotone, c’est-à-dire soit croissante, soit décroissante. On note les résultats obtenus dans un tableau où des flèches indiquent la croissance ou la décroissance de ƒ.
Exemple 19

Soit ƒ la fonction numérique définie sur qui vérifie :

  • ƒ est croissante sur les intervalles ]−∞, −1[ et [2, +∞[.
  • ƒ est décroissante sur l’intervalles [−1, 2] et ƒ(−1) = 2 et ƒ(2) = −1.
Taux de variations d’une fonction
Propriété 20

Soit ƒ une fonction numérique définie sur l’intervalle I . Pour tout x et y deux éléments distincts de I. Le taux de variations de la fonction ƒ entre x et y est : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y.

  • Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≥ 0 alors ƒ est croissante sur I.
  • Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y 0 alors ƒ est strictement croissante sur I.
  • Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y ≤ 0 alors ƒ est décroissante sur I.
  • Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y0 alors ƒ est strictement décroissante sur I.
  • Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = 0 alors ƒ est constante sur I.
Exemple 21

Soit ƒ la fonction numérique définie sur * par :

ƒ(x) = x + 1/x

  1. Soient x et y deux éléments distincts de *. Montrer que : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = xy−1/xy .
  2. Montrer que la fonction ƒ est strictement croissante sur [1, +∞[.

Extremum d’une fonction

Définition 22

Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle I et a un élément de I.

  1. On dit que ƒ(a) est une valeur maximale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≤ ƒ(a) pour tout xI.

Les fonctions numériques cours tronc commun

2. On dit que ƒ(b) est une valeur minimale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≥ ƒ(b) pour tout x I.

L’étude de la fonction x → ax2 avec a ≠ 0.

Soit a un réel non nul. On considère ƒ la fonction numérique définie sur par :

ƒ(x) = ax2

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

La parité de la fonction ƒ.

On a : Dƒ = .

Pour tout x, on a : −x .

Soit x . Calculons ƒ(−x) :

ƒ(−x) = a(−x)2 = ax2 = ƒ(x)

Donc, la fonction ƒ est paire. Ceci signifie que la courbe (Cƒ) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Les variations de la fonction ƒ.
Propriété 24
  • Si a0, alors la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, +∞[ et strictement décroissante sur ]−∞, 0].
  • Si a ≺ 0, alors la fonction ƒ est strictement décroissante sur [0, +∞[ et strictement croissante sur ]−∞, 0].
Démonstration 25

Soient x et y deux réels de tels que : x ≠ y.

ƒ(x)−ƒ(y)/x−y = ax2 −ay2/x−y = a(x−y)(x+y)/x−y = a(x + y)

1er cas. Si a 0.

  • Soient x et y deux éléments distincts de [0, +∞[, c’est-à-dire : x ≥ 0 et y ≥ 0, donc : x + y ≥ 0 et comme x ≠ y, alors on obtient x + y 0.

Donc : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y0. C’est-à-dire, ƒ est strictement croissante sur [0, +∞[.

  • Soient x et y deux éléments distincts de ]−∞, 0], c’est-à-dire : x ≤ 0 et y ≤ 0, donc : x + y ≤ 0 et comme x ≠ y, alors on obtient x + y 0.

Donc : ƒ(x)−ƒ(y)/x−y 0. C’est-à-dire, ƒ est strictement décroissante sur ]−∞, 0].

2ème cas. Si a 0. La fonction ƒ est strictement décroissante sur [0, +∞[ et strictement croissante sur ]−∞, 0]. ( La démonstration est similaire à celle du premier cas).

Conclusion 26
La représentation graphique de la fonction ƒ
Définition 27

La courbe représentative de la fonction ƒ est appelée parabole de sommet d’origine O et un axe de symétrie qui est l’axe des ordonnées.

Exemple 28

On considère ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/2x2

  1. Déterminer le tableau de variations de la fonction ƒ.
  2. Tracer la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O , i , j).
L’étude de la fonction x → a/x avec a ≠ 0.

Soit a un réel non nul. On considère ƒ la fonction numérique définie sur * par :

ƒ(x) = a/x

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j).

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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