Devoir surveillé sur l'étude des fonctions 1ère s

Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s

Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s.(première s/ 1ère année bac)

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

    1. Calculer limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x).
    2. En déduire que (Cƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.
  1. Montrer que limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3, puis interpréter géométriquement chaque résultat.
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 3/x2√x2+3

puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.

b) Écrire les équations des deux tangentes (T1) et (T2) à (Cƒ) aux points d’abscisses x1 = 1 et x2 = − 1 respectivement.

4. Déterminer les points d’intersections de (Cƒ) avec l’axe des abscisses.

5. Construire (Cƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie sur par :

ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x2

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
    1. Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
    2. Justifier que (Cƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
    1. Montrer que : limx→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
    2. Étudier la position relative de (Cƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 1/(1+x2)√1+x2 − 1

b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur .

c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.

5. Construire la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

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Correction du devoir surveillé
Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

  1. a) Calculons limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x)

limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ 2 − √x2+3/x = −∞, car : limx→0+ √x2+3/x = +∞ 

et

limx→0 ƒ(x) = limx→0 2 − √x2+3/x = +∞, car : limx→0 √x2+3/x = −∞ 

b) Comme limx→0+ ƒ(x) = +∞ et limx→0 ƒ(x) = −∞, alors (Cƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

2. Montrons que : limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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