La projection dans le plan tronc commun

La projection dans le plan tronc commun

La projection dans le plan tronc commun. Cours complet sur la projection dans le plan (tronc commun scientifique)

Projection sur une droite

Projection sur une droite parallèlement à une autre droite
Définition 1

Soient (D) et () deux droites sécantes en un point O, et M un point du plan.

La projection du point M sur la droite (D) parallèlement à la droite () est le point M′ intersection de la droite (D) et de la parallèle à () passante par le point M.

La façon par laquelle on associe un point M du plan par sa projection M′ sur la droite (D) parallèlement à la droite () s’appelle la projection sur la droite (D) parallèlement à ().

Remarque 2

Si M est un point de la droite (D) alors sa projection sur la droite (D) parallèlement à () est lui même.

La projection orthogonale sur une droite
Définition 3

La projection d’un point M sur une droite (D) parallèlement à une droite orthogonale () s’appelle la projection orthogonale sur ().

Projection d’un segment
Propriété 4

Soient A et B deux points distincts du plan et A′ et B′ sont leur projections respectives sur (D) parallèlement à (), la projection du segment [AB] est le segment [A′B′].

Propriété 5

Si A′ et B′ sont les projections respectives de A et B sur une droite (D) parallèlement à une droite () alors la projection du point I milieu du segment [AB] est le point I′ milieu du segment [A′B′] est on dit que la projection sur une droite (D) parallèlement à une droite () conserve le milieu.

Théorème de Thalès

Théorème de Thalès direct

Soient

  • A, B et M trois point alignés.
  • A, N et C trois point alignés
  • (MN) ⁄ ⁄ (BC) .

Donc

AM/AB = AN/AC = MN/BC

Réciproque du théorème de Thalès

Soient

  • A, M et B trois point alignés.
  • A, N et C trois point alignés.
  • A, M et B sont dans le même ordre que A, N et C.
  • AM/AB = AN/AC

Donc

(MN) ⁄ ⁄ (BC)

Projection et coefficient de colinéarité de deux vecteurs

Propriété 6

A, B , C et D quatre points du plan et A′, B′ , C′ et D′ leurs projections respectives sur (D) parallèlement à ().

Si : AB = CD alors : A′B′ = C′D′

Propriété 7

A, B , C et E quatre points du plan et A′, B′ , C′ et E′ leurs projections respectives sur (D) parallèlement à ().

Si : AB = αCE alors : A′B′ = αC′E′

On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.

Résultat
Propriété 8

Soient (D) et () deux droites sécantes du plan, la projection sur la droite (D) parallèlement à la droite () ne conserve pas la distance. Autrement dit si A′ et B′ sont les projections respectives de A et B alors A′B′ n’est pas nécessairement égale à AB.

A′B′ = AB si et seulement si (A ≠ B) et (AB) ∥ (D).

Exemple 9

ABC est un triangle et D un point du (BC) n’appartient pas au segment [BC].

On considère le point M défini par : AM = 2/3AD. Le point P est le projeté du point D sur (AC) parallèlement à (MC). Le point Q est le projeté du point D sur (AB) parallèlement à (MB).

  1. Faire une figure.
  2. Montrer que : AC = 2/3AP.
  3. Montrer que : AB = 2/3AQ.
Exemple 10

Soit ABC un triangle et M, N deux points tels que : AM = 1/3AB et AN = −2/3AB.

E est le projeté de M sur (AC) parallèlement à (BC).

F est le projeté de N sur (AC) parallèlement à (BC).

Faire une figure.

Montrer que : AF = −2/3AC et AM = 1/3AC.

Déduire que : EF = CA.

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La projection dans le plan exercices corrigés tronc commun

Exercice 1

ABCD est parallélogramme de centre O. Soit J un point du plan tel que : AJ = 2/3AC.

E est le projeté du point J sur (BC) parallèlement à (AB).

  1. Montrer que : CE = 1/3CB.
  2. Montrer que : JE = 1/3AB.
Exercice 2

ABC est un triangle. D est un point de (BC) n’appartient pas à [BC] . Soit O un point du plan tel que : AO = 3/4AD.

E est le projeté du point D sur (AC) parallèlement à (OC).

F est le projeté du point D sur (AB) parallèlement à (OB).

  1. Montrer que : AC = 3/4AE et AB = 3/4AF.
  2. Montrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèle.
Exercice 3

On considère le triangle ABC et le point I le milieu du segment [BC] . Soit J un point du plan tel que : AJ = 2/3AC.

E est le projeté du point J sur (BC) parallèlement à (AB).

  1. Montrer que : JE = 1/3AB.
  2. Montrer que : IE = 1/6BC.
Exercice 4

Soit ABC un triangle et M un point du segment [BC] (M ≠ B et M ≠ C). N et P respectivement les projetés des points B et C sur la droite (AC) et (AB) parallèlement à (AM).

