Devoir surveillé sur la dérivation 1ère s

Devoir surveillé sur la dérivation 1ère s

Devoir surveillé sur la dérivation 1ère s.(première s/ 1ère année bac)

Exercice 1
  1. Calculer la dérivée de la fonction : ƒ : x → sin (πx) + 3 cos (π/2x).
  2. Déduire la valeur de la limite suivante :

limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = (1 − x)√2x−x2

  1. Vérifier que : Dƒ = [0, 2] .
    1. Montrer que : limx→0+ ƒ(x)/x = +∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.
    2. La fonction ƒ est-elle dérivable à gauche en x0 = 2 ? justifier votre réponse puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  2. Montrer que ƒ est dérivable sur l’intervalle ]0, 2[ et que :

(∀x ∈ ]0, 2[) , ƒ′(x) = 2x2−4x+1/√2x−x2

4. Dresser le tableau de variations de ƒ.

5. On considère un demi cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] avec AB = 2. M est un point variable du segment [OA] avec M ≠ O et M ≠ A.

N et P sont deux points du demi cercle (C) et Q un point du segment [OB] tels que le quadrilatère MNPQ est un rectangle. On pose : x = AM et on désigne par S (x) la surface du rectangle MNPQ.

Montrer que :

(∀x ∈ ]0, 1[) , S(x) = 2ƒ(x)

puis en déduire la position du point M pour la quelle du rectangle MNPQ est maximale.

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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
  • Calculons la dérivée de la fonction suivante : ƒ : x → sin (πx) + 3 cos (π/2x).

La fonction ƒ est dérivable sur comme la somme de deux fonctions dérivables sur . u : x → sin (πx) et v : x3 cos (π/2x).

Calculons ƒ′(x) pour tout x .

ƒ′(x) = (sin (πx) + 3 cos (π/2x))′

= (sin (πx))′ + (3 cos (π/2x))′

= π cos (πx) − 3 × π/2 sin(π/2x)

= π cos (πx) − 3π/2 sin(π/2x)

Calculons la valeur de la limite suivante : limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1

limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1 = limx→−1 ƒ(x)−ƒ(−1)/x+1 = ƒ′(−1)

Calculons ƒ′(−1)

ƒ′(−1) = π cos (−π) − 3π/2 sin(−π/2) = −π + 3π/2 = π/2

Donc

limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1 = π/2

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = (1 − x)√2x−x2

  1. Vérifions que : Dƒ = [0, 2].

Dƒ = {x/ 2x − x2≥ 0}

= {x/ x(2 − x) ≥ 0}  

Le tableau de signe de l’expression : x(2 − x) .

2. a) Montrons que : limx→0+ ƒ(x)/x = +∞.

limx→0+ ƒ(x)/x = limx→0+ (1 − x)√2x−x2/x

= limx→0+ (1 − x)x√2/x−1/x

= limx→0+ (1 − x)√2/x−1 = +∞

D’où on obtient

limx→0+ ƒ(x)−ƒ(0)/x−0 = +∞

La fonction ƒ n’est pas dérivable à droite de 0. La courbe (Cƒ) admet une demi-tangente verticale vers le haut à droite de 0.

b) La dérivabilité de la fonction ƒ à gauche de 2.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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