Devoir surveillé sur le calcul trigonométrique

Devoir surveillé sur le calcul trigonométrique 1 bac. (1ère année bac sm)

Exercice 1

Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation :

cos x − √3sin x < 1.

Exercice 2

Soit θ ∈ ]0, π/2[ tel que : tan θ = 2 − √3.

1. Montrer que : sin (2θ) = 1/2, puis en déduire la valeur de θ.
2. On considère dans ℝ l’équation : (E) : cos (2x) − cos (2x + π/6) = 2−√3/2.
   1. Prouver que : (E) ⇔ sin (2x + θ) = sin θ.
   2. Résoudre dans ℝ l’équation (E).
3. Résoudre dans [0, π] l’inéquation :

(I) : cos (2x) − cos (2x + π/6) ≤ 2−√3/2

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

1. On résout dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation : cos x − √3sin x < 1.

Soit x ∈ [0, 2π] .

cos x − √3sin x = 2(1/2. cos x − √3/2. sin x)

= 2(cos π/3. cos x − sin π/3. sin x)

= 2cos(x + π/3).

Donc

cos x − √3sin x < 1 ⇔ cos(x + π/3) < 1/2.

On pose X = x + π/3 puisque x ∈ [0, 2π] c’est-à-dire 0 ≤ x ≤ 2π c’est équivaux à

π/3 ≤ x + π/3 ≤ 2π + π/3

⇔ π/3 ≤ x + π/3 ≤ 7π/3

⇔ x + π/3 ∈ [π/3, 7π/3] .

On commence par résoudre dans [π/3, 7π/3] l’équation (E) : cos X = 1/2.

cos X = 1/2

⇔ cos X = cos π/3

⇔ { X = π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou X = −π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [π/3, 7π/3] .

• On a

π/3 ≤ π/3 + 2kπ ≤ 7π/3 ⇔ 0 ≤ k ≤ 1

comme k ∈ ℤ, alors k ∈ {0, 1} . D’où x = π/3 ou x = 7π/3.

• On a

π/3 ≤ −π/3 + 2kπ ≤ 7π/3 ⇔ 1/3 ≤ k ≤ 8/6

comme k ∈ ℤ, alors k = 1. D’où x = 5π/3 .

Donc les solutions de l’équation cos X = 1/2 dans [π/3, 7π/3] sont : π/3 , 5π/3 et 7π/3.

D’après le cercle trigonométrique on en déduit que l’ensemble des solutions de l’inéquation cos (X) < 1/2 est :

]π/3, 5π/3[

Donc

cos (X) ≤ 1/2

⇔ X ∈ ]π/3, 5π/3[

⇔ π/3 < X < 5π/3

⇔ π/3 < x + π/3 < 5π/3  

⇔ 0 < x < 4π/3

⇔ x ∈ ]0, 4π/3[

Ceci signifie que l’ensemble des solutions dans [0, 2π] de l’inéquation proposée est :

S = ]0, 4π/3[ .

Exercice 2

Soit θ ∈ ]0, π/2[ tels que : tan θ = 2 − √3.

1. Soit θ ∈ ]0, π/2[ .

∎ On sait que : sin (2θ) = 2sinθ. cosθ.

On cherche cos θ.

On a

1 + tan²θ = 1/cos²θ

⇔ cos²θ = 1/1+tan²θ

⇔ cos²θ = 1/1+(2−√3)²

⇔ cos²θ = 1/1+4−4√3+3

⇔ cos²θ = 1/4(2−√3)

comme θ ∈ ]0, π/2[ alors cos θ ≻ 0. Donc

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