  1. Montrer que : MA/BN = CM/CB et MA/CP = BM/BC .
  2. Déduire que : 1/MA = 1/BN + 1/CP.
Exercice 5

On considère le triangle ABC. Soit I un point du plan tel que : AI = 3/4AB .

J est projeté du point I sur (BC) parallèlement à (AC).

K est le projeté du point J sur (AC) parallèlement à (AB).

Montrer que : CK = 3/4CA.

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Correction de la série d’exercices

Exercice 1

ABCD est un parallélogramme de centre O. Soit J un point du plan tel que : AJ = 2/3AC.

E est le projeté du point J sur (BC) parallèlement à (AB).

  1. Montrons que : CE = 1/3CB.

On considère la projection sur la droite (BC) parallèlement à (AB).

On a AJ = 2/3AC, et : { p(A) = B et p(J) = E et p(C) = C

comme la projection conserve le coefficient de colinéarité donc : BE = 2/3BC.

D’autre part, on a

CE = CB + BE

= CB + 2/3BC

= −BC + 2/3BC

= BC(−1 + 2/3)

= −1/3BC

= 1/3CB

2. Montrons que : JE = 1/3AB.

JE = JA + AE

= −AJ + AE

= −2/3AC + AC + CE

= AC(−2/3 + 1) + 1/3CB

= 1/3AC + 1/3(CA + AB)

= 1/3AC + 1/3CA + 1/3AB

= 1/3AB

Exercice 2
  1. Montrons que : AC = 3/4AE et AB = 3/4AF.

∎ On considère la projection sur (AC) parallèlement à (OC).

On a AO = 3/4AD et { p(A) = A et p(O) = C et p(D) = E

et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité donc : AC = 3/4AE.

∎ On considère la projection sur (AB) parallèlement à (OB).

On a AO = 3/4AD et { p(A) = A et p(O) = B et p(D) = F

et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité on obtient que : AB = 3/4AF.

2. On a AC = 3/4AE et AB = 3/4AF et par passage à la norme on obtient : ∥AC∥ = ∣3/4∣∥AE∥ et ∥AB∥ = ∣3/4∣∥AF∥ c’est-à-dire AC = 3/4AE et AB = 3/4AF. Donc AC/AE = 3/4 et AB/AF = 3/4 ce qui signifie que : AC/AE = AB/AF.

Dans le triangle AEF on a les points A, C et E sont dans le même ordre que les points A, B et F et AC/AE = AB/AF. Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès on en déduit que (BC) ∥ (EF).

Exercice 3
  1. Montrons que : JE = 1/3AB.

On considère la projection sur la droite (BC) parallèlement à (AB).

On a AJ = 2/3AC, et : { p(A) = B et p(J) = E et p(C) = C

comme la projection conserve le coefficient de la colinéarité on obtient que : BE = 2/3BC.

D’autre part, on a

JE = JB + BE

= JA + AB + 2/3BC

= −AJ + AB + 2/3BC

= −2/3AC + AB − 2/3AB + 2/3AC

= 1/3AB

2. Montrons que : IE = 1/6BC.

IE = IB + BE

= 1/2CB + 2/3BC

= −1/2BC + 2/3BC

= 1/6BC

Exercice 4
  1. Montrons que : MA/BN = CM/CB et MA/CP = BM/BC.

∎ On considère le triangle BCP.

On a M ∈ (BC) et A ∈ (BP) et comme (AM) ∥ (PC) donc d’après le théorème direct de Thalès on obtient

BM/BC = BA/BP = MA/CP

ceci signifie que : MA/CP = BM/BC.

∎ On considère le triangle BCN.

On a M ∈ (BC) et A ∈ (CN) et comme (AM)∥ (NB) donc d’après le théorème direct de Thalès on obtient

CM/CB = CA/CN = MA/BN

ceci signifie que : MA/BN = CM/CB.

2. On déduit que : 1/MA = 1/BN + 1/CP.

On a MA/BN = CM/CB et MA/CP = BM/BC, alors

MA × CB = BN × CM et MA × BC = CP × BM

c’est-à-dire BN = MA×CB/CM et CP = MA×BC/BM donc

1/BN + 1/CP = 1/MA×CB/CM + 1/MA×BC/BM

= CM/MA×CB + BM/MA×BC

= CM+BM/MA×CB

= CB/MA×CB

= 1/MA

ce qui signifie que

1/MA = 1/BN + 1/CP.

Exercice 5

∎ On considère la projection sur la droite (BC) parallèlement à (AC).

On a AI = 3/4AB et : { p(A) = C et p(I) = J et p(B) = B

et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité alors : CJ = 3/4CB.

∎ On considère le projection sur la droite (AC) parallèlement à (AB).

On a CJ = 3/4CB et : { p(C) = C et p(J) = K et p(B) = A

et comme la projection conserve le coefficient de colinéarité alors on obtient :

CK = 3/4CA.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